Рис. 1.1. Схема укладки фиктивного грунта

i=1

Коэффициент пористости, средневзвешенный по площади Аi,

i=1

Здесь i = 1, 2, 3, ... , п — число скважин, в которых определялась пористость тем или иным методом (по керновому анализу, по данным гидродинамических и геофизических исследований и т. д.). Наиболее точным из указанных методов считается метод определения коэффициента пористости, средневзвешенного по объему. Коэффициент динамической пористости определяется формулой

V * — объем пор, где имеет место фильтрация.

Удельная поверхность — это отношение площади внутренних поверхностей (F) пор к единице объема материала (V), т. е.

Ясно, что для материалов с мелкозернистой структурой удельная поверхность намного больше, чем для материалов с крупнозернистой структурой. Этот параметр является весьма важным при характеристике способности пористой среды пропускать через себя жидкости и газы. В количественном отношении удельная поверхность — величина

значительная. Так, удельная поверхность в 1 м3 песка составляет S =10 тыс. м2.

Эффективный диаметр частицы грунта. В определении размера пор удобной мерой был бы диаметр пор. Однако этот термин имеет геометрический смысл только для среды, поры которой сферической формы, чего в природе не существует. Были попытки представить пористую среду, сложенную из трубок, параллельных друг другу. Эта попытка также не дала эффекта. Наиболее подходящей характеристикой среды оказался так называемый эффективный диаметр частиц, который определяется механическим

8

анализом. В результате получают кривую фракционного состава (рис. 1.2), по которой и определяют средний эффективный диаметр частиц, используя формулу

n

∑ni di3

где

di — средний диаметр i фракции; п — число частиц фракции.

Этот диаметр является важной, но не исчерпывающей характеристикой, поскольку он дает представление только о размере зерна, но не учитывает шероховатости, схему укладки, извилистость и т. д.

Рис. 1.2. Кривая механического анализа естественного грунта

(w% — весовое количество фракции зерен диаметра di)

Извилистость является в большей степени кинематической характеристикой, которая представляет относительную среднюю длину пути, пройденного жидкой частицей от стенки к стенке в поровом пространстве. Однако и этот параметр остается под сомнением.

Характерный размер l пористой среды или масштаб породы, который определяется приближенно как

где α — коэффициент, зависящий от структуры пористой среды, извилистости и т. д. Методы определения и измерения указанных геометрических характеристик описываются в курсе физики плата.

9

1.3. Линейный закон фильтрации Дарси. Коэффициенты фильтрации и проницаемости

Одним из основных законов теории фильтрации является линейный закон Дарси (1856), объясняющий связь между потерей напора (Н1 — Н2) и объемным расходом Q жидкости, текущей в трубке тока постоянного сечения f (рис. 1.4.).

Рис. 1.4. Схема опыта Дарси

Дарси установил, что расход жидкости через трубку с пористой средой прямо пропорционален потере напора и площади фильтрации f и обратно пропорционален длине трубки l, т. е.

Н — напор в любом сечении; Z — высота положения;

Рγ — пьезотермическая высота;

u 2 — скоростной напор (высота); 2g

С — коэффициент фильтрации; γ — объемный вес жидкости.

Скоростным напором обычно пренебрегают.

11

Потеря напора на единицу длины называется гидравлическим уклоном, т. е.

Коэффициент С характеризует как пористую среду, так и жидкость, а формулы (1.18) и (1.15) хорошо удовлетворяют теории фильтрации воды. В

Закон Дарси может быть записан и в дифференциальной форме. Возьмем трубку тока переменного сечения (рис. 1.5). Отсчет будем вести от точки О. Проведем два сечения на расстоянии S и dS от начала отсчета. В общем случае имеем Н = Н (S, t), для установившегося движения Н = Н(S).

Рис. 1.5. Схема фильтрационного потока в трубке тока переменного сечения

12

Таким образом, если в 1-м сечении Н1 = Н(S), то во 2-м сечении Н2 = Н(S + dS) = H(S) + dHdS dS . Учитывая значения Н1 и Н2 и подставляя в (1.15), при l =dS, находим

Величину dPdS принято называть градиентом давления.

Через потенциал скорости фильтрации Ф закон Дарси записывается в

виде

Определим размерность коэффициента проницаемости k. Используя формулу (1.21), имеем

с2 см3

Здесь k имеет размерность в физической системе единиц. В технической системе единиц [k] – М2. Общепринятой размерностью коэффициента проницаемости является дарси. Тогда необходимо принимать в формулах: [Q] = см3/с, [μ] = спз, [Р] = кГ/см2, [l] = см, [f] = см2. Это так называемая смешанная система единиц.

13

Установим связь между единицами измерения проницаемости в смешанной и физической системах. Пусть Q = 1 см3/с, μ = 1 спз = 0,01 г/см с,

Тысячная доля дарси называется миллидарси.

В соответствии с системой Si проницаемость в 1 дарси составляет 1,02 10—12м2=1,02 мкм2. Проницаемость песчаных коллекторов обычно находится в пределах k = 100 ÷ 1000 мд.

Однако возможны и значительные отклонения. Крайне малой проницаемостью обладают глины (тысячные доли мд). Пористость песчаных коллекторов колеблется в пределах т = 0,18 ÷ 0,22. Эти величины являются наиболее вероятными. Возможны и отклонения.

Следует отметить, что структура многих пористых материалов обладает направленностью, т. е. не всегда образец породы (керн) имеет одинаковую проницаемость по всем направлениям. Это свойство называется анизотропностью пласта.

Втабл. 1.1 приведены соотношения между метрическими единицами

иединицами Si.

Таблица 1.1

Соотношения между метрическими единицами и единицами Si

14

Таким образом, можно дать следующее определение проницаемости. Проницаемость — это свойство пористой среды, характеризующее его способность пропускать через себя жидкости и газы под действием приложенного градиента давления.

В лабораторных условиях проницаемость кернов определяют как по жидкости, так и по газу (воздуху). Последнее определение является общепринятым и наиболее точным, т. к. воздух (газ) не вступает так интенсивно в физико-химические взаимодействия с пористой средой, как жидкости. Это взаимодействие со временем уменьшает скорость фильтрации и, следовательно, занижает коэффициент проницаемости.

Однако следует помнить, что для фильтрации газов не всегда сохраняется закон Дарси, что также приведет к некоторой ошибке в определении k.

Кроме лабораторных методов определения проницаемости пород, в настоящее время разработан ряд гидродинамических методов по промысловым исследованиям при установившихся режимах работы скважин.

1.4. Нарушение линейного закона фильтрации при больших и малых скоростях. Пределы применимости закона Дарси

1.4.1. Нарушение линейного закона при больших скоростях. Мно-

гочисленными экспериментами установлено, что при повышенных скоростях движения закон Дарси нарушается. Критерием справедливости закона Дарси служит число Рейнольдса

где

υ — характерная скорость течения; ρ — плотность жидкости; μ — коэффициент вязкости жидкости;

а — характерный размер пористой среды, который разные авторы определяют по-разному.

Если число Рейнольдса, определенное по формуле (1.27′), не превосходит некоторого критического значения Reкp, то закон Дарси сохраняется,

15

т. е. линейная зависимость между расходом и потерей напора соблюдается. Целью всех экспериментов было установление этого критерия. Первые работы, посвященные этому исследованию, принадлежат акад. Н.Н. Павловскому и американским авторам Фенчеру, Люису и Бёрнсу (Fanchir, Levis and Barnes, 1933). Для обработки опытных данных они использовали формулу

Здесь λ — коэффициент гидравлических сопротивлений. Формула (1.28) может быть формально получена из известной формулы Дарси—Вейсбаха для потерь напора в круглой трубе с некоторой модификацией. Эксперименты проводились с 27 образцами при фильтрации различных жидкостей и газов в сцементированных и несцементированных песчаниках. За линейный параметр приняли

Рис. 1.6. Результаты опытов по установлению критических чисел Рейнольдса

В результате обработки опытных данных были получены графические зависимости вида, показанного на рис. 1.6. Критические числа оказались в пределах 1 ≤ Reкр ≤ 1,4, т. е. в этой зоне происходит искривление прямой (линейность закона Дарси нарушается).

Академик Павловский за линейный размер принял

и получил 7,5 ≤. Reкр ≤ 9. В.Н. Щелкачев, обработав данные Н.Н. Павловского, получил 1 ≤ Reкр ≤. 12 при

16

породы и получил 0,022 ≤ Reкp ≤ 0,29. Е.М. Минский обработал результаты опытов американских авторов по двучленной формуле

где А и В — постоянные коэффициенты, определяемые из опытов; при малых числах Re первый член является доминирующим (В = 0) и имеет место линейный закон фильтрации. При больших числах Re будем иметь λ = В = сonst, т. е. квадратичный закон.

Вопросам применимости закона Дарси посвящены также работы М. Маскета, А.И. Абдулвагабова, Г.Ф. Требина, Н.П. Лебединца и других исследователей.

Заметим, что нарушение закона Дарси еще не означает нарушения ламинарности течения. Опыты Линдквиста и других исследователей показывают, что нарушение ламинарности происходит при числах Re гораздо больших, чем Reкp. Причиной нарушения закона Дарси является проявление роли сил инерции, а причиной нарушения ламинарности является проявление турбулентности потока при достаточно больших скоростях движения.

1.4.2. Нарушение линейного закона при малых скоростях. Экспе-

риментальные исследования последних лет показали, что нарушение линейности закона фильтрации происходит и при малых скоростях. При этом отмечается, что движение некоторых пластовых жидкостей, обладающих реологическими свойствами (структурной вязкостью и начальным напряжением сдвига), начинается лишь при градиенте давления, превышающем некоторую критическую величину δ, называемую предельным градиентом давления сдвига. В этом случае фильтрация не подчиняется закону Дарси и описывается так называемым обобщенным уравнением Дарси с предельным градиентом

Легко видеть, если δ = 0 (жидкость ньютоновская), то из (1.33) следует известный закон Дарси в векторной форме.

Обобщенный закон Дарси можно записать в другой форме, например:

17

где η — коэффициент структурной вязкости жидкости как функция динамического напряжения сдвига τ0. В развернутом виде уравнение (1.34) представляется как

Связь между δ и η(τ0) может быть установлена из уравнений(1.33) и (1.35). Тогда, оценивая второе слагаемое в (1.35), в некоторых случаях получим упрощенное выражение для обобщенного закона Дарси, т. е.

При таком законе краевые задачи теории фильтрации поддаются решению. Если принять η(τ0) = μ, то из (1.36) или (1.34) следует закон Дарси для фильтрации обычной вязкой (ньютоновской) жидкости. Обобщенный закон Дарси свидетельствует об аналогии движения вязких и вязкопластичных жидкостей в капиллярах и пористой среде.

1.4.3. Обобщенная интерпретация законов фильтрации. Итак,

движение жидкостей и газов в пористых средах, происходит как по линейному, так и по нелинейному законам фильтрации. При решении различных задач подземной гидродинамики для случаев нелинейной фильтрации за основу обычно берут формулу Дарси, в которой градиент давления возводится в некоторый показатель степени, или линейный закон фильтрации представляют двучленной формулой вида (1.32), одно из слагаемых которой также выражает закон Дарси. Существуют также и одночленные нестепенные формулы, выражающие нелинейный закон фильтрации, где вводится некоторый коэффициент фильтрационного сопротивления λ как функция числа Рейнольдса Re.

Существуют различные способы подхода к выводу формул, описывающих нелинейные законы фильтрации. Наиболее распространенными оказались способы, основанные на теории подобия и теории размерностей. Наиболее удачной характеристикой режима фильтрации считается параметр Дарси (Да), введенный В.Н. Щелкачевым (1946).

Здесь мы не будем приводить и повторять те многочисленные формулы, которые описывают нелинейные законы фильтрации, а дадим обобщенную интерпретацию законов фильтрации, исходя из формулы (1.36), которую запишем в виде

18

Мы ввели некоторый коэффициент λ* как функцию скорости фильтрации, а также как функцию, зависящую от структуры пористой среды, пористости и т. д., т. е., другими словами, как функцию обобщенного критерия

Рейнольдса R*e .

Ясно, что формула(1.37) является обобщенным законом фильтрации. На самом деле для линейного закона фильтрации должно быть λ*= 1 и из (1.37) следует линейный закон Дарси. Для нелинейного закона фильтрации λ* > 1. Таким образом, коэффициент λ* показывает степень отклонения от линейного закона фильтрации. Если проинтегрировать уравнение (1.37), то получим

где F и L – площадь сечения и длина образца керна.

Как видим, λ* является обратной величиной параметра Дарси, т. е. представляет собой безразмерный параметр Лагранжа. Во многих исследованиях обработка экспериментальных результатов по фильтрации жидкостей производилась по формуле вида (1.28).

Принятие заведомо квадратичного закона сопротивления от скорости фильтрации по аналогии с движением жидкостей в трубах привело к тому, что в диапазоне линейного закона фильтрации с увеличением скорости фильтрации коэффициент λ уменьшается. Это вносит в закон Дарси излишнее усложнение. Величина коэффициента λ, определенная на основе обработки экспериментальных данных по формуле (1.28), может меняться в огромном диапазоне: от 10 до 109. Попытка получить универсальную характеристику для всех образцов пористых сред, исходя из формулы (1.28), делалась многими авторами, но оказывалась безуспешной.

Существенные результаты в этой области достигнуты А.И. Абдулвагабовым, выполнившим наиболее полные экспериментальные исследования по установлению верхней границы применимости закона Дарси. Однако диапазон изменения критического числа Re для различных образцов пористых сред оказался весьма широк. Здесь так же, как и в ранних исследованиях, экспериментальная обработка зависимости λ = (Re) в логарифмических координатах дает единую прямую для разных сред в линейной области и разветвленную ветвь кривых в области нелинейной фильтрации.

Впервые универсальную кривую в координатах Да, R*e (Rе =υρkс' /μ), c' -

коэффициент пропорциональности, характеризующий пористую среду и имеющий размерность L—1), удалось получить Н.П. Лебединцу [1] из экспе-

19

риментальных данных Г.Ф. Требина. При этом параметр Да меняется, сравнительно с коэффициентом λ, в очень узком диапазоне: от 1 до 0,05, что соответствует изменению параметра Лагранжа от 1 до 20. Более подробно гра-- ницы применимости закона Дарси и его обобщение рассмотрены в работе [3].

Некоторые обобщения аналогичных закономерностей (введение параметра Лагранжа λ* и обобщенного критерия Рейнольдса Rе*) для процессов изометрического движения газа, газированных и неньютоновских (глинистых растворов) жидкостей в трубах сделаны в работах [3, 4].

1.5. Дифференциальные уравнения теории установившейся фильтрации однородной жидкости

Для характеристики неустановившегося движения (т. е. когда скорости фильтрации, дебиты меняются со временем) оказывается необходимым использовать методы математической физики, основанные на составлении и интегрировании дифференциальных уравнений. При фильтрации однородной жидкости неизвестными функциями являются:

1)давление Р в любой точке пористой среды;

2)плотность ρ жидкости;

3)вектор скорости фильтрации v , представленный 3-мя компонентами по координатным осям;

4)т — пористость;

5)температура среды Тср;

6)температура жидкости Тж.

Таким образом, имеем 8 неизвестных функций. Но ввиду малых скоростей фильтрации в пласте движение остается практически изотермическим, поэтому число неизвестных сокращается до шести.

Итак, мы установили шесть неизвестных функций. Перейдем к их выводу. Введем уравнение фильтрации как обобщение закона Дарси, который в векторной форме, как это было показано раньше, имеет вид [5—8]

При такой записи массовыми силами для сжимаемой жидкости пренебрегаем. Уравнение неразрывности (сплошности) фильтрации жидкости в пористой среде записывается в виде

Для сплошного потока жидкости, например в трубе, т = 0, имеем

20

Здесь ρυ — вектор массовой скорости фильтрации. Если

Выражение (1.42) представляет собой уравнения движения жидкости в пористой среде. Чтобы система уравнений была замкнутой, необходимо

Считают, что для реальных пластов изменение пористости подчиняется закону Гука

21

где Кс — модуль упругости пористой среды.

Заметим, что запись потенциала Ф в уравнениях (1.39) и (1.42) справедлива, если К — const и μ= const. В этом случае для несжимаемой жидкости (ρ = const) в неизменяемой пористой среде (т = const) уравнение неразрывности будет иметь вид

Получили одно из важнейших уравнений математической физики — уравнение Лапласа. Стационарное распределение температуры, стационарное движение электричества удовлетворяют уравнению Лапласа. Электромоделирование основано на использовании этого уравнения. При этом аналогом давления является электрический потенциал.

Оказывается, если заданы одинаковые граничные условия и дифференциальные уравнения имеют одинаковый вид, то, изучая процесс на какой-либо другой модели, можно получить решение, справедливое для процессов из другой области. Потенциал скорости фильтрации, очевидно, удовлетворяет уравнению Лапласа

Уравнение Лапласа является линейным, а для последних справедлив принцип суперпозиции, т. е. сумма частных решений линейных уравнений, умноженных на произвольные постоянные, также является решением этого линейного дифференциального уравнения. Математически это выглядит так. Если имеется несколько фильтрационных потоков Ф1, Ф2, Ф3, ..., Фп, которые удовлетворяют уравнению Лапласа, т. е.

22

n

то суммарный потенциал Ф = ∑Фi Ci также удовлетворяет уравнению

i=1

Лапласа, т. е.

Итак, потенциалы отдельных фильтрационных потоков несжимаемой жидкости складываются алгебраически, а векторы скорости фильтрации — геометрически.

23

Глава 2. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В НЕДЕФОРМИРУЕМОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ.

ПРИТОК К СТОКУ И ИСТОЧНИКУ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Движение называется плоским, когда элементы движения, скорость и давление зависят только от одной координаты на плоскости и в любой плоскости, параллельно данной, картина скоростей и давлений будет одинакова. Примерами плоского движения жидкости являются приток к совершенной скважине и приток к галерее.

Движение называется пространственным, когда элементы движения зависят от трех координат: r, z и α — полярного угла. Примером пространственного движения может служить приток к несовершенной скважине. Установившийся фильтрационный поток считается одномерным, если давление (потенциал) является функцией только одной координаты. Существует три вида одномерного потока: 1) прямолинейно-параллельное движение (приток к галерее в полосообразном пласте, рис. 2.1); 2) плоско-радиальное движение (приток к совершенной скважине, расположенной вцентре цилиндрического пласта, рис. 2.2); 3) сферически-радиальный поток (приток к скважине, вскрывшей пласт в кровлепластабольшойтолщины, рис. 2.6).

2.1. Напорный приток к дренажной галерее. Время движения частиц

Принимается: движение жидкости прямолинейное, жидкость несжимаемая, фильтрация установившаяся. Р1 и Р2 — давления в сечениях I и II, причем Р1 > Р2; h — толщина пласта; В — ширина галереи (см. рис. 2.1).

В соответствии с законом Дарси расход жидкости (нефти) через галерею запишется формулой

Время продвижения частицы жидкости на участке х, очевидно, запишется формулой

24

Рис.2.2. Схема плоскорадиального притока жидкости в пласте (приток к совершенной скважине):

Нк — постоянный напор на круговом контуре питания; Нс — напор на забое скважины; Н — напорвлюбойточкепластанарасстоянииr отскважины; Рк, Рс, Р — приведенные давления на контуре питания, на забое и на расстоянии r соответственно.

Если фильтрация происходит через всю цилиндрическую поверхность f = 2πrch, то скважина называется гидродинамически совершенной по вскрытию. Наша задача - определить расход жидкости, закон распределения давления, форму депрессионной поверхности, время движения частицы и форму индикаторной кривой.

Вырежем мысленно элементарную радиальную струйку (см. рис. 2.2).

26

Замечаем, что s = Rк — r, a ds = — dr. С учетом этого закона Дарси в дифференциальной форме запишется как

Разделяя переменные и интегрируя в соответствующих пределах, получаем

Получили уравнения логарифмических кривых. Таким образом, пьезометрическая поверхность АВСД представляет собой поверхность вращения логарифмической кривой относительно оси скважины (см. рис. 2.2).

Интегрируя уравнение (2.7) в пределах от Нс до Н и от rс до r, получим другое выражение для распределения давления (напора):

При r = rc имеем Н = Нс и Р = Рс. Тогда из (2.8) следует

27

Получили формулы Дюпюи для расхода. Подставляя (2.10) в (2.8), на-

ходим

Таким образом, пьезометрическая поверхность, или «воронка депрессии» (см. рис. 2.2), может быть построена по формулам (2.8), (2.9) и (2.11). Заметим, что если пьезометрическая поверхность жидкости в пласте выше, чем поверхность земли, то скважина будет фонтанировать. При отсутствии отбора пьезометрическая поверхность занимает положение АД (см. рис. 2.2) и во всех точках пласта давление при этом одинаково. В случае отбора статический уровень в скважине понижается на величину а (см. рис. 2.2) и устанавливается так называемый динамический уровень.

Формулу (2.10) можно записать в виде

rc

Здесь К принято называть коэффициентом продуктивности скважины.

коэффициент продуктивности выражает дебит на 1 Па перепада давления. Согласно (2.10’) зависимость между Q и Р является линейной и

графически выражается прямой (рис. 2.3). В практике эта зависимость называется индикаторной диаграммой, и снимается она при исследовании скважин методом пробных откачек, т. е. при установившихся отборах. Индикаторная диаграмма характеризует продуктивность скважины, режим

28

фильтрации и помогает устанавливать режим работы скважины.

Рис.2.3. Индикаторная диаграмма "дебит-депрессия"

при фильтрации несжимаемой жидкости по линейному закону Дарси

2.3. Время движения частицы жидкости, движущейся по радиусу от контура питания к скважине

Истинная скорость движения в точке N (см. рис. 2.2) будет равна

Здесь принят знак (-), т. к. функция dr убывающая. Разделив переменные и проинтегрировав (2.13), получаем

Получили формулу закона движения частицы. При r = rc получим время прохождения частицы от точки N до забоя скважины.

2.4. Стоки и источники на плоскости

Вводя удельный расход q = Qh и учитывая, что ds = - dr, получаем следующее выражение для скорости фильтрации:

29

Получили очень важную формулу потенциала точечного стока на плоскости. Как видим, потенциал в окрестности скважины пропорционален логарифму расстояния r от скважины. Точечным стоком называют скважину бесконечно малого радиуса, хотя в природе такой скважины не существует. В гидродинамике эксплуатационную скважину принимают за точечный сток (q > 0), а нагнетательную — за точечный источник (q < 0) и называют их соответственно: скважина-сток и скважина-источник.

Исследуем (2.17) и (2.18). При r = 0 значения Ф и v обращаются в m ∞; при r = ∞ значение Ф = ∞, а v = 0. Таким образом, формулы (2.17) и (2.18) имеют физический смысл всюду, кроме r = 0 и r = ∞.

Итак, плоские задачи фильтрации эффективно могут быть решены с помощью потенциала. Пусть на плоскости известны потенциалы Фк и Фс на двух концентричнорасположенныхокружностяхсрадиусамиRк иrс (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Схемы притока к стоку (источнику) на плоскости

Согласно (2.18) имеем

Фк = 2qπ lnRк + const;

Фс = 2qπ lnrс + const,

откуда следует

30

Переходя от потенциала к давлению в (2.19), получим формулу Дюпюи (2.10).

2.5. Стоки и источники в пространстве

Рассмотрим задачу о потенциале точечного стока в пространстве. В этом случае приток будет радиально-сферический (рис. 2.5). По закону Дарси имеем

Рис. 2.5. Схема радиально-сферического притока

Сдругой стороны, можно записать

υ= Q ,

4πr 2

где f = 4πr2 — площадь фильтрации сферы.

Приравнивая указанные выражения и интегрируя, получаем

Получили формулу потенциала точечного стока в пространстве. При r = 0 имеем Ф = - ∞, υ = ∞; при r = ∞ получаем Ф = const, υ = 0. Покажем использование формулы (2.20). Пусть Фк и Фс потенциалы на сферах, описанных радиусами Rк и rс. Согласно (2.20) имеем

31

Рис. 2.6. Схема радиально-сферического притока в полупространстве

(скважина вскрыла лишь кровлю пласта)

По правилу производных пропорций из (2.21) имеем

При r → ∞ const в (2.20) становится потенциалом на бесконечности. Обычно

Таким образом, для точечного стока в пространстве радиус контура питания Rк практически на дебит не влияет. В случае плоскорадиального

притока (формула Дюпюи) ошибка в выборе Rк в 2—3 раза к большим

погрешностям в дебите не приведет. Для полупространства (рис. 2.6), например пласт большой толщины, где вскрыта только кровля пласта, формула (2.22), очевидно, запишется в виде

32

2.6.Фильтрация неньютоновских жидкостей

2.6.1.Зависимость коэффициента подвижности от градиента давления. Установлено, что нефти многих месторождений обладают структурно-механическими свойствами, т. е. являются неньютоновскими. Кроме того, исследования [9—11 и др.] показали, что процесс фильтрации воды в пористой среде с низкими значениями пористости и проницаемости, особенно с глинистым цементом, также подчиняется закономерностям фильтрации неньютоновских жидкостей.

Известно, что чем меньше размер поровых каналов, тем больше взаимодействие жидкости с пористой средой. Опыты показывают наличие двух критических или предельных (начальных) градиентов давления: первый

(dр/dx)+ соответствует градиенту давления, при котором начинается движение нефти по самым большим поровым каналам и трещинам; при

втором предельном градиенте (dр/dx)++ фильтрацией охватываются все основные поры пласта. Значения второго градиента давления колеблются в пределах от 0 до 0,01 МПа/м [11].

Чтобы происходил процесс фильтрации по единичным поровым каналам,

необходим некоторый минимальный перепад давления р+, который зависит от напряжениясдвигаτ0, длиныпутиl идиаметрапоровыхканалов2r.

Для капилляра цилиндрической формы установлена зависимость [11]

Величины l и r в пористых средах изменяются в широких пределах. Фильтрация жидкости начинается в крупных порах, а затем по мере увеличения перепада давления фильтрацией охватываются все более мелкие поры. Таким образом, минимальный перепад, или градиент давления сдвига, обеспечивающий начало фильтрации, зависит как от свойств жидкости, так и от свойств поровых каналов. Если в отдельных прослоях залежи градиенты давления окажутся ниже градиентов давления сдвига, то притока нефти из таких пластов не будет. Значит, нефть останется неизвлеченной. Поэтому изучение процессов фильтрации неньютоновских нефтей имеет весьма важное значение в нефтедобыче.

Зависимость проницаемости от градиента давления изучалась М.М. Кусаковым, П.А. Ребиндером, К.Е. Зинченко, Ф.А. Требиным и др. Было установлено, что нефтепроницаемость песков существенным образом зависит от величины градиента давления. При фильтрации воздуха и газа проницаемость породы при изменении градиента давления практически остается постоянной. Изучая экспериментальным путем зависимость кажущейся (структурной) вязкости асфальтено-смолистых нефтей от градиента давления, Я. Хорнеш [11] установил, что с увеличением последнего вязкость уменьшается и стремится к постоянному ее значению. Когда из проб нефтей были удалены асфальтены и смолистые соединения,

33

значения вязкости в опытах оказались постоянными. Отсюда вытекает важный вывод, что существенная зависимость кажущейся вязкости нефти от градиента давления обусловлена в основном наличием в нефти асфальтеносмолистых соединений. Исследования Я. Хорнеша показали также практическое отсутствие начального градиента (dp/dх)+ и постепенное увеличение коэффициента подвижности нефти К/μ при увеличении градиента давления (grad p) свыше второго предельного градиента давления (dp/dх)++.

Последние исследования в области фильтрации неньютоновских жидкостей позволяют утверждать, что нарушение линейного закона фильтрации, особенно при малых градиентах давления (скоростях), объясняется как комплексным взаимодействием свойств жидкостей (особенно асфальтено-смолистых), так и размерами и свойствами поровых каналов, т. е. правомернее связывать отклонение от линейного закона фильтрации с коэффициентом подвижности как функции градиента давления

где К0/μ0 — предельное значение коэффициента подвижности (при больших градиентах давления).

2.6.2. Некоторые модели фильтрации неньютоновских жидкостей.

Рассмотрим три модели фильтрации неньютоновских жидкостей, созданные на основе результатов обработки экспериментальных данных. Для каждой модели предложены зависимости коэффициентов подвижности от градиентов давления.

i, i0 — текущий и предельный (начальный градиенты напора; Н — напор;

К0 и μ0 — коэффициенты проницаемости и вязкости при градиентах напора больше начального.

Для фильтрации глинистого раствора в пористой среде А.Х. Мирзаджанзаде предлагает [12] зависимость:

34

где Р0 — перепад давления, затрачиваемый на преодоление напряжения сдвига глинистого раствора.

Для вязко-пластичной жидкости П.И. Султанов предложил соотношение [13]