падает от σф до нуля перед фронтом вытеснения. Размер этой зоны (δ) зависит от капиллярных свойств среды и по сравнению с «переходной зоной» — зоной смеси (1 + 2) - очень мал. Часто в расчетах этой зоной пренебрегают (δ = 0) и рассматривают лишь переходную зону. Пусть жидкость (1) вытесняет жидкость (2) (см. рис. 6.14). Объем первой фазы в начальный момент (t = 0) при σ (х) = σ = 1 запишется интегралом

В момент времени t объем вторгшейся фазы (воды) в этой зоне выразится формулой

где хф — координата фронта или скачка.

За время t через границу х = 0, очевидно, войдет объемное количество жидкости wt, равное при S(x)=S=1:

Рис. 6. 14. Распределение насыщенности при вытеснении нефти водой

Принимая для простоты насыщенность нефтью переходной зоны в начальный момент σ2 (х, 0) = 1, что равнозначно σ1 (х, 0) = 0, из (6.73) получаем

113

где

Здесь σ0 — насыщенность в сечении х = 0. В нашем случае σ0 = 1.

Согласно (6.28) имеем f (σ) = f (1) = 1, f ′ (1) = 0. Тогда уравнение (6.77) упрощается и примет вид

wt = wt [σф f ′ (σф)− f (σф)+1]

Из этого уравнения определяется фронтальная насыщенность. Средняя насыщенность в переходной зоне определится как частное от деления объема вторгшейся жидкости (воды) за время t на поровый объем mxф, т. е. учитывая (6.75), получаем формулу (6.68). Анализы показывают, что формулы (6.68) остаются справедливы и для плоскорадиальной двухфазной фильтрации.

Для плоскорадиальной двухфазной фильтрации схема распределения насыщенности показана на рис. 6.13 в соответствии с уравнением (6.33!).

6.7.6. Понятие о трехфазной фильтрации. В реальных условиях часто приходится иметь дело с трехфазной фильтрацией (когда смесь состоит из трех компонентов, например нефти, воды и свободного газа). Решение таких задач оказывается более сложным. Теорию фильтрации трехфазной

114

смеси можно построить исходя из теории движения двухфазных жидкостей Бакли—Леверетта.

Расходы каждой из фаз в смеси записываются как и для двухфазной системы

функции насыщенности, определяемые экспериментальным путем; μ — коэффициент абсолютной вязкости i-й фазы в смеси;

S (x) — площадь фильтрации.

К уравнениям движения следует добавить уравнения неразрывности

то в системе (6.81) независимых переменных только два. Справедливо также, что суммарный объемный расход является только функцией времени

Далее расчеты ведут по следующей схеме. Из системы уравнений движения (6.80) и уравнений неразрывности (6.81) находятся газонефтяной и водонефтяной факторы, а затем через них получают формулы для функций

водонефтяной факторы, по промысловым данным подсчитываются значения

ψ (σ)= Кг и ψ (σ)= Кв .

Кн Кн

По экспериментальным данным для фиксированных значений насыщенности газом, давлений и физических параметров жидкостей строят

на рис.6. 15 и рис.6. 16.

115

Распределение насыщенности для трехкомпонентных систем хорошо иллюстрируется треугольной диаграммой (рис. 6.17), на которой выделены области преобладания потоков различных фаз. Например, при газонасыщенности σг ≥ 0,35 поток состоит только из газа. При газонасыщенности σг = 0,20 и водонасыщенности σв = 0,50 будем иметь трехфазный поток (двойная штриховка) с нефтенасыщенностью σн = 0,30. На диаграмме показаны также и области двухфазных потоков.

Подробное изложение теории трехфазной фильтрации приведено в монографиях [4, 5].

Рис. 6.17. Диаграмма для трехфазной фильтрации

6.7.7. Установившееся движение газированной жидкости в пористой среде. Функция С.А. Христиановича. Газированная жидкость представляет собой смесь жидкой и газовой фаз. В процессе фильтрации нефти, газа и воды в пласте возникают сложные явления, сопровождающиеся фазовыми переходами. Газ находится не только в свободном состоянии. Часть его растворена в жидком компоненте. Существует понятие давления насыщения нефти газом. Это давление характеризуется термодинамическим равновесием газа в пластовой нефти, т. е. при этих давлении и температуре газ полностью растворен в нефти. В этом случае нефть называется недонасыщенной. Если пластовое давление становится ниже давления насыщения Рнас, что может иметь место при эксплуатации залежи, то из нее начинает выделяться газ, находившийся в растворенном состоянии, и образуется двухфазный поток — смесь нефти и свободного газа. Если в движение вовлекается вода (погребенная, подошвенная, краевая), то будет иметь место трехфазное движение.

Впервые гидродинамические исследования фильтрации газированных жидкостей были сделаны Л.С. Лейбензоном, который рассматривал газированную жидкость как смесь, характеризующуюся уравнением состояния.

117

Различные эксперименты, проводившиеся по фильтрации двух- и трехфазных жидкостей в пористой среде, показали следующее: проницаемости пористой среды для каждой из фаз различны, всегда меньше проницаемости для однородной жидкости и зависят от многих факторов: долевое содержание каждой из фаз в потоке; насыщенность среды; давление; соотношение вязкостей и плотностей фаз и др. Эти проницаемости принято

называть фазовыми: Кн, Кг, Кв.

В процессе разработки залежи картина представляется следующим образом: по мере продвижения смеси к забою количество выделившегося газа из нефти увеличивается, свободный газ становится все более подвижным

ифазовая проницаемость для газа Кг растет, а для нефти (Кн) — уменьшается. Может возникнуть такая ситуация, когда к забою будет поступать почти один газ или нефть с большим газовым фактором.

Первые экспериментальные исследования по определению фазовых проницаемостей были выполнены Викофом и Ботсетом (1936), которые установили зависимость между относительными фазовыми проницаемостями

инасыщенностью смеси одной из фаз σ:

ККв = Кв*(σ), ККн = Кн*(σ), ККг = Кг*(σ).

Были проведены опыты с водой и газом. Поступающая в трубу, заполненную рыхлым песком, вода насыщалась углекислым газом и замерялись насыщенность и перепад давления по секциям трубы (рис. 6.18). Результаты эксперимента обрабатывались по формулам Дарси, предполагая, что фильтрация каждой из фаз подчиняется линейному закону, и строились

f — площадь сечения трубы;

σ — насыщенность смеси водой; К — коэффициент абсолютной проницаемости.

По кривым можно судить об особенностях фильтрации газированной жидкости. Так, при σв ≈ 80 ÷ 90% имеем Кж* (σ)= 57 ÷ 77%. Это значит, что

118

Итак, предполагаем, что фильтрация каждой из фаз подчиняется закону Дарси, т. е.

Здесь Кж* (σ) и Кг*(σ) — относительные фазовые проницаемости для жидкости и газа выражаются отношениями:

119

Количество растворенного газа в жидкости и количество свободного газа, приведенные к атмосферным условиям, определится соответственно формулами:

газовый фактор Г, который представляет собой отношение дебита газа, приведенного к атмосферным условиям, к дебиту жидкости, т. е.

120

Имея экспериментальные кривые относительных фазовых проницаемостей (рис. 6.19), по формуле (6.90) нетрудно построить зависимость ψ (σ) (рис. 6.20). С помощью этой кривой и формулы (6.93) строится графическая зависимость Р*(σ) (рис. 6.21).

Затем для фиксированных значений σ из экспериментальных кривых (рис. 6.19) находим Кж* (σ), а из графика рис 6.21 определяем

соответствующие значения Р*(σ) и строим зависимость Кж* (σ) = (рис. 6.22).

Итак, мы пришли к однозначной зависимости относительной фазовой проницаемости от некоторого фиктивного давления Р*.

Введем функцию Христиановича

запишется в виде

121

рованием (6.101) с помощью зависимости Кж* = К*(р* )(см.рис. 6.22).

Определяя Н* из графика рис. 6.23, по формуле (6.100) подсчитываем значение Н. После этого определяем Qж. Нетрудно видеть, что формула Дюпюи для дебита совершенной скважины, находящейся в центре кругового

Итак, все формулы для движения однородной несжимаемой жидкости остаются справедливы и для установившегося движения газированной жидкости, если в первые вместо давления подставить функцию Христиановича.

122

необходимо вместо Khμ подставить значение А Khμ .

Задачи неустановившегося движения газированной жидкости являются наиболее сложными. Используя метод последовательной смены стационарных состояний, К.А. Царевич решил задачу об истощении залежи при режиме растворенного газа. Замкнутый резервуар вскрывался скважиной и начинался отбор жидкости. При этом начальное пластовое давление принималось равным давлению насыщения. Исследуя II фазу нестационарного движения — фазу истощения, с момента, когда воронка депрессии достигала границы резервуара, К.А. Царевич пришел к выводу, что за счет энергии растворенного газа можно отобрать лишь около 30% всего запаса. Это подтверждает графическая зависимость среднего

пластового давления от насыщенности ~ = ~ (σ) (рис. 6.24), откуда видно,

Р

Р

что давление ~ упало до нуля, а насыщенность имеет значение порядка σ ≈

Р

50%. Была также исследована задача об изменении газового фактора во времени (рис. 6.25). Установлено, что величина газового фактора вначале растет, достигая некоторого максимума, а затем резко падает.

Первая фаза нестационарного движения газированной жидкости была рассмотрена в работах М.М. Глоговского и М.Д. Розенберга. Было установлено, что I фаза не играет существенной роли по сравнению со всем периодом эксплуатации залежи. Ими же исследовалась задача о вытеснении газированной жидкости водой. Для первой фазы решение получилось сложным и громоздким. Во II фазе газированную жидкость можно заменить фиктивной однородной жидкостью.

124

6.7.8. Дифференциальные уравнения режима растворенного газа.

Аналитические решения. Впервые уравнение фильтрации газированной жидкости в пористой среде и их использование для решения инженерных задач разработки нефтяных месторождений были предложены М. Маскетом:

где

σн — насыщенность пористой среды нефтью; σв — насыщенность водой;

Вн и Вв — объемные коэффициенты нефти и воды; ρнст, ρгст — плотность нефти и газа в нормальных условиях; т — коэффициент пористости среды; ρг — плотность газа в пластовых условиях;

α — коэффициент растворимости газа в нефти.

Требуется совместно решить систему уравнений (6.107)—(6.109) для определения дебита или давления на забое скважины. Задача сложная.

Для установившегося движения газированной жидкости задача сводится к решению уравнения Лапласа:

Решение этой задачи для прямолинейного движения впервые исследовано М. Маскетом. Заметим, что основные соотношения, определяющие характеристики установившегося течения реальной газированной жидкости, широко используются для построения приближенных методов расчета нестационарной фильтрации газожидкостных смесей и для обработки результатов исследования скважин. Приведем краткий вывод этих соотношений.

Запишем закон Дарси для скорости фильтрации нефти в смеси:

125

Дифференцируя уравнение (6.111) по r, получаем

Подставляя выражение (6.113) в формулу (6.112), получим уравнение для скорости фильтрации жидкой фазы в виде

Решая уравнение Лапласа (6.110) для обобщенной функции Христиановича, получим зависимость, аналогичную для распределения давления или функции Лейбензона при фильтрации однородной жидкости:

Дифференцируя последнее уравнение, находим

Для расхода жидкой фазы через любое сечение на расстоянии r имеем:

Внося (6.117) в формулу (6.118), получаем обобщенную формулу Дюпюи, выраженную посредством функции Христиановича:

126

6.8. Простейшие задачи вытеснения газа и нефти водой при упруговодонапорном режиме

При проектировании разработки нефтяных, газовых и газоконденсатных залежей при наличии активных пластовых вод одним из основных вопросов является прогнозирование продвижения контуров газоносности и нефтеносности и времени подхода краевых вод к внешнему ряду добывающих скважин. Для этого приходится решать задачи с подвижными границами, меняющимися во времени, форма которых также подлежит определению. Точных решений задач о стягивании контуров газоносности и нефтеносности не имеется. Известны приближенные решения В.Н. Щелкачева, И.А. Чарного, И.А. Чарного и М.В. Филинова и др. В простейшей постановке эти задачи решены А.И. Сафрончиком [30], который рассмотрел вытеснение нефти и газа водой при прямолинейном движении и вытеснение нефти и газа водой при плоскорадиальном движении. Исследуем эти решения.

6.8.1. Одномерная задача вытеснения газа водой. Задача решается в следующей постановке: газ полностью вытесняется водой, пласт однородный, водоносная область не ограничена, вязкость газа пренебрегается (давление в газоносной области всюду одинаковое и равно давлению на контакте «газ—вода»). Решается уравнение

при начальном и граничном условиях:

где

æ — коэффициент пьезопроводности водоносной части;

Р0 — давление на подвижной границе l (t), равное средневзвешенному давлению в газоносной области;

127

σ — средняя газонасыщенность пласта; т — эффективная пористость;

k — абсолютная проницаемость газоносного пласта; μ — вязкость воды;

l (t) — расстояние от начального до текущего положения газоводяного контура.

Решение строится методом Колоднера и представляется сложным интегро-дифференциальным уравнением, в котором закон движения контакта «газ—вода» должен быть задан. Если принять движение контакта по линейному закону

то скорость продвижения его U или скорость фильтрации V определится из уравнения

k

егf (β) – интеграл вероятности.

Таким образом, построив графическую зависимость безразмерной депрессии Р* = f (β) в широком диапазоне параметра β и зная Р (t) из промысловых данных, по формулам (6.123) можно определить скорость передвижения контакта U (t) и его положение l (t). Приведенное решение, очевидно, можно использовать и в случае вытеснения газа нефтью при большой площади нефтеносности оторочки по сравнению с объемом газовой шапки, когда, например, для поддержания пластового давления закачивается вода по контуру «нефть—вода» (барьерное заводнение) и контур движется вверх по поднятию пласта. В этом случае все параметры, характеризующие водоносную область, следует заменить на параметры для нефтеносной области.

6.8.2. Одномерная задача вытеснения нефти водой. Если принять режим в нефтяной части пласта жестким, а в водоносной — упруговодонапорным и начало координат совместить с начальным положением водонефтяного контура, а положение галереи зафиксировать координатой х = l0, то задача формулируется аналогично предыдущей, но начальное условие

128

(6.122) записывается в виде

где Р0(t) — давление на галерее.

Если дебит галереи qн(t) = const, то водонефтяной контур движется по линейному закону.

Т — время безводного периода, т. е. время прохождения водонефтяного контура от начального положения до галереи; t — текущее время движения контура;

σ — текущая водонасыщенность при критической остаточной нефтенасыщенности.

Задавая различные значения t* в пределах 0 ≤ t* ≤1 и параметра β в

значению параметр β для фиксированного времени t* . Далее по формуле

129

(6.123), которая преобразуется к виду

определяем положение границы раздела во времени при наперед заданном

сроке разработки Т. При t* =1 будем иметь β (Т) = β0. Тогда из формулы (6.131) получаем

Как видно, при t* =1 правая часть формулы (6.128) принимает значение (6.124). Скорость движения определится из формулы (6.130)

Подставив значение Т из формулы (6.132) в (6.133), получаем

U = 4β02 æ . l0

Формула (6.128) может быть также использована и при вытеснении газа водой. Тогда в ней следует принять вместо коэффициента подвижности

для любых фиксированных параметров δ и β можно построить графическую зависимость Р*f (t*) в интервале безразмерного времени 0,1 ≤ t* ≤1, что

будет соответствовать постоянству заданного расхода нефти или газа (q = const). По формуле (6.127) определяют скорость движения U, по формуле

раздела.

Рассмотрим конкретный пример. Примем следующие исходные

130

соответствующий безводному периоду эксплуатации Т* = 1;

— определяем скорость движения границы раздела:

— по опытным кривым относительных фазовых проницаемостей [27,

с. 384] определяем Кв (0,55) ≈ 0,18; Кн (0,55) ≈ 0,18; по формуле (6.129)

находим параметр δ = 5;

— задавая табличные значения 0,1 ≤ t* ≤1, по формуле (6.130)

определяем β (t*); при t* = 0,1 находим β ≈ 0,069. Результаты расчета сводим в табл. 6.3;

— строим графические зависимости функций безразмерной депрессии Р* = Р* f (β) для фиксированного значения δ = 5 при параметре t* (рис.

6.26), по которым для найденных значений β (см. табл. 6.3) определяем искомые значения Р*; после этого по формуле (6.129) определяется изменение размерной депрессии во времени;

определить искомые Р* . Можно также производить расчеты и для вытеснения газа водой и газа нефтью без учета растворенного газа в нефти.

Таблица 6.3

Расчетные значения параметров линейного вытеснения нефти водой

131