при линейном вытеснении нефти водой:

Rк — радиус контура нефтеносности;

Θ0 — угол начального расположения точки на контуре нефтеносности; Θ — угол текущего расположения точки;

Q — дебит скважины.

При расчетах по формуле (6.135) времени прорыва по главной линии тока при Θ0 → 90° обнаружено несогласование со значением времени прорыва, вычисленным по формуле В.Н. Щелкачева. После анализа и уточнения формула (6.135) приняла следующий вид:

Уравнение линии тока имеет вид [32]

Первая часть исследований состояла в изучении изменения по формуле (6.138) времени стягивания к скважинам различных точек контура нефтеносности, начальное положение которых задавалось углом Θ. Кроме этого изучалось изменение коэффициента вытеснения нефти для батарей с различным числом скважин, для чего необходимо было построить по формуле (6.139) линию тока, проходящую через точку контура нефтеносности, близкую к нейтральной линии тока. Расчеты проводились на ЭВМ ЕС-1035 для батарей, состоящих из n = 4 и n = 8 скважин, С.К.Сохошко.

Результаты расчетов времени подхода к скважинам точек контура нефтеносности, начальное положение которых наиболее близко к ней-

133

тральной линии тока, представлены на рис. 6.27 в зависимости от rк . Это

время соответствует времени стягивания контура нефтеносности. При изменении rк от 0,2 до 0,6 происходит уменьшение времени стягивания

контура, но при изменении rк от 0,6 до 0,8 время начинает увеличиваться.

Это объясняется заходом линии тока в область, где усиливается влияние остальных скважин. Время стягивания контура нефтеносности, как это видно из рисунка, для батареи из четырех скважин несколько меньше, чем для батареи восьми скважин.

Рис.6.27. Изменение безразмерного времени τ стягивания контура нефтеносности в зависимости от безразмерного радиуса rк подвижного контура (п –число

скважин в круговой батарее)

По формулам В.Н. Щелкачева [6] вычислялось безразмерное время движения по главной и нейтральной линиям тока от контура нефтеносности до кольца батареи скважин:

Результаты расчетов при rк = 0,2 оказались следующие: при п = 4 - τr=

11,52; τн = 12,48; при п = 6 — τr = 11,83; τн = 12,16; п = 8 — τr = 11,91; τн = 12,08 (табл. 6.4).

Вычисление коэффициента вытеснения нефти производилось на моментполногообводненияскважиндля rк = 0,2 изсоотношения

К0 = S − Sн ,

S

где S — площадь круга, ограниченного контуром нефтеносности;

134

S Н — площадь, занимаемая неизвлекаемойнефтью, рис. 6.28.

Таблица 6.4

Результаты расчета безразмерного времени движения частицы жидкости по главной и нейтральной линиям тока и коэффициента вытеснения нефти водой

Вычисление коэффициента вытеснения нефти производилось на моментполногообводненияскважиндля rк = 0,2 изсоотношения

К0 = (S - SН ) / S,

где S — площадь круга, ограниченного контуром нефтеносности; S Н — площадь, занимаемая неизвлекаемойнефтью, рис. 6.28.

6.28. Качественнаякартинастягиванияконтуранефтеносностинамомент полногообводнения4-хскважинкруговойбатареи

Для батареи из четырех скважин получено значение К0 = 0,994, для восьми скважин К0 = 0,966.

Работа батареи из восьми скважин может быть организована в два этапа: вначале до времени тг работают все восемь скважин, затем до

135

предельного обводнения работают лишь четыре скважины, обеспечивая максимальное значение коэффициента вытеснения.

Из данных, представленных в табл. 6.4, следует:

1)время стягивания контура нефтеносности для rк = 0,6 значительно меньше, чем для rк = 0,2;

2)хотя обводнение скважин для rк = 0,6 наступает раньше, чем для rк

=0,2, но время работы скважин обеих систем в условиях обводнения отличается незначительно;

3)в целях интенсификации добычи для батареи из восьми скважин при их значительном обводнении можно рекомендовать отключение четырех симметричных скважин, что приведет к увеличению коэффициента вытеснения и к сокращению времени работы скважин до полного обводнения.

Вычисление коэффициента вытеснения нефти проводилось на момент полного обводнения скважин (см. рис. 6.28).

Как видим, теоретические расчеты при поршневом вытеснении одной жидкости другой дают очень высокие коэффициенты вытеснения. Поэтому в практические расчеты необходимо вносить коррективы на многофазность потока, капиллярный скачок и остаточную нефтеили газонасыщенность в зоне вытеснения. Время продвижения контура нефтеносности, очевидно, можно оценивать по изложенной методике.

136

Глава 7. НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ОДНОРОДНОЙ УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ

7.1. Основные положения упругого режима

Как показали теоретические исследования и эксперименты, а также многолетняя практика разработки нефтегазоводоносных пластов, упругие свойства жидкостей и породы оказывают существенное влияние на показатели разработки залежей. Эти свойства необходимо учитывать при подсчете запасов нефти и газа, при проектировании разработки месторождений, а также в процессе их эксплуатации.

Известно, что в пластовых условиях в жидкости (нефти) содержится газ как в свободном, так и в растворенном состоянии. Причем, если пластовое давление в процессе эксплуатации превышает давление насыщения жидкости газом, то весь пластовый газ находится в растворенном состоянии и к забоям скважин поступает однородная (однофазная) жидкость (нефть). В этом случае источником пластовой энергии является упругая деформация пласта и упругость насыщающей его жидкости, и режим пласта называется упругим. При этом в начальной стадии эксплуатации упругие свойства проявляются лишь в окрестности скважины и с течением времени происходит перераспределение давления вплоть до контура пласта.

Если пласт является закрытым (например выклинивается или ограничен непроницаемыми сбросами), то он работает на истощение и режим пласта называется замкнуто-упругим.

В большинстве случаев источником энергии вытеснения нефти из пласта к забоям скважин является естественный или создаваемый напор контурными и подошвенными водами. В этом случае режим пласта характеризуется как упруго-водонапорный. Существует понятие и жесткого водонапорного режима, когда упругие силы проявляют себя весьма слабо.

Теория упругого режима была начата работами И. Н. Стрижова, М. Маскета, Р. Шилсюида и У. Херста. Однако наиболее строго основы теории упругого режима были разработаны в нашей стране В. Н. Щелкачевым. Им было впервые учтено влияние объемной упругости пористой среды и ряда важных факторов на фильтрацию жидкостей и впервые решены фундаментальные задачи теории упругого режима для практических целей разработки нефтяных месторождений. Затем последовал ряд работ как советских, так и зарубежных ученых.

Одними из важных параметров теории упругого режима являются коэффициенты объемной упругости жидкости (βж) и пласта (βс). Количество жидкости, получаемое из пласта за счет упругих свойств (расширение жидкости и уменьшение порового пространства) при снижении пластового давления, принято называть упругим запасом пласта ( V), который, согласно В. Н. Щелкачеву, определяется формулами

137

величин: для нефти βн = (7 ÷ 30) × 10—4 1/МПа; для воды βв = (2,7 ÷ 5) × × 10—4 1/МПа; для сцементированных горных пород βс = (0,3 ÷ 2) 10—4Мпа.

Величина, обратная коэффициенту объемной упругости К=β-1, называется модулем объемной упругости или модулем объемного сжатия.

При пуске «возмущающей скважины» возмущение передается по всей области пласта. Скорость перераспределения давления в пласте

проницаемости вдоль напластования. Размерность коэффициента

пьезопроводности [æ] = L2T—1. Величины его заключены в интервале 0,1 ≤ æ ≤ 5, где [æ] =м2/с.

При изучении неустановившихся процессов перераспределения давления в пласте удобно пользоваться безразмерными параметрами Фурье, введенными В.Н. Щелкачевым,

fo = æt ; Fo = æt . rc2 Rк2

Как видим, параметры Фурье представляют собой «безразмерное время».

7.2. Решение одномерных задач методом последовательной смены стационарных состояний

7.2.1. Расчет притока к прямолинейной галерее. Рассмотрим полубесконечный пласт (рис. 7.1), где имеет место приток упругой жидкости к галерее. Пусть в сечении х = 0 давлениев пластеупало от начального давления Рк до величины давления на галерее Рс. Тогда точное решение задачи выражается интеграломвероятности[5].

138

Можно предложить наиболее простое, приближенное решение этой задачи. Пусть за время t зона пониженного давления распространилась на l (t) (см. pиc.7.1,а). Будем считать, что в этой зоне распределение давления является стационарным [5]. На самом деле зона пониженного давления охватывает весь пласт и распределение давления не происходит по закону прямой линии, как для прямолинейного движения несжимаемой жидкости, т. е.

Таким образом, эпюра давления представляет собой прямую линию, перемещающуюсявдольпластасугловойточкойх= l (t), рис. 7.1,б. Дляточного решения эпюра давления угловой точки не имеет. В этом и состоит суть метода последовательной смены стационарных состояний.

Рис. 7.1. Схема к расчету неустановившегося притока сжимаемой жидкости к прямолинейнойгалерее

Выделим элемент пласта длиной dx и площадью поперечного сечения f = 1. Очевидно, элементарный вес в данном объеме составит mγdx 1 = тγdx, а вес жидкости по длине l = l (t) на единицу площадивыразитсяинтегралом

G = ∫l m γ dx.

0

Отобранное количество жидкости G из пласта за время t равно разности первоначальногоколичестважидкостииостаткавпласте, т. е.

139

Для вычисления этого интеграла воспользуемся зависимостью [5]:

где γ0 и т0 — удельный вес жидкости и коэффициент пористости при начальном пластовом давлении Р0;

Р — текущее пластовое давление; β* — коэффициент упругоемкости.

Здесь произведение (γт) распределяется по длине пласта так же, как и давление Р (см. рис.7.1,б). Площадь заштрихованного треугольника дает нам вес жидкости в элементе площади по длине l

Если g есть весовой расход жидкости, тогда для количества жидкости G можно записать

t

G = ∫g dt,

В соответствии с законом Дарси весовой расход определяется формулой

Продифференцируем уравнение (7.4) по времени, учитывая при этом (7.5) и (7.6):

140

Принимая γс ≈ γ0 (так как величина коэффициента сжимаемости для жидкости мала) и m ≈ mo = Соnst, получим

Формула (7.9) выражает закон движения условной зоны депрессии. Определим объемный расход жидкости на единицу площади пласта (f = 1) или, что то же самое, скорость фильтрации:

Для сравнения запишем точную формулу для объемного расхода [5]

где æ – коэффициент пьезопроводности.

Нетрудно установить, что погрешность формулы (7.11) составляет около 11%. Рассмотрим теперь ту же задачу, но при этом пусть задан дебит

141

q = const. Рассчитаем депрессию. Подставляя (7.8) в (7.4) и принимая γк γс, находим объем отобранной жидкости за время t

Подставляя значение l (t) из формулы (7.10) в (7.13), получаем

Погрешность приближенной формулы (7.14) составляет около 25%. Подставив (7.14) в (7.10), после некоторых преобразований получим

l (t)= 2qQ æ .

Но так как q = const, то Q = qt. Следовательно,

При заданной депрессии имеем формулу (7.9).

Таким образом, при заданной депрессии метод последовательной смены стационарных состояний дает результаты с меньшей погрешностью, чем при заданном расходе.

7.2.2. Расчет плоско-радиального притока упругой жидкости.

Рассмотрим плоскорадиальный приток упругой жидкости к скважине из пласта толщиной h (рис. 7.2). После того, как скважина пущена в работу и отбирает жидкость из пласта, вокруг нее образуется воронка депрессии, т. е. зона пониженного давления, которая теоретически охватывает весь пласт. Приближение в решении задачи заключается в том, что мы последовательно во времени фиксируем радиус воронки депрессии, т. е. в каждый момент времени радиус воронки R (t) принимается как конечная величина. При этом кривая распределения давления аппроксимируется логарифмической кривой, тогда как при прямолинейном движении с двухсторонним питанием она аппроксимируется двумя прямыми. Поэтому точность приближенного метода для плоскорадиального притока будет выше.

Выделим в пласте элементарное кольцо шириной dr на расстоянии r от оси скважины (см. рис. 7.2). Очевидно, вес жидкости в начальный и данный моменты определится соответственно выражениями:

G0 = 2πrh dr (mγ)к; Gt = 2πrh dr (mγ).

142

Отобранное количество жидкости за время t из элемента составит dG = G0 −Gt = 2πrh [(mγ)к − (mγ)]dr .

Вес отобранной жидкости из пласта определится интегралом

rc

Чтобы вычислить интеграл (7.16), надо знать закон изменения (тγ). Известно, что при стационарном плоскорадиальном притоке несжимаемой жидкости давление в окрестности скважины распределяется по логарифмическому закону:

ln rc

Но так как (тγ) можно выразить в соответствии с (7.17) формулой

143

Теперь найдем связь между средним давлением в пласте Р~ и Рк. Предположим, что всюду в пласте давление снизилось равномерно. Тогда отобранныйобъемжидкостиприупругомрасширениисоставит

При R(t) >> rс и малой величине депрессии Р = Рк — Рс из формулы (7.24) следует: Р~ ≈ Рк, т. е. в этом случае за среднее пластовое давление

можно принять контурное. Погрешность принятогодопущения( Р~ ≈ Рк) можно оценить из формулы (7.24). Чем меньше депрессия Р, тем меньше погрешность. В газовых скважинах эта погрешность еще меньше, т. к. воронка депрессии вокруг газовых скважин более крутая.

Исследуем уравнение (7.22) и найдем закон расширения воронки депрессии. При пуске скважины в эксплуатацию, как упоминалось ранее, происходит непрерывное расширение воронки депрессии. Период, за который воронка депрессии достигает границы пласта, называется первой фазой неустановившегося движения (первая фаза истощения залежи), после чего начинается II фаза упругого режима (вторая фаза истощения). При этом предполагается стационарное движение жидкости во всем пласте. Если граница резервуара является контуром пласта, где поддерживается постоянное давление (например линия нагнетания), то II фазу можно рассматривать как стационарный режим.

Рассмотрим I фазу упругого режима. Из формулы Дюпюи, которую мы считаем справедливой в случае неустановившегося притока для каждого момента времени t , имеем

Подставляя (7.25) в (7.22), находим

Из (7.26) следует

145

Погрешность формулы (7.29) по сравнению с точным решением составляет порядка 6%.

Если задана постоянная депрессия Р = const, то принцип исследования остается тем же самым, что и при q = const. При этом можно использовать формулу (7.29) для расчета расширения воронки депрессии. Погрешность составит 10—15%.

Вторую фазу истощения можно исследовать аналогично.

7.3.Точные решения для притока упругой жидкости

кпрямолинейной галерее и к точечному стоку (источнику)

на плоскости

За прямолинейную галерею можно принять любую прямолинейную изобару. Пусть в начальный момент t = 0 первоначальное пластовое давление было всюду одинаковым Рк. Пусть на галерее (х = 0) давление мгновенно упало до величины Рс. При этом в пласте тут же происходит перераспределение давления. Требуется найти функцию распределения давления Р=Р (х, t). Для этого необходимо решить уравнение для рассматриваемого одномерного прямолинейного движения

146

Решение задачи (7.30), (7.31) хорошо известно и приведено, например, в [5, 6]. Оно имеет следующий вид:

табулирован и имеется в справочниках. Зная æ и t, подсчитывают ξ, затем по таблицам или графикам определяют интеграл erf ξ и находят таким образом

давление Р в любой точке пласта в заданное время.

Далее рассмотрим задачу о притоке упругой жидкости к точечному стоку (источнику) на плоскости, т. е. в неограниченном пласте. При этом требуется решить уравнение Лапласа, которое в цилиндрических координатах запишется в виде

Имеется несколько методов решения уравнения (7.35). Например, метод Фурье, когда решение ищется в виде произведения независимых функций, метод сведения дифференциального уравнения в частных производных к обыкновенному дифференциальному уравнению [6] и др.

В конечном виде решение уравнения (7.35) для притока упругой жидкости к стоку на плоскости представляется выражением

147

имеется в справочниках.

Формула (7.36) является основной формулой теории упругого режима пласта, которая нашла широкое применение в практике разработки нефтяных месторождений.

Для малых значений аргумента f0 интегральная показательная функция приближенно может быть вычислена элементарно по формуле

Скорость фильтрации на расстоянии r определяется по формуле

В случае кругового пласта конечных размеров точные решения выражаются громоздкими в бесконечных рядах функциями Бесселя. Графики и таблицы для численных расчетов приведены Чатасом и Маскетом.

Заметим, что формула (7.36) справедлива лишь для точечного стока, т. е. для r = 0. Однако, как показали анализы, этой формулой можно пользоваться не только для обычных скважин, но и для «укрупненных», радиус которых исчисляется десятками метров. Ограничение в применении формулы (7.36) может быть лишь для времени t в долях секунды от момента пуска скважины.

Рис. 7.3. Пьезометрические кривые с участками квазиустановившегося состояния (по В.Н. Щелкачеву)

На рис. 7.3 изображены пьезометрические кривые для различных моментов времени после пуска скважины. Процесс распределения давления в пласте после пуска можно характеризовать следующим образом. Вокруг скважины, непрерывно увеличиваясь, образуется область, в пределах которой давление распределяется так, как и при установившемся движении. Такой процесс называется квазиустановившимся. В пределах этой области

148

пьезометрические кривые являются кривыми логарифмического типа (на рисунке они показаны жирными отрезками), а углы наклона касательных Θ к разным кривым для любой точки пласта (см. рис. 7.3) (такой точкой является забой скважины) одинаковы.

Рассмотрим теперь приток нефти к скважине в круговом пласте радиуса rк, когда на контуре поддерживается постоянное давление Р0 = const (рис. 7.4).

Пусть центральная скважина радиусом rс мгновенно пущена в работу с постоянным дебитом Q. Перед ее пуском давление всюду в пласте было одинаково Р0. Пусть Ру — установившееся давление в какой-то точке пласта или в реагирующей скважине (см. рис. 7.4). Тогда понижение давления в данной точке можно определить по формуле Дюпюи. Обозначим это понижение так:

Для неустановившегося состояния понижение давления определяется формулой (7.36). Тогда можно написать следующее соотношение:

Рис. 7.4. Изменение пьезометрической кривой во времени в случае скважины, действующей с постоянным дебитом (по В.Н. Щелкачеву)

Учитывая формулу Дюпюи и (7.36), находим следующее выражение для безразмерного параметра α:

149

Это соотношение получено В.Н. Щелкачевым. Им показано, что приближенной формулой (7.42) можно пользоваться при расчетах распределения давления в пласте конечных размеров.

Анализы и расчеты показали, что расхождение в значениях Рс для бесконечного и конечного пластов не превосходят 1%, если f0 ≤ 3,5×105 и rк ≥1000 rс или если f0 ≤ 0,35 и rк ≥1000 rс .

Рис. 7.5. Кривые падения давления в закрытом пласте

Пьезометрические кривые падения давления при притоке жидкости к центральной скважине в круговом закрытом пласте представлены на рис. 7.5. Особенностью перераспределения в данном случае является то, что после некоторого времени во всех точках пласта давление падает с одинаковой скоростью, о чем свидетельствует равноудаленность всех точек любой пары пьезометрических кривых.

150

Глава 8. ЗАДАЧИ ВЫТЕСНЕНИЯ И ФИЛЬТРАЦИЯ ГАЗОКОНДЕНСАТНОЙ СМЕСИ. МЕТОД УСЛОВНОГО КОНТУРА

8.1.Расчетная схема линейного притока газоконденсатной смеси

8.1.1.Постановка задачи. Задачи многофазной многокомпонентной фильтрации требуют решения сложных дифференциальных уравнений. Фильтрация газированной жидкости и газоконденсатной смеси относится к классу сложных задач, которым посвящен ряд работ как отечественных, так и зарубежных исследователей. Однако возможен достаточно простой инженерный подход к решению указанных задач, если считать истинную газоконденсатную смесь как квазигомогенную. Тогда при сравнительно высоких газоконденсатных факторах можно воспользоваться формулами притока газа, подставляя в них вместо плотности и расхода газа соответствующие величины для квазигомогенной жидкости [33]. При этом

дебиты скважины (галереи) Q можно рассматривать как сумму Qг — газа и Qк — конденсата, приведенного в газовую фазу в поверхностных условиях.

Итак, будем исходить из допущения, что многокомпонентная газоконденсатная смесь является квазигомогенной псевдобинарной, состоящей из газа и конденсата. В этом случае фазовые концентрации заменяются зависимостями растворимости конденсата в газовой среде и газа

—в жидкой среде. Это позволяет фильтрацию газоконденсатной смеси рассматривать по аналогии с движением газированной жидкости.

Тогда для каждой из фаз можно записать уравнение движения

где К — абсолютная проницаемость пласта.

Зависимость относительных проницаемостей для жидкости Кж* и для

газа Кг* как функций от конденсатонасыщенности σ можно представить линейными соотношениями [34]:

151

где Qг — дебит газа после сепарации;

Qж — расход конденсата;

μг и μж — коэффициенты вязкости газа и конденсата в поверхностных условиях; Р и Рат — текущее пластовое и атмосферное давление;

Тпл и Тст — температура в пластовых и стандартных условиях; Рнк и Рмк — давление начала и максимальной конденсации; qмк — потери конденсата в пласте при Рмк.

Решая совместно (8.1.1)—(8.1.4), получаем выражение для текущей конденсатонасыщенности

Рг

где ρсм — плотность газоконденсатной смеси в пластовых условиях; Ннк* и Нг* — значения потенциальных функций, соответствующих

давлениям начала конденсации Рнк и на галерее Рг.

Исходя из закона сохранения материи, в интервале изменения

средневзвешенного давления мк ≤ ~ ≤ нк уравнение состояния

Р Р Р

квазигомогенной смеси с учетом сжимаемости газа и температурной поправки записывается в виде

где

152

Рк — давление на контуре питания; ρпл — плотность газообразной фазы газоконденсатной смеси при

~

давлении Р и пластовой температуре Тпл;

~

Z = Z ( Р ,Тпл) — коэффициент сжимаемости газа; н — индекс, показывающий нормальные условия. Введем обозначения: