- •Планирование эксперимента
- •И статистическая обработка
- •Результатов измерений
- •Методические указания к лабораторным работам
- •Введение
- •Определение основных числовых характеристик совокупности случайных величин
- •Основные сведения
- •1.1 Получение совокупности случайных величин
- •1.2 Расчет оценок математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения
- •1.3 Исключение резко выделяющихся экспериментальных данных
- •1.4 Расчет относительных характеристик рассеяния случайной величины
- •1.5 Определение ошибки среднего и границ доверительного интервала
- •1.6 Доверительный объем испытаний
- •Требования к отчету
- •Определение вида дифференциального закона распределения совокупности случайных величин
- •Основные сведения
- •2.1 Формирование частотной таблицы
- •2.2 Определение оценок математического ожидания, среднего квадратического отклонения и квадратической неровноты
- •2.3 Определение закона распределения исследуемой величины
- •2.4 Построение графика функции распределения
- •Требования к отчету
- •Определение корреляционных однофакторных моделей по данным пассивного эксперимента
- •Основные сведения
- •3.1 Расчет основных статистических характеристик
- •3.2 Расчет коэффициентов парной корреляции и определение их значимости
- •3.3 Определение линейной модели корреляционной взаимосвязи
- •Требования к отчету
- •Определение статических корреляционных многофакторных моделей по данным пассивного эксперимента
- •Основные сведения
- •4.1 Расчет основных статистических характеристик
- •4.2 Расчет парных коэффициентов корреляции
- •4.3 Расчет множественного коэффициента корреляции и определение его значимости
- •4.4 Определение линейной модели корреляционной взаимосвязи
- •Требования к отчету
- •Разработка регрессионной однофакторной модели по данным активного эксперимента
- •Основные сведения
- •5.1 Условия проведения активного эксперимента
- •5.2 Нахождение статистических характеристик
- •5.3 Проверка гипотезы об однородности дисперсий
- •5.4 Вычисление дисперсии воспроизводимости выходного параметра в опытах матрицы
- •5.5 Вычисление коэффициентов искомого уравнения (модели) и их дисперсий
- •5.6 Проверка адекватности полученной модели
- •5.7 Оценка значимости полученных коэффициентов регрессии
- •Требования к отчету
- •6.1 Разработка матрицы планирования
- •6.2 Нахождение статистических характеристик
- •6.3 Проверка гипотезы об однородности дисперсии
- •6.4 Вычисление дисперсии воспроизводимости выходного параметра в опытах матрицы
- •6.5 Вычисление коэффициентов искомого уравнения (модели)
- •6.6 Оценка значимости полученных коэффициентов регрессии
- •6.7 Проверка адекватности полученной модели
- •6.8 Исследование полученной регрессионной многофакторной модели
- •Требования к отчету
- •Список рекомендуемой литературы
- •Варианты совокупностей случайных величин
- •X1, x2 и y – соответственно удлинение, масса и прочность образца; m – кол-во испытаний
- •Критические значения критерия Смирнова-Граббса
- •Критические значения критерия Пирсона
- •Варианты совокупностей случайных величин
- •Значения критерия Стьюдента
- •Значения критерия Фишера fт
- •Значения Хi
- •Значения Хui
4.2 Расчет парных коэффициентов корреляции
Значения парных коэффициентов корреляции отражают тесноту взаимосвязи двух параметров и определяются для каждых двух переменных:
; |
(4.3) |
; |
(4.4) |
. |
(4.5) |
4.3 Расчет множественного коэффициента корреляции и определение его значимости
Теснота линейной связи между случайными величинами X1, Х2 и Y определяется множественным коэффициентом корреляции. Этот коэффициент определяет силу совместного влияния всех факторов на выходной параметр и для двухфакторной модели имеет вид:
. |
(4.6) |
Используя критерий Стьюдента, определяем значимость найденного коэффициента
. |
(4.7) |
Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле
, |
(4.8) |
где М = 2 (число факторов) и m = 10 (количество испытаний).
Теоретическое значение критерия Стьюдента tТ определяется по таблице приложения Д при условии, что РD = 0,95 и f = m – M – 2. Если tR (RYx1x2} > tТ , то множественный коэффициент корреляции значим.
4.4 Определение линейной модели корреляционной взаимосвязи
Искомая модель имеет вид:
Y = a0 + a1X1 + a2X2 ,
где а0, а1, а2 – коэффициенты с натуральными значениями факторов, которые определяются по следующим формулам
; |
(4.9) |
; |
(4.10) |
. |
(4.11) |
Подставляем значения полученных коэффициентов в уравнение и получаем корреляционную модель в натуральных значениях.
Требования к отчету
Отчет о выполнении лабораторной работы должен содержать:
тему и цель лабораторной работы;
необходимые теоретические сведения по теме;
исходную совокупность случайных величин (по заданию преподавателя);
расчет парных коэффициентов корреляции и множественного коэффициента корреляции;
определение значимости множественного коэффициента корреляции и построение линейной модели корреляционной взаимосвязи;
выводы по результатам определения статических корреляционных многофакторных моделей по данным пассивного эксперимента;
отметку преподавателя о выполнении лабораторной работы.
Лабораторная работа № 5
Разработка регрессионной однофакторной модели по данным активного эксперимента
Цель работы: построение однофакторной регрессионной модели методом наименьших квадратов и определение ее адекватности.
Основные сведения
Одной из задач обработки экспериментальных данных является определение количественной зависимости показателей качества объекта исследований от значений входных факторов и характеристик внешней среды. Другими словами, необходимо найти вид и параметры зависимости выходного параметра от значений входных факторов. В случае если Y является случайной величиной, а X1, X2, . . ., Хk – величины неслучайные, для разработки искомой математической модели вида Y = f (Xl, X2, . . ., Xk) применяется регрессионный анализ.
Применение регрессионного анализа правомерно при выполнении следующих условий:
1. Значения выходного параметра Y в каждом опыте матрицы планирования эксперимента представляют собой независимые, нормально распределенные случайные величины.
2. Дисперсии выходного параметра в различных опытах матрицы однородны.
3. Значения уровней факторов не являются линейной комбинацией от уровней остальных факторов.
4. Точность определения значений выходного параметра значительно ниже точности определения величины уровня фактора.
Если одно из приведенных выше условий не будет выполняться, эффективность анализа значительно снижается и по найденной модели могут быть получены неверные технологические выводы.
В данной работе разработку линейной однофакторной модели (модели первого порядка) проведем методом наименьших квадратов.