5. Центр тяжести
5. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
5.1. Центр параллельных сил
Рассмотрим систему параллельных сил F1, F2 ,…, FN (рис. 5.1). Силы приложены в точках с координатами xn, yn. Заданная система параллельных сил имеет равнодействующую R , параллельную заданным си-
N
лам и равную по модулю алгебраической сумме заданных сил R = ∑Fn ,
n=1
приложенаравнодействующаявточкеСскоординатамиxC, yC.
Точка С, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил, называется центром параллельных сил.
Вычислим момент от равнодействующей R и от сил Fn относительно осей Оy и Оx, получим
my (Fi )= R xC = F1x1 + F2 x2 + + FN xN ; mx (Fi )= R yC = F1 y1 + F2 y2 + + FN yN .
Из этих уравнений вычислим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
x |
= |
F x |
+ F x |
|
+ + F x |
|
|
|
∑Fi xi |
; |
||||
1 1 |
2 2 |
|
n n = n=1 |
|||||||||||
C |
|
F1 + F2 |
+ |
+ Fn |
|
|
|
|
R |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
y |
= |
F y |
+ F y |
2 |
+ + F y |
|
|
|
|
∑Fi yi |
. |
|||
1 1 |
2 |
|
n |
n = n=1 |
||||||||||
C |
|
F1 + F2 |
+ |
+ Fn |
|
|
|
|
R |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Формулы для координат центра параллельных сил:
|
N |
|
|
N |
|
|
|
∑Fn xn |
|
|
∑Fn yn |
|
(5.1) |
x = |
n=1 |
, |
y = |
n=1 |
. |
|
|
|
|||||
C |
R |
|
C |
R |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
105 |
|
И. В. Богомаз. Механика
Рис. 5.1
Здесь N – число сил, образующих систему параллельных сил. При N → ∞ имеем
|
N |
|
N |
|
|
∑Fn xn |
|
∑Fn yn |
|
x = |
n=1 |
, y = |
n=1 |
. |
|
|
|||
C |
R |
C |
R |
|
|
|
|
Размерность статического момента – единица длины в кубе (см3, м3). Статические моменты могут принимать положительные и отрицательные значения или быть равные нулю.
5.2. Центр тяжести твердого тела
Центр тяжести тела и центр системы параллельных сил, которую приближенно образуют силы тяжести элементарных сечений тела, совпадают. Действительно, если Fn ≡ Pn , где Pn – вес элементарной
частицы тела, то R ≡ P, где P – вес тела (рис. 5.2).
Вычислим координаты центра тяжести xC, yC, используя формулу (5.1). Имеем
x |
= ∑Pn xn , |
y |
= ∑Pn yn , |
z |
= ∑Pn zn . |
(5.2) |
C |
P |
C |
P |
C |
P |
|
|
|
|
|
N
Здесь P = ∑Pn – вес системы, xn, yn, zn – координаты сил Pn.
n=1
106
5. Центр тяжести
Рис. 5.2
Для однородного тела силу тяжести можно вычислить через плотность тела γ. Если рассматриваемое тело однородно, то обозначая удельную плотность вещества γ, получим
Pn = γ Vn , P = γV , dP = γdV , γ = const.
(Vn – объем элементарной частицы тела; dV – элементарный объем тела, V – объем тела).
Подставляя это выражение в равенство (5.2) после сокращения на γ, получим
|
N |
|
|
N |
|
|
N |
|
|
|
∑Vn xn |
|
|
∑Vn yn |
|
|
∑Vn zn |
|
|
x = |
n=1 |
; |
y = |
n=1 |
; |
z = |
n=1 |
. |
(5.3) |
|
|
|
|||||||
C |
V |
|
C |
V |
|
C |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если в (5.2) перейти к пределу N → ∞, увеличивая число элементарных частей N до бесконечности, то после замены бесконечной суммы интегралом получим координаты центра тяжести твердого тела:
x = |
1 |
∫ |
x dV, |
y = |
1 |
∫ |
y dV, |
z = |
1 |
∫ |
z dV. |
(5.4) |
|
V |
V |
V |
|||||||||||
C |
|
C |
|
C |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
V |
|
|
|
V |
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.3. Центр тяжести плоского сечения
Рассмотрим однородное тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями и контурной поверхностью (рис. 5.3). Такое тело будем называть пластиной. Так как пластина однородна, ее центр тяжести делит толщину пластины h на равные части.
107
И. В. Богомаз. Механика
Рис. 5.3
Совместим с плоскостью симметрии координатную плоскость
Oxy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разложим все тело на N малых элементов площадью An . Вес |
||||||||||
каждого элемента n-го элемента равен |
Pn . Воспользуемся формулой |
|||||||||
(5.2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При N → ∞ имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z = 0, |
x = |
1 |
|
x dA, |
y = |
1 |
|
y dA. |
||
A ∫ |
A ∫ |
|||||||||
|
C |
C |
|
C |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
A |
|
|
|
A |
|
|
При h → ∞ пластину будем называть сечением.
5.4. Центры тяжести простейших тел
Дуга окружности. Центр тяжести находится на оси симметрии дуги, которую примем за ось координат Ox (рис. 5.4). Координату центра тяжести дуги АВ вычисляем по формуле
1 B
xC = L ∫A x d .
Дуга окружности АB, равная L, определяется радиусом гиваемым ее центральным углом 2α. Тогда
(5.5)
R и стя-
L = R 2α, x = R cos ϕ, d = R dϕ.
108
5. Центр тяжести
Рис. 5.4
Подставляя эти значения в формулу (5.5), получим
|
1 |
+α |
R2 cosϕdϕ = |
R |
|
|
+α = |
R |
[sin α−sin(−α)]= R sin α. |
||||
x = |
|
sin ϕ |
|
||||||||||
|
|
||||||||||||
R 2α ∫ |
|
|
|||||||||||
C |
|
2α |
|
|
−α |
2α |
α |
||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
−α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Центр тяжести дуги окружности x |
|
= R |
sinα |
. |
|
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
α |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Круговой сектор. В силу симметрии центр тяжести кругового сектора радиусом R находится на оси Ox (рис. 5.5). Вычислим координату центра тяжести в полярной системе координат
xc = 1A ∫A x dA = 1A ∫∫A r2 cos ϕ dr dϕ.
Здесь x = r cosφ, dA = dx, dy = rdr dφ.
Рис. 5.5
109
И. В. Богомаз. Механика
Площадь кругового сектора
|
|
|
R |
|
+α |
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
A = ∫rdr ∫ dϕ = 2 |
|
|
α = R2 α. |
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
−α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
1 |
|
r2 cos |
ϕ dr dϕ = |
|
1 |
|
|
R r2dr |
+α cosϕdϕ = |
|||||||||||
A ∫∫ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
αR2 ∫ |
|
|
∫ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
−α |
|
||
|
|
= |
1 1 |
r |
3 |
|
R |
sin α |
|
+α |
= |
2 |
R |
sin α |
. |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
αR2 3 |
|
|
0 |
|
−α |
3 |
|
α |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Центр тяжести кругового сектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
= 2 |
R sin α. |
|
|
|
(5.6) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
3 |
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|||
Четверть круга. В силу симметрии центр тяжести четверть круга радиусом R находится на оси симметрии, тогда xC = yC (рис. 5.6). Координату центра тяжести полукруга вычислим по формуле
Здесь
Имеем
xC
= πR4 2
xC = 1A ∫A x dA.
A = 14 πR2 , dA = dx dy.
|
1 |
|
4 |
|
|
R |
|
|
R2 −y2 |
|
||
= |
∫xdx dy = |
|
|
∫y dy |
∫ x dx = |
|||||||
A |
πR |
2 |
||||||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
R |
|
|
2 |
|
|
|
R3 |
|
4R . |
||
∫(R2 − y2 )dy = |
|
(R3 − |
) = |
|||||||||
2 |
|
πR |
2 |
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
3π |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
110
5. Центр тяжести
Рис. 5.6
Центр тяжести кругового сектора
xC = yC = 43Rπ .
Центр тяжести полукруга радиусом R находится на оси симметрии, которую примем за ось Oy. Координату центра тяжести полукруга вычислим по формуле
|
|
A ∫ |
|
|
|
x = 0, |
y = |
1 |
|
y dA. |
(5.7) |
|
|||||
C |
C |
|
|
|
|
A
Перейдем в полярную систему координат:
y = r sin ϕ, dA = dx dy = r dr dϕ.
Подставляя эти значения в формулу (5.7), получим
y |
|
= |
1 |
∫ |
y dx dy = |
2 |
∫∫ |
r sin ϕ r dr dϕ = |
||||||||
|
A |
πR2 |
||||||||||||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
R |
|
2π |
|
|
|
2 |
|
|
R3 |
|
4R . |
= |
|
|
∫r |
2dr ∫sin ϕdϕ = |
|
|
|
2 = |
||||||||
πR |
2 |
πR |
2 |
3 |
||||||||||||
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
3π |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
111