11. ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИ
11.1. Основные понятия и зависимости. Условия прочности
Под действием внешних сил частицы тела перемещаются, и перемещение продолжается до тех пор, пока не установится равновесие между внешними и внутренними силами, т. е. тело находится в деформированном состоянии. Работа, которую совершают внешние силы, переходит в потенциальную энергию деформации. Если внешние силы постепенно уменьшать, тело возвращается к своей первоначальной форме.
Свойство тел возвращаться к своей первоначальной форме после удаления нагрузки называется упругостью.
Напряжения в поперечных сечениях стержня. Брус, нагру-
женный силами F и F′, которые приложены вдоль одной линии действия, совпадающей с осью бруса, равные по модулю и противоположные по направлению, подвержен осевому растяжению (рис. 11.1). На растяжение работают тросы, линии высоковольтных передач, винты и болты. Сжатие возникает в колоннах, поддерживающих перекрытия, кирпичной кладке от собственного веса и т. д.
При осевом растяжении все волокна имеют одинаковое удлинение, распределение сил по поперечному сечению равномерно. В поперечном сечении, перпендикулярном к оси бруса, внутренние усилия в любом сечении zi приводятся только к продольной силе N:
N (zi ) = ∑Fi z .
Рис. 11.1
232
11. Осевое растяжение и сжатие в пределах упругости
Условимся представлять брус в виде совокупности продольных элементов, параллельных оси бруса, имеющих бесконечно малые поперечные сечения. Эти элементы будем называть волокнами.
Обычно по известным внутренним усилиям N(z) в сечениях нетрудно вычислить их во всех остальных точках этого стержня (из условий равновесия других отсеченных частей) и построить эпюру. Эпюры принято строить под изображением расчетной схемы, подписывая характерные значения (max, min и др.), чтобы при анализе конструкции (расчетной схемы) иметь перед глазами всю необходимую информацию о свойствах конструкции при данных параметрах. Вывод формул для напряжений в брусе будем проводить по такой схеме: статическая сторона задачи, геометрия задачи, физическая сторона, синтез.
1. Статическая сторона задачи – запись уравнений равновесия. Рассмотрим брус, нагруженный силами F и F′ (рис. 11.2, а). Для
произвольного сечения z (рис. 11.2, в) статическая сторона задачи выражается уравнением
F = N, N = ∑σi A = ∫σ dA,
(11.1)
A
где А – площадь поперечного сечения бруса; σi – продольная сила i-го волокна.
Рис. 11.2
233
И. В. Богомаз. Механика
При осевом (центральном) растяжении продольные силы волокон равны между собой (рис. 11.2, б), тогда
N = ∫σ dA = σ∫ dA = σ A.
(11.2)
Итак,
A
N
σ =
.
(11.3)
A
В поперечном сечении бруса при растяжении возникают равно-
мерно распределенные нормальные напряжения, равные отношению продольной силы к площади сечения.
2. Геометрическая сторона задачи – изучение деформаций на основе опыта и гипотез.
На боковую поверхность стержня нанесем ортогональную сетку из продольных и поперечных линий (рис. 11.2, в). После нагружения стержня силой F, можно заметить, что поперечные линии смещаются вдоль продольной оси, оставаясь прямолинейными и перпендикулярными ей. Это подтверждает гипотезу плоских сечений Я. Бернулли: сечения бруса, плоские и перпендикулярные его продольной оси до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными оси в процессе деформации. Продольные линии (волокна) удлиняются на одну и
ту же величину A (рис. 11.2), и их относительное удлинение ε =
A
одинаково.
A
Геометрическая сторона задачи аналитически выражается урав-
нением, связывающим A, A и ε:
ε =
A
=const.
(11.4)
A
При расчетах руководствуются принципом Сен-Венана,кото-
рый можно изложить так: способ приложения внешних сил влияет на распределение напряжений только в области их приложения. Поэто-
му нарушение равномерности распределения напряжений вблизи мест приложения нагрузки носит местный характер.
3. Физическая сторона задачи состоит в том, что при расчетах на прочность и жесткость необходимо знать свойства материалов, сведе-
234
11. Осевое растяжение и сжатие в пределах упругости
ния о которых можно получить путем механических испытаний на растяжение.
4. Синтез – это совместное решение полученных уравнений.
Механические характеристики материала. Наиболее распро-
страненным является испытание на растяжение образцов специальной формы – цилиндрических или плоских (рис. 11.3, а).
Поперечные сечения образца под действием приложенных сил перемещаются поступательно вдоль оси и удлиняются. Опытным путем было установлено для многих материалов, что в некоторых пределах удлинение стержня пропорционально растягивающей силе. На рис. 11.3, б изображена диаграмма растяжения стержня A от прило-
женной силы F строительной стали марки Ст. 3 с содержанием углерода не более 0,22 %.
После достижения усилия Fmax удлинение образца происходит на небольшом участке. Это ведет к образованию местного сужения в виде шейки (рис. 11.4) и падению силы, при которой происходит разрушение.
а
б
Рис. 11.3
Рис. 11.4
235
И. В. Богомаз. Механика
Образец разрушается с образованием чашечки на одной его части и выступа на другой. На дне чашечки, которая образована поперечной трещиной, разрушение имеет характер отрыва в результате действия нормальных напряжений. Края же разрушаются вследствие сдвига в направлении наибольших касательных напряжений под углом около 45º.
Для оценки свойств материала эту диаграмму перестраивают в координатах «напряжение σ – продольная деформация ε».
Типичная диаграмма растяжения:
•для пластичных материалов, например строительной стали марки Ст. 3, показана на рис. 11.5, а;
•хрупких материалов, например чугуна, показана на рис. 11.5, б. Участок ОВ (рис. 11.5, а) – зона пропорциональности. Зависи-
мость между удлинением образца и силой носит линейный характер согласно закону Гука.
Эта зависимость сохраняется до силы Fпр (точка В на диаграмме рис. 11.5, а), которая используется для вычисления предела пропорциональности.
σпр =
Fпр
,
(11.5)
AО
где AO – начальная площадь сечения образца.
Для Ст. 3 σпр = 195–200 МПа.
а
б
Рис. 11.5
236
Юнг, Янг Томас
(1773 – 1829)
11. Осевое растяжение и сжатие в пределах упругости
Зависимость между удлинением образца A и силой F носит
линейный характер и при упругих деформациях определяется законом Гука:
F
= tg α
A
→ σ = E ε → ε =
σ
,
A
A
E
где E = tgα − модуль продольной упругости материала, физическая константа, характеризующая жесткость материала при линейной деформации (табл. 11.1).
Таблица 11.1
Материал
E · 105, МПа
Материал
E · 10–5, МПа
Чугун серый, белый
1,3–1,57
Дерево вдоль волокон
0,1–0,12
Углеродистые стали
1,96–2,06
Дерево поперек волокон
0,005–0,01
Алюминий катаный
0,69
Кладка из гранита
0,09–0,1
Идею о модуле упругости впервые высказал в 1800 г. английский ученый Томас Юнг. Он же первый указал, что закон Гука справедлив только в пределах упругих деформаций материала.
Пределом пропорциональности назы-
вается наибольшее напряжение, до которого сохраняется закон Гука. На этом участке возникают только упругие деформации.
Выше точки В диаграмма искривляется, закон Гука нарушается, деформации начинают расти быстрее роста напряжений.
Участок СЕ – площадка текучести. Здесь материал как бы уподобляется жидкости и течет, т. е. образец удлиняется при фактически постоянной нагрузке, равной Fy (у – текучесть, от англ. yield). Соответствующее напряжение вычисляется по формуле
σy =
Fy
,
(11.6)
AО
где AO – начальная площадь поперечного сечения образца.
237
И. В. Богомаз. Механика
Для Ст. 3 σy = 220–250 МПа; для различных сортов чугуна предел прочности на растяжение σy = 120–380 МПа.
Пределом текучести называется напряжение, при котором образец деформируется без заметного увеличения нагрузки.
Испытание материалов на сжатие. Испытание материалов на сжатие производят на образцах, имеющих вид цилиндров, высота которых равна их диаметру (обычно d = h = 20 мм). Результаты испытаний носят некоторый условный характер из-за наличия сил трения в опорных поверхностях образца. Для бетона, дерева применяют образцы в виде кубиков.
Диаграмма сжатия низкоуглеродистой стали почти полностью повторяет диаграмму растяжения (рис. 11.6, а).
а
б
в
г
Рис. 11.6
Пределы пропорциональности, упругости и текучести имеют те же значения, что и при растяжении. Углы наклона прямолинейных участков на обеих диаграммах одинаковы, значит, равны и модули E. Площадка текучести здесь выражена слабо. При дальнейшем нагружении развиваются значительные пластические деформации, образец (рис. 11.6, б) принимает бочкообразную форму, а затем, не претерпевая разрушения, расплющивается (рис.11.6, в, г). Поэтому получить предел прочности не представляется возможным, и его условно принимают таким же, как при растяжении: σut = σuc (t – растяжение от англ. tension; с – сжатие от англ. compression).
Пластичные материалы одинаково сопротивляются растяжению и сжатию. Образцы из других пластичных металлов (медь, алюминий)
238
11. Осевое растяжение и сжатие в пределах упругости
при сжатии деформируются так же, как образец из стали, имеют аналогичную диаграмму. Диаграмма сжатия чугуна по виду напоминает диаграмму растяжения, однако ординаты ее в несколько раз больше, чем при растяжении (рис. 11.7, а).
Образец принимает слегка бочкообразную форму (рис. 11.7, б). Когда нагрузка достигает наибольшего значения, на поверхности образца появляются трещины под углом примерно 45º к оси. Нагрузка резко падает, и диаграмма обрывается. Разрушение происходит от сдвигов по площадкам с наибольшими касательными напряжениями.
Большинство хрупких материалов (бетон, камень) разрушается при сжатии так же, как чугун, и имеет подобную диаграмму. Хрупкие материалы сопротивляются сжатию значительно лучше, чем рас-
тяжению. Для серого чугуна предел прочности на сжатие σuc = 560– 900 МПа, а на растяжение σut = 120–190 МПа, т. е. в 4–5 раз меньше.
При испытании дерева на сжатие приходится учитывать, что дерево является материалом анизотропным и по-разному сопротивляется деформированию вдоль и поперек волокон. Диаграммы сжатия древесины вдольволокон(кривая1) ипоперек(кривая2) показанынарис. 11.8, а.
