- •Змістовий модуль 2
- •2. Основні властивості невизначеного інтеграла Враховуючи означення невизначеного інтеграла
- •3. Таблиця найпростіших інтегралів
- •4. Незалежність виду невизначеного інтеграла від вибору аргументу
- •6. Комплексні числа.
- •3. Інтегрування дробів
- •4.Інтегрування найпростіших ірраціональностей
- •5. Підстановки Ейлера
- •6. Інтегрування диференціальних біномів
- •7. Інтегрування тригонометричних функцій
- •Семінарське заняття 11
- •Тема 10. Визначений інтеграл. Невласні інтеграли. Кратні інтеграли
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Визначений інтеграл. Невласні інтеграли 1-го і 2-го роду
- •1. Визначений інтеграл та його геометрична інтерпретація
- •2. Властивості визначеного інтеграла
- •3. Формула Ньютона-Лейбніца
- •4. Наближене обчислення інтеграла
- •5. Невласні інтеграли першого і другого роду. Поняття про кратні інтеграли
- •Наприклад
- •Наприклад. Інтеграл – абсолютно збіжний інтеграл, оскільки, а– збіжний інтеграл (читачеві рекомендується перевірити це самостійно).
- •6. Застосування визначеного інтегралу
- •Економічні застосування інтегралів
- •Семінарське заняття 12
- •Тема 11. Числові ряди
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •2. Властивості збіжних рядів
- •Дійсно, якщо –– на частинна сума ряду (1), а–– на частинна сума ряду (2), то , і.
- •Якщо ряд (1) збігається, то його – ний член прямує до нуля при необмеженому зростанні.
- •Семінарське заняття 13
- •2. Інтервал і радіус збіжності.
- •3. Властивості степеневих рядів
- •Так, якщо
- •4. Ряди Тейлора і Маклорена. Приклади
- •Підкреслимо, що ряд Тейлора представляє дану функцію тільки тоді, коли(в противному випадку ряд може збігатися до іншої функції). Наведемо кілька важливих рядів Маклорена
- •Ряди по ортогональних функціях
- •Ряди Фур'є Функціональний ряд
- •Розглянемо ряд
- •2. Властивості функціональних рядів
- •Семінарське заняття 14
- •Тема 13. Загальні відомості про диференціальні рівняння. Деякі типи диференціальних рівнянь першого порядку
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Семінарське заняття 15
- •Тема 14. Диференціальні рівняння вищих порядків
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Рівняння виду
- •Семінарське заняття 17
- •Семінарське заняття 18
- •Тема 14. Диференціальні рівняння вищих порядків. Лдр вищого порядку з правою частиною спеціального виду
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •9.1. Основні поняття
3. Формула Ньютона-Лейбніца
На основі наведених властивостей можна легко довести теорему про похідну від інтеграла із змінною верхньою межею: якщо функція неперервна на проміжку, похідна від інтеграла дорівнює підінтегральній функції: .
Дійсно, згідно з властивістю 6) визначеного інтеграла, маємо:
.
Отже, .
Використовуючи теорему про середнє до інтеграла , отримаємо:. Таким чином,. Отже,. Але колито. Це означає, що, що і потрібно було довести.
На основі доведеної теореми легко можна довести знамениту формулу Ньютона-Лейбніца: якщо – яка-небудь первісна від неперервної функції, то
.
Дійсно, якщо – яка-небудь первісна від неперервної функції, то, оскільки– також її первісна, маємо:
, де – стала.
Для визначення цієї сталої покладемо в останній рівності
або Звідси одержуємо:. Таким чином,. Підставившиодержуємо формулу Ньютона-Лейбніца, яка встановлює зв’язок між визначеним та невизначеним інтегралами. Цю формулу записують ще так:
Наприклад
Для знаходження визначених інтегралів користуються методом заміни змінної та методом інтегрування по частинах.
Так, для обчислення інтеграла , де, можна ввести нову зміннуза формулою:. Якщо:
а)
б) неперервні при;
в) – визначена і неперервна функція на відрізку, то має місце формула:
.
Наприклад, .
При потребі користуються формулою інтегрування по частинах:
Наприклад.
.
4. Наближене обчислення інтеграла
Для наближеного обчислення інтегралів користуються різними інтегральними сумами.
Для методу прямокутників
,
де – крок розбиття,.
Для методу трапецій
,
де .
Для методу парабол (методу Симпсона)
,
де
При інтегральні суми прямують до інтеграла. Величина похибки(при умові існування похідних, що характеризують) визначається рівностями
для методу прямокутників;
, для методу трапецій;
для методу парабол.
Наприклад. Обчислити за формулою прямокутників, взявши
Розв'язування. У цьому прикладі , причому
5. Невласні інтеграли першого і другого роду. Поняття про кратні інтеграли
І. Розглянемо інтеграли з нескінченними границями, або невласні інтеграли першого роду.
Нехай , а функціянеперервна. Якщо існує скінченна границя, то вона називаєтьсяневласним інтегралом від на проміжкуі позначається так:. Отже,.
Якщо прине має скінченої границі, то говорять, щоне існує (або розбігається).
Якщо , то геометричноце площа нескінченної фігури, обмеженої лініямита віссю(рис.1).
Рис. 1. Геометричний зміст невласного інтегралу 1-го роду.
Аналогічно вводять означення таких інтегралів:
.
Наприклад. Дослідити на збіжність інтеграли:
а) б)
Розв'язування. а) ; (інтеграл збігається до 1);
б) (інтеграл розбіжний).
Невласний інтеграл першого роду має такі властивості:
Якщо збігається то збігається також, і навпаки. При цьому
Якщо збігається, то
Якщо збігається, то ізбігається, причому
.
Якщо збігаються обидва інтеграла і, то збігається інтеграл
причому
Для збіжності невласного інтеграла у випадку додатної функції необхідно і достатньо, щоб інтеграл при зростанні А залишався обмеженим зверху:
Для інтегралів від додатних функцій має місце теорема порівняння: якщо при має місце нерівність, то із збіжності інтегралувипливає збіжність інтегралу(або, що те ж саме, із розбіжності інтегралувипливає розбіжність інтегралу).