9.1. Основні поняття

При вивченні багатьох явищ і процесів недостатньо складати й досліджувати рівняння відносно однієї лише функції.

Системою диференціальних рівнянь називається сукупність рівнянь, в кожне з яких входять незалежна змінна, шукана функція та їх похідні. Зокрема, нормальною системою диференціальних рівнянь називається система рівнянь першого порядку, розв’язаних відносно похідних:

Розв’язком системи диференціальних рівнянь називається сукупність функцій яка при підстановці в кожне з рівнянь системи перетворює його на тотожність.

Загальний розв'язок нормальної системи диференціальних рівнянь має вигляд

де - довільні сталі.Частинним називається такий розв'язок системи , який задовольняє початковим умовам:

.

Якщо знайдено загальний розв'язок системи рівнянь, то для відшукання частинного розв'язку розв’язують систему алгебраїчних рівнянь відносно виду

Сформулюємо теорему існування та єдиності частинного розв'язку для нормальної системи диференціальних рівнянь.

Якщо праві частини нормальної системи рівнянь неперервні разом із своїми частинними похідними в околі значень t₀, x₁₀, x₂₀,…, x_n0, то існує єдина система функцій x₁(t), x₂(t),…, x_n(t), що є розв’язком системи рівнянь, який задовольняє заданим початковим умовам.

Система диференціальних рівнянь у багатьох випадках розв'язується методом виключення змінних.

У разі, система лінійна із сталими коефіцієнтами, метод виключення дозволяє перейти до одного диференціального рівняння вищого порядку із сталими коефіцієнтами. Для цього диференціюють одне з рівнянь системи (наприклад, перше) і підставляють у похідну замістьвідповідні вирази з вихідної системи. Отриману рівність знову диференціюють і, аналогічно попередньому, виражають перші похідні через праві частини рівнянь системи. Цей процес повторюють доти, поки не вдається виключити змінніз усіх отриманих таким способом рівнянь і отримати рівняння- го (або нижчого) порядку відносно лише однієї змінної. Системи диференціальних рівнянь використовуються в астрономії, фізиці, біології, економіці тощо. Наведемо лише один приклад.

Англійський метеоролог і математик Льюіс Ф. Річардсон, який служив санітаром на фронті під час першої світової війни, запропонував математичну модель міжнародної гонки озброєнь. За його моделлю з високою достовірністю можна передбачити війну. Робота Річардсона започаткувала математичну теорію міжнародних стосунків. Модель Річардсона має вигляд:

,

де – час,– витрати на озброєння однієї держави, а– іншої;– додатні сталі (якщо проводять дослідження приі, то ці коефіцієнти називають коефіцієнтами доброї волі). Модель Річардсона може бути застосованою для аналізу зростання витрат політичних партій перед виборами, для вивчення зростання цін на товари, при проведенні аукціонів тощо.