4.3. Приближенный метод решения задачи (4.1) – (4.2)

Отрезок разбиваем наnравных частей с шагом. Тогда получится сетка.

Обозначим

Мы знаем, что

При малых hсправедливо соотношение

или

- правая разностная производная,- левая разностная производная.

Аналогично получится приближенная формула

т.е. считаем, что площадь поперечного сечения Qпостоянная величина вдоль трубопровода. На основе этих формул из (4.1) получается приближенное неравенство.

Предполагая, что hмалая величина составляем равенства

(4.3)

i=1, 2, …, n-1.

,. (4.4)

где .

(4.3) – (4.4) является разностной задачей.

Теорема – 1.Если, то решение разностной задачи (4.3) – (4.4) сходится к решению (4.1) – (4.2) при и справедливо неравенство

(4.5)

где C- константа, зависящая от начальных данных.

Из (4.5) становится ясно, что при малом hв качествеможно взять решение приближенной задачи (4.3) – (4.4).

4.4. Трехточечная разностная схема. Метод прогонки

Из (4.3) –(4.4) получаем равенства

(4.6)

где

.

(4.6) – называется трехточечной разностной схемой. Это есть система n-1 линейных алгебраических уравнений c неизвестными. Данная система имеет единственное решение.

Система (4.6) решается методом прогонки. Предполагаем, что решение (4.6) имеет вид

(4.7)

Подставляем его в (4.6). Тогда,

или

(4.8)

Сравнивая (4.7) и (4.8) получим соотношения

(4.9)

Из (4.7) при l = n-1 получим

.

Из этого тождества получим

. (4.10)

Из (4.9) и (4.10) определяются все

i = n-2, n -3, …, 0.

После этого из (4.7) используя определяются все

.

Теорема 2. Если и, то метод прогонки является устойчивой. То есть, при реализацийсхемы ошибки округления не накапливаются.

В нашем случае оба неравенства выполняются, поэтому метод прогонки является устойчивым.

4.5. Переменные. Блок-схема

Из определения А_і, В_і, С_і следует равенства

С_і = А_{і -1}, В_і = А_і +А_{і - 1} + а² h²

Поэтому, (4.9) можно переписать в виде

На основе этих формул, при программировании используются массивы

A[0…n], α[0…n-1], β[0…n-1].

Блок-схема

НАЧАЛО

Ввод l, n,θ₀, θ₁, θ₂,

λ(x)

α_n-l =0, β_n-1 = θ₂

l=n-1, 0,-1

α _l-1 , β _l-1

У_l+1 = α _l У_l + β_i

Вывод У_i

конец

l=0, n-1, 1

Цель лабораторной работы.

С помощью программы установить:

• если длина трубы l достаточно большой, то граничные условия практически не влияют на распределение температуры вдоль трубопровода.

• если длина трубы l короткая, то θ₁ и θ₂ влияет на распределение температуры вдоль трубопровода.

• изучить влияние α и θ₀ на распределение температуры.

5. Смешанная краевая задача для уравнения параболического типа. Нестационарный теплообмен при перевозке нефти трубопроводом.