- •Введение
- •Глава I предмет и значение логики
- •§ 1. Формы познания Формы чувственного познания
- •§ 2. Понятие логической формы и логического закона
- •§ 3. Логика и язык
- •Глава II понятие
- •§ 1. Понятие как форма мышления
- •§ 2. Отношения между понятиями
- •§ 3. Определение понятий
- •§ 4. Деление понятий. Классификация
- •§ 5. Ограничение и обобщение понятий
- •Глава III суждение
- •§ 1. Общая характеристика суждения
- •§ 2. Простое суждение
- •§ 3. Сложное суждение и его виды. Исчисление высказываний
- •§ 4. Выражение логических связок (логических постоянных) в естественном языке
- •§ 5. Отношения между суждениями по значениям истинности
- •§ 6. Деление суждений по модальности
- •Глава IV
- •§ 1. Понятие логического закона
- •§ 2. Законы логики и их роль в познании
- •§ 3. Использование формально-логических законов в процессе обучения
- •Глава V умозаключение
- •§ 1. Общее понятие об умозаключении
- •§ 2. Дедуктивные умозаключения
- •§ 3. Выводы из категорических суждений посредством их преобразования
- •§ 4. Простой категорический силлогизм.
- •I. Правила терминов
- •§ 5. Сокращенный категорический силлогизм (энтимема)
- •§ 6. Сложные и сложносокращенные силлогизмы (полисиллогизмы, сориты, эпихейрема)
- •§ 7. Условные умозаключения
- •II. Отрицающий модус (modus tollens).
- •§ 8. Разделительные умозаключения
- •§ 9. Условно-разделительные (лемматические) умозаключения
- •§ 10. Сокращенные условные, разделительные и условно-разделительные умозаключения
- •1. В умозаключении пропущено заключение
- •2. В умозаключении пропущена одна из посылок
- •§ 11. Непрямые (косвенные) выводы
- •1. Рассуждение по правилу введения импликации
- •§ 12. Индуктивные умозаключения и их виды Логическая природа индукции
- •2. Индукция через анализ и отбор фактов
- •3. Научная индукция
- •§ 13. Индуктивные методы установления причинных связей
- •§ 14. Дедукция и индукция в учебном процессе
- •Глава VI логические основы теории аргументации
- •§ 1. Понятие доказательства
- •§ 2. Прямое и непрямое (косвенное) доказательства
- •§ 3. Понятие опровержения
- •I. Опровержение тезиса (прямое и косвенное)
- •II. Критика аргументов
- •III. Выявление несостоятельности демонстрации
- •§ 4. Правила доказательного рассуждения. Логические ошибки, встречающиеся в доказательствах и опровержениях
- •§ 5. Понятие о софизмах и логических парадоксах
- •§ 6. Искусство ведения дискуссии
- •III. В чем заключаются логические ошибки, допущенные в следующих софизмах?
- •Глава IX
- •Тема «Понятие» (4 часа) Основные вопросы
- •Тема «Суждение» (4 часа) Основные вопросы
- •Тема «Умозаключение» (4 часа) Основные вопросы
- •§ 2. Специфика методики преподавания логики
- •В средних педагогических учебных заведениях:
- •Педучилищах, педколледжах, педклассах (из опыта
- •Работы)
- •Тест айзенка
- •§ 3. Методика повышения логической культуры учащихся начальной и средней школы (из опыта работы)
- •1. Содержание работы
- •2. Требования к оформлению работы
- •Глава X
- •§ 2. Развитие логики в связи с проблемой обоснования математики
- •§ 3. Интуиционистская логика
- •§ 4. Конструктивные логики
- •§ 5. Многозначные логики
- •Глава X. Этапы развития логики как науки и основные направления ...
- •Глава X. Этапы развития логики как науки и основные направления ...
- •Глава X. Этапы развития логики как науки и основные направления
- •§ 6. Законы исключенного третьего
- •Глава X. Этапы развития логики как науки и основные направления
- •§ 7. Модальные логики
- •§ 8. Положительные логики
- •§ 9. Паранепротиворечивая логика
- •3. Суждение.
- •4. Умозаключение.
- •5. Логические основы теории аргументации.
§ 4. Выражение логических связок (логических постоянных) в естественном языке
В мышлении мы оперируем не только простыми, но и сложными сужденими, образуемыми из простых посредством логических связок (или операций) — конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции, отрица ния, которые также называются логическими константами, или логическими постоянными. Проанализируем, каким образом перечисленные логические связки выражаются в естественном (русском) языке.
Конъюнкция (знак «л») выражается союзами: «и», «а», «но», «да», «хотя», «который», «зато», «однако», «не только..., но и» и др. В логике высказываний знак «л» соединяет простые высказывания, образуя из них сложные. В естественном языке союз «и» и другие слова, соответствующие конъюнкции, могут соединять существительные, глаголы, наречия, прилагательные и иные части речи. Например: «Дети пели и смеялись» (а л Ь); «Интересная и красиво оформленная книга лежит на столе». Последнее высказывание нельзя разбить на два простых, соединенных конъюнкцией: «Интересная книга лежит на столе» и «Красиво оформленная книга лежит на столе», так как создается впечатление, что на столе лежат две книги, а не одна.
В логике высказываний действует закон коммутативности конъюнкции (а д Ь) = (Ь л а). В естественном русском языке такого закона нет, так как действует фактор времени. Там, где учитывается последовательность во времени, употребление союза «и» некоммутативно. Поэтому не будут эквивалентными, например, такие два высказывания: 1) «Джейн вышла замуж, и у нее родился ребенок» и 2) «У Джейн родился ребенок, и она вышла замуж».
В естественном языке конъюнкция может быть выражена не только словами, но и знаками препинания: запятой, точкой с запятой, тире. Например: «Сверкнула молния, загремел гром, пошел дождь».
О выражении конъюнкции средствами естественного языка пишет С.Клини в книге «Математическая логика». В разделе «Анализ рассуждений» он приводит (не исчерпывающий) список выражений естественного языка, которые могут быть заменены символами «л» (или «&»). Формула А л В в естественном языке может выражаться так:
«Не только А, но и В.
В, хотя и А.
В, несмотря на А.
Как А, так и В.
А вместе с В.
А, в то время как В»
Придумать примеры на все эти структуры предоставляем читателю. В естественном (русском) языке дизъюнкция (обозначенная а v Ь и а v Ь) сражается союзами: «или», «либо», «то ли..., то ли» и др. Например: «Вечером я пойду в кино или в библиотеку»; «Это животное принадлежит ли-позвоночным, либо к беспозвоночным»; «Сочинение будет то ли по [доведениям Л.Н.Толстого, то ли по произведениям Ф.М.Достоевского». В логике высказываний различается нестрогая дизъюнкция, например: : подарю ей цветы или книги» (а v Ь), и строгая дизъюнкция, например: Данный студент находится в институте или дома» (а v Ь). В нестрогой дизъюнкции члены дизъюнкции не исключают друг друга, а в строгой — исклюют. Для обоих видов дизъюнкции действует закон коммутативности:
(а v Ь) = (Ь v а) и (а v Ь) = (Ь v а)
В естественном языке эта эквивалентность сохраняется. Например, сужение «Я куплю масло или хлеб» эквивалентно суждению «Я куплю хлеб [ масло».
И.Клини показывает, какими разнообразными способами могут быть выражены в естественном языке импликация (А э В) и эквиваленция I - В)1. (Буквами Л и В обозначены переменные высказывания). Приведем структуры и соответствующие им примеры, иллюстрирующие I разнообразные способы выражения импликации Л э В (где Л — антецедент, а В — консеквент):
1. Если А, то В. Если пойдет дождь, то экскурсия в лес не состоится.
2. Коль скоро А, то В. Коль скоро приближается буря, то медузы приплывают к берегу моря.
3. В случае А имеет место В. В случае, когда наступает инфляция, имеет место снижение жизненного уровня трудящихся.
4. Для В достаточно А. Для того чтобы металл расплавить, достаточно его нагреть до температуры плавления.
5. Для А необходимо В. Для сохранения мира на Земле необходимо увеличить усилия всех государств в борьбе за мир.
6. А (материально) влечет В. Овладение искусством общения влечет улучшение межличностных отношений.
7. А, только если В. Ваши коммуникации будут успешнее, только если вы займете позицию: «У меня все в порядке — у тебя все в порядке»
8. В, если А. ДМ поедем отдыхать в санаторий, если у нас будет путевка. Приведем структуры и соответствующие им примеры разнообразных способов выражения эквиваленции:
А, если и только если В. Посевная пройдет успешно, если и только если вовремя будут отремонтированы сельскохозяйственные машины.
Если А, то В, и обратно. «Если вы твердо уверены, что ваши аргументы убедительнее, но ваш коллега, стоящий на той же ступеньке служебной лестницы, не хочет этого замечать, то избегайте призывать на помощь ваше го начальника», и обратно.
А, если В, и В, если А. Всякое число является четным, если оно делится на 2, и число делится на 2, если оно является четным.
4.Дяя А необходимо и достаточно В. Для того чтобы число без остатка делилось лось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра была 0 или 5.
5. А тогда и только тогда, когда В, В коллективе возникает хороший психологический климат тогда и только тогда, когда будут однозначно определены задачи, ответственность и компетенция каждого сотрудника2.
Из приведенных выше схем и соответствующих им высказываний с конкретным разнообразным содержанием становится ясно, насколько многогранны в естественном языке (в частности, русском) средства выражения импликации и эквиваленции и других логических связок (логических терминов). Это можно сказать и о других естественных языках3.
Импликация (а -» Ь) не совсем соответствует по смыслу союзу «если..., то» естественного языка, так как в ней может отсутствовать содержательная связь между суждениями а и Ь. В логике высказываний законом является формула: (а -> Ь) е (а V Ь). Но в естественном языке дело обстоит иначе. Иногда союз «если..., то» выражает не импликацию, а конъюнкцию. Например: «Если вчера было пасмурно, то сегодня ярко светит солнце». Это сложное суждение выражается формулой а л Ь.
В логике, кроме логических связок, для выражения общих и частных суждений используется квантор общности и квантор существования. Запись с квантором общности УхР(х) обычно читается так: «Все х (из некоторой области объектов) обладают свойством Р», а запись с квантором существования 3 хР(х) читается так: «Существуют такие х (в данной области), которые обладают свойством Р». Например, Зх(х> 100) читается так: «Существуют такие х, которые больше 100», где под* подразумевают числа. В русском языке квантор общности выражается словами: «все», «всякий», «каждый», «ни один» и др. Квантор существования выражается словами: «некоторые», «существуют», «большинство», «меньшинство», «только некоторые», «иногда», «тот, который», «не все», «многие», «немало», «немногие», «много», «почти все» и др.
С.Клини пишет о том, что, переводя выражения обычного языка с помощью табличных пропозициональных связок, мы лишаемся некоторых оттенков смысла, но зато выигрываем в точности.
Контрфактическими называют условные высказывания, выраженные в сослагательном наклонении. Например: «Если бы на Земле не было кислорода, то жизнь на ней была бы невозможна»; «Если бы водитель не нарушил правила, то авария бы не произошла». В импликации а -» Ь переменная а является основанием {она называется антецедентом). Переменная Ь — следствием (заключением), она называется консеквентном.
Сослагательное наклонение показывает, что антецедент и консеквент в таких высказываниях ложны, т.е. не соответствуют реальному положению дел. Однако, подобно всем другим высказываниям, контрфактическое высказывание в целом может быть истинным. Оно истинно, если между его антецедентом и консеквентом имеется связь такого рода, что истинность антецедента влечет истинность консеквента. И ложно, если такой связи нет. Например, высказывание «Если бы сейчас была ночь, то на улице было бы темно» истинно, а высказывание «Если бы сейчас была ночь, то на улице было бы светло» ложно (для несеверных широт, так как на Севере летом бывают белые ночи). Поскольку антецедент и консеквент контрфактического высказывания оба ложны, установление их истинности связано с серьезными трудностями.
Контрфактическое высказывание имеет структуру: «Если бы а, то было бы Ь». Контрфактические высказывания широко используются в научной практике. Так, например, историки для оценки событий, намерений, мотивов, политических планов и т.п. часто употребляют контрфактические предложения, говорящие, что могло бы быть, если бы дело обстояло не так, как это произошло в действительности. Контрфактическое предложение, изъявительные формы антецедента и консеквента которого обозначены соответственно через а и Ъ, принято записывать как а -» Ь.
Примером сложного контрфактического высказывания является следующее истинное высказывание: «Последствия стихии могли быть тяжелее, если бы не мужество и сплоченность людей, четкая организация спасательных работ, неукоснительное выполнение всеми порученного дела». Чтобы записать формулу этого сложного контрфактического высказывания, надо его сначала привести к четкой логической форме. Она такая: «Если бы не было мужества и сплоченности людей, четкой организации спасательных работ, неукоснительного выполнения всеми порученного дела, то последствия стихии могли бы быть тяжелее». Формула этого контрфактического высказывания такая:
(а л Ъ л с л с!) >->• е.
Здесь а обозначает высказывание «Мужество людей отсутствовало», Ь — высказывание «Сплоченность людей отсутствовала», с — «Четкая организация работ отсутствовала», А — «Неукоснительное выполнение всеми порученного дела отсутствовало». Все четыре высказывания соединены знаками конъюнкции. Знак «>->•» обозначает импликацию в контрфактическом высказывании, соответствующую союзу «если бы..., то было бы». Буква е обозначает высказывание «Последствия стихии оказались тяжелее». Следует заметить, что знак «•->» отсутствует в классической логике высказываний.
Контрфактические высказывания довольно часто встречаются не только в научной, но и в художественной литературе — как в прозе, так и в поэзии.
В практике математических и иных рассуждений имеются понятия «необходимое условие» и «достаточное условие». Условие называется необходимым, если оно вытекает из заключения (следствия). Условие называется достаточным, если из него вытекает заключение (следствие). Ниже предлагаются задачи, требующие в каждом из следующих предложений вместо многоточия поставить слова: «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно».
1. Для того чтобы сумма двух целых чисел была четным числом ... чтобы каждое слагаемое было четным.
2. Для того чтобы число делилось на 15 ... чтобы оно делилось на 5.
3. Для того чтобы произведение (х — 3)-(х+2)-(х — 5) было равно 0,... чтобы х = 3.
4. Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником ... чтобы все его углы были равны.