- •Змістовий модуль 2
- •2. Основні властивості невизначеного інтеграла Враховуючи означення невизначеного інтеграла
- •3. Таблиця найпростіших інтегралів
- •4. Незалежність виду невизначеного інтеграла від вибору аргументу
- •6. Комплексні числа.
- •3. Інтегрування дробів
- •4.Інтегрування найпростіших ірраціональностей
- •5. Підстановки Ейлера
- •6. Інтегрування диференціальних біномів
- •7. Інтегрування тригонометричних функцій
- •Семінарське заняття 11
- •Тема 10. Визначений інтеграл. Невласні інтеграли. Кратні інтеграли
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Визначений інтеграл. Невласні інтеграли 1-го і 2-го роду
- •1. Визначений інтеграл та його геометрична інтерпретація
- •2. Властивості визначеного інтеграла
- •3. Формула Ньютона-Лейбніца
- •4. Наближене обчислення інтеграла
- •5. Невласні інтеграли першого і другого роду. Поняття про кратні інтеграли
- •Наприклад
- •Наприклад. Інтеграл – абсолютно збіжний інтеграл, оскільки, а– збіжний інтеграл (читачеві рекомендується перевірити це самостійно).
- •6. Застосування визначеного інтегралу
- •Економічні застосування інтегралів
- •Семінарське заняття 12
- •Тема 11. Числові ряди
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •2. Властивості збіжних рядів
- •Дійсно, якщо –– на частинна сума ряду (1), а–– на частинна сума ряду (2), то , і.
- •Якщо ряд (1) збігається, то його – ний член прямує до нуля при необмеженому зростанні.
- •Семінарське заняття 13
- •2. Інтервал і радіус збіжності.
- •3. Властивості степеневих рядів
- •Так, якщо
- •4. Ряди Тейлора і Маклорена. Приклади
- •Підкреслимо, що ряд Тейлора представляє дану функцію тільки тоді, коли(в противному випадку ряд може збігатися до іншої функції). Наведемо кілька важливих рядів Маклорена
- •Ряди по ортогональних функціях
- •Ряди Фур'є Функціональний ряд
- •Розглянемо ряд
- •2. Властивості функціональних рядів
- •Семінарське заняття 14
- •Тема 13. Загальні відомості про диференціальні рівняння. Деякі типи диференціальних рівнянь першого порядку
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Семінарське заняття 15
- •Тема 14. Диференціальні рівняння вищих порядків
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Рівняння виду
- •Семінарське заняття 17
- •Семінарське заняття 18
- •Тема 14. Диференціальні рівняння вищих порядків. Лдр вищого порядку з правою частиною спеціального виду
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •9.1. Основні поняття
Ряди Фур'є Функціональний ряд
(4)
де – сталі числа, називаєтьсятригонометричним рядом.
Відзначимо основні властивості тригонометричних рядів.
а) Сума тригонометричного ряду (4) – періодична функція з періодом .
б) Якщо числовий ряд збігається абсолютно, то тригонометричні рядитазбігаються рівномірно на всій числовій осі.
в) Якщо тригонометричний ряд (4) збігається рівномірно на відрізку до функції, то
, ,
.
Нехай – деяка періодична функція періодуT=2. Тригонометричний ряд
називається рядом Фур'є для функції , якщо коефіцієнти цього ряду знаходяться за формулами типу (3):
(тобто ),
Функціональні ряди (загальна теорія)
Функціональний ряд та його збіжність
Розглянемо ряд
(1)
членами якого є функції; задані на інтервалі . Щоб відповісти на питання, в якому розумінні частинна суманаближається до суми, розглянемо поняття про відхилення двох функцій.
Нехай дві функції, і, задані на одному і тому ж скінченому інтервалі.Рівномірним відхиленням їх одна від другої називається величина середнім інтегральним відхиленням функцій таназивається величинаДеколи користуютьсясереднім квадратичним відхиленням: . Зустрічаються і інші види відхилень.
Говорять, що ряд (1) збігається на даному інтервалі до функції – суми ряду, якщо відхилення частинної сумивідпрямує до нуля при зростанні. При цьому ряд (1) збігається до сумирівномірно, якщо в середньому, якщо в середньому квадратичному, якщо Зауважимо, що коли, ряд (1) збігається рівномірно, то він збігається також в середньому та в середньому квадратичному, причому до тієї ж суми.
Вейєрштрасс довів, що коли всі , причому, то ряд (1) рівномірно збігається.
Сукупність тих значень , при яких функціональний ряд збігається, називаєтьсяобластю збіжності цього ряду.
Приклад №1. Функціональний ряд
збігається при , і його сума дорівнює. Отже,
2. Властивості функціональних рядів
Відзначимо основні властивості рівномірно збіжних функціональних рядів.
1) Сума рівномірно збіжного ряду з неперервних функцій – неперервна функція.
Дійсно, якщо ,
то
.
Функція неперервна як сума скінченого числа неперервних функцій. при досить великих значенняхзалишокбуде як завгодно малий при– це випливає із рівномірної збіжності ряду. Отже, малому приростувідповідає як малий приріст, так і малий приріст. Значить, і вся сумазміниться мало, що і доводить її неперервність.
Зауважимо, що коли ряд (1) збігається рівномірно, то його сума може мати розриви лише в тих точках, в яких мали розриви доданки. Якщо ж ряд збігається в середньому, то його сума може мати і інші розриви, а також бути розривною, якщо всі члени ряду – неперервні.
2) Якщо ряд збігається рівномірно, то його можна почленно інтегрувати:
,
причому одержаний в результаті інтегрування ряд рівномірно збігається на інтервалі .
Дійсно,
.
3) Ряд із неперервних функцій, що рівномірно збігається, можна почленно диференціювати, якщо після цього одержується ряд, який збігається рівномірно:
Дійсно, нехай .
Інтегруючи почленно цей ряд на основі попередньої властивості, маємо:
.
Диференціюючи цю рівність по , знаходимо:. Властивість доведена.