2. Статика
2. СТАТИКА
2. 1. Аксиомы статики
Статика – наука о равновесии абсолютно твердых тел. В статике рассматриваются три основные задачи:
•сложение и приведение системы сил, т. е. замена данной системы сил другой, более простой, оказывающей то же воздействие на абсолютно твердое тело, что и исходная система сил;
•определение необходимых и достаточных условий равновесия абсолютно твердого тела или системы тел по отношению к определенной системе координат;
•вычисление центра тяжести абсолютно твердого тела или системы тел.
Законы статики имеют большое значение в инженерных расчетах.
Определения. Силой называют одну из векторных мер действия одного материального объекта на другой рассматриваемый объект.
Сила характеризуется величиной (модулем), направлением и точкой приложения, так как сила – векторная величина. Силу как величину векторную обозначают какой-либо буквой со знаком вектора, например, F , Q или N . Модуль силы обозначается значком модуля, т.
е. F , N или F, N. Сила измеряется в ньютонах ( H = (кг м)/ c2 ).
Системой сил называют совокупность сил F1, F2 ,...FN , дейст-
вующих на рассматриваемый объект.
Системой сил, эквивалентной нулю (равновесной системой сил),
называют такую систему силF1, F2 ,...FN ,, действие которой на объект
не приводит к изменению состояния покоя или движения по инерции этого объекта.
Равнодействующей силой R рассматриваемой системы сил F1, F2 ,...FN , называют силу, действие которой на объект эквивалентно
действию заданной системы сил.
Равновеснаясистемасилимеетравнодействующую, равнуюнулю.
Уравновешивающей силой заданной системы сил F1, F2 ,...FN , на-
зывается такая сила R′, добавление которой к заданной создает новую систему сил F1, F2 ,...FN , R′, эквивалентную нулю.
53
И. В. Богомаз. Механика
Линия действия
Рис. 2.1 |
Рис. 2.2 |
Линия, вдоль которой действует сила, называется линией действия этой силы (рис. 2.1).
Аксиома 1. Если на свободное абсолютно твердое тело действует две силы, то тело может находиться в состоянии равновесия тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю (F1 = F2 ) и направ-
лены вдоль одной общей линии действия в противоположные сторо-
ны (рис. 2.2).
Силы F1 и F2 находятся в равновесии, т. е. образуют систему
сил, эквивалентную нулю. Эта аксиома определяет один из главных принципов механики.
Рассмотрим два однородных стержня АВ и ВD (AB = а, ВD = 2a), которые жестко скреплены между собой. Центр тяжести полученного
изогнутого под углом 90° стержня расположен в точке С ( xC = 13 2a,
yc = 13 a.) (рис. 2.3, а). В точке А однородный стержень подвешен на
нерастяжимую нить. Надо вычислить угол α в положении равновесия. На рассматриваемый изогнутый под углом 90° стержень дейст-
вует две силы: натяжение нити T и вес P .
Если изогнутый стержень находится в равновесии, то вектор силы T и вектор силы P должны лежать вдоль одной линии действия, это и определяет угол α. Следовательно, задача сводится к геометрической.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АОС (рис. 2.3, а):
AO = a − y = a − 1 a = 2 a; |
OC = x = 2 a. |
|||
с |
3 |
3 |
c |
3 |
|
|
|||
54
2. Статика
а |
б |
Рис. 2.3
Тогда
tgα = OC |
= |
2 a : |
2 a =1, α = arctg1 = 45°. |
OA |
|
3 |
3 |
Если подвесить на нерастяжимую нить изогнутый стержень в точке В, толиниидействия T и P такжепересекутсявточкеС(рис. 2.3, б).
Аксиома 2. Действие заданной системы сил на абсолютно твердое тело не изменяется, если к ней прибавить или от нее отнять равновесную систему сил (систему сил, эквивалентную нулю).
Аксиома 3 (аксиома параллелограмма сил). Две силы, приложенные в одной точке и направленные под углом друг к другу, эквивалентны одной силе (равнодействующей), приложенной в той же точке и равной по модулю и направлению диагонали параллелограмма, стороны которого изображают величины и направления обеих заданных сил (рис. 2.4, а).
R = F1 + F2 .
Модуль равнодействующей R равен длине диагонали параллелограмма, стороны которого образованы слагаемыми векторами (правило параллелограмма).
55
И. В. Богомаз. Механика
Динамометр
а |
б |
Рис. 2.4
Опытная проверка правила сложения сил проводится следующим образом. Тело подвергается совместному действию нескольких, равно растянутых нитей. Далее на опыте исследуется, как располагаются все нити, и измеряются значения сил натяжения нитей (по показаниям динамометров) при равновесии (рис. 2.4, б). При этом можно убедиться, что нити расположены в соответствии с аксиомой параллелограмма сил.
Аксиома 4. При всяком действии одного материального тела на другое имеет место такое же по величине, но противоположное по направлению противодействие.
Определение. Связью для абсолютно твердого тела называют материальные объекты (тела), которые не позволяют перемещаться точкам абсолютно твердого тела, т. е. ограничивают его свободу перемещения.
Силы, действующие со стороны связей, называют реакциями связей.
Реакция связи направлена в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.
В плоскости твердое тело имеет три независимых перемещения: перемещения в двух ортогональных направлениях и вращение тела вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости. Максимальное число независимых перемещений тела определяет число его степеней свободы. Следовательно, в плоскости абсолютно твердое тело имеет три степени свободы. В пространстве твердое тело имеет шесть незави-
56
2. Статика
симых перемещений (перемещения в трех ортогональных направлениях и вращение в каждой из плоскостей), т. е. имеет шесть степеней свободы.
Любая связь ограничивает ту или иную степень свободы. Если в плоскости на тело наложить определенным образом три связи, то оно будет неподвижно. В пространстве на тело нужно наложить определенным образомшесть связей, чтобы оно находилось в состоянии покоя.
Аксиома 5 (аксиома связи). Всякую связь можно отбросить и заменить ее реакцией – силой (в простейшем случае) или системой сил (в общем случае).
Очень важно научиться правильно заменять отброшенную связь реакциями связей. Это одна из главных задач при изучении статики.
Рассмотрим, как направлены реакции некоторых основных видов связей.
Гладкая поверхность (плоскость) или опора. Гладкая поверх-
ность не дает телу перемещаться только в направлении общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания (рис. 2.5, а).
Выделим замкнутой кривой тело, равновесие которого определяем (рис. 2.5, а), отбросим связь (поверхность) и заменим ее действие силой реакции связи N, которая направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания и приложе-
на в точке их касания (рис. 2.5, б). В результате на тело будет действовать две силы – вес тела mg и реакция опоры N.
Когда одно из соприкасающихся тел касается другого тела в точке A, (рис. 2.6.), то реакция связи направлена по нормали к поверхности другого тела или гладкой опоры.
а |
б |
Рис. 2.5
57
И. В. Богомаз. Механика
а |
б |
Рис. 2.6
а |
б |
Рис. 2.7
Когда одно из тел лежит на поверхности другого тела (рис. 2.7), то реакция поверхности направлена по нормали к другой поверхности и проходит через точку центра тяжести тела.
Шарнирные соединения. Плоский цилиндрический шарнир (шарнирное соединение) представляет собой устройство С, которое связывает два тела А и В (рис. 2.8, а) и допускает поворот тела относительно другого, но препятствует их относительным поступательным перемещениям по вертикальному и горизонтальному направлениям, следовательно, уменьшает степень свободы системы на две единицы. Осевая линия будет осью шарнира.
Если выделить тела А и В (разрезать шарнир), в сечении возникают реактивные силы RC , RC′ (слева и справа от шарнира С) произвольно направленные, равных по модулю и противоположно направленные (рис. 2.8, б). Векторы RC , RC′ всегда можно разложить по двум ортогональным направлениям на проекции xC, yC слева от сечения и xC′ , yC′ справа от сечения.
58
2. Статика
Тогда
RC = xC2 + yC2 , cos α = xyC .
C
Примером шарнирного соединения является мостовая опора. На мостовой опоре (рис. 2.9) два буфера соединены цилиндрическим шарниром.
Если тело соединено с гладкой поверхностью шарниром (рис. 2.10, а), то, отбрасывая связь, заменяют ее действие реакцией
RС (рис. 2.10, б, в).
а |
б |
Рис. 2.8
Рис. 2.9
а |
б |
в |
|
Рис. 2.10 |
|
59
И. В. Богомаз. Механика
Шарнирно-подвижная опора и стержень (невесомый). Это опоры с одной связью. Схематически шарнирно-подвижная опора изображается коротким стержнем c шарнирами по концам (рис. 2.11, а). Шарнирно-подвижная опора накладывает на тело одну связь – запрещает движение в направлении стержня и не препятствует повороту тела относительно шарнира. В соответствии с этим, отбрасывая опору, заменяем ее действие реакцией RA, в этой схеме линия действия реакции опор проходит через ось шарнира в направлении стержня. Встречаются схемы шарнирно-подвижной опоры в виде треугольников на шарнирах (рис. 2.11, б, в).
Связь в виде невесомого стержня схематически изображается удлиненным стержнем с шарнирным закреплением по концам (рис. 2.11, г); вэтойсхеменаправлениереакцииопределяетсянаправлениемстержня.
а |
б |
в |
г |
Рис. 2.11
а |
б |
Рис. 2.12
60
2. Статика
Твердому телу шарнирно-подвижная опора оставляет две степени свободы – перемещение в направлении, параллельном опорной плоскости, и поворот тела в плоскости опоры. На рис. 2.12, а показана разобранная шарнирно-подвижная опора железнодорожного моста через Енисей.
Мост был сооружён русскими рабочими и техниками под руководством инженера Евгения Карловича Кнорре по проекту профессора Императорского Московского Технического Училища Лавра Проскурякова. Строительство начато в 1895 г. и завершено в 1899 г. (рис. 2.12, б).
Шарнирно-неподвижная опора. Эта опора с двумя связями.
Схематически шарнирно-неподвижная опора обозначается двумя опорными стержнями с шарнирами на концах – носителями двух связей (рис. 2.13, а). У тела, опертого на эту опору, есть одна степень свободы – допускается поворот тела относительно шарнира и устраняется поступательное движение тела в любом направлении.
Отбрасывая опору, заменяем ее действие реакцией R , линия действия которой проходит через ось шарнира под произвольным углом α. Реакция этой опоры содержит две неизвестные – модуль R и угол α. На практике, как правило, принято раскладывать R на два ортогональных направления: горизонтально Н и вертикальное V (рис. 2.13, б).
R = Н 2 +V 2 , cos α = НR .
Встречаются схемы шарнирно-неподвижных опор в виде треугольника (рис. 2.13, в, г).
а |
б |
в |
г |
Рис. 2.13
61
И. В. Богомаз. Механика
Примерами шарнирно-неподвижных и шарнирно-подвижных опор могут служить балансирные опорные части из стального литья, применяемые для мостовых опор и других сооружений с большими пролетами (рис. 2.14). Мосты опираются на опоры через опорные части, которые позволяют ему поворачиваться и продольно перемещаться при температурных воздействиях и изгибе пролета моста под действующей на мост внешней нагрузкой. При этом для однопролетного моста с одной стороны пролета устанавливают неподвижные, а с противоположной – подвижные опорные части (рис. 2.14, а, б).
Если на твердое тело наложено определенным образом три связи и на него действуют внешние силы (нагрузка), расположенные в плоскости тела, то тело будет находиться в состоянии покоя или разрушиться под этой нагрузкой. Случайным образом накладывать на твердое тело связи нельзя. Например, нельзя соединять балку с основанием при помощи трех опорных стержней, параллельных друг дру-
гу (рис. 2.15, а).
а б
Рис. 2. 14
а |
б |
Рис. 2.15
62
2. Статика
Балка под действием нагрузки будет перемещаться в направлении, параллельном опорной плоскости, т. е. в горизонтальном направлении. Также недопустимо для конструкций соединение с основанием при помощи трех стержней, направления которых пересекаются в одной точке (на рис. 2.15, б это точка О), так как возможен мгновенный поворот балки в плоскости вокруг точки О.
Гибкие связи. Гибкая связь, осуществленная в виде гибкой нерастяжимой нити (трос, канат и т. д.) или шарнирно закрепленного по концам стержня, не дает телу, закрепленному гибкой связью, удаляться от точек подвеса в единственном направлении – вдоль нити, троса, каната (рис. 2.16, а).
а |
б |
Рис. 2.16
Рис. 2.17
63