Задачи по мат.физике

6rE[ENIQ OTDELXNYH ZADA^

zADA^A 1.5.

nAJTI FUNDAMENTALXNOE RE[ENIE OPERATORA

Lu(x y ) = uxx(x y ) ; uyy(x y )

OBRA]A@]EESQ W NULX PRI y < 0.

rE[ENIE. sNA^ALA RE[IM (W OBOB]ENNYH FUNKCIQH) URAWNE- NIE

LE(x y ) = Exx ; Eyy = (x y )

SDELAW ZAMENU PEREMENNYH (POWOROT NA =4):

tOGDA PROIZWODNYE PERES^ITYWA@TSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:

pRI ORTOGONALXNYH PREOBRAZOWANIQH -FUNKCIQ OSTAETSQ - FUNKCIEJ, I URAWNENIE W NOWYH KOORDINATAH PRIMET WID

iNTEGRIRUQ SNA^ALA PO PEREMENNOJ z PRI FIKSIROWANNOM w, A POTOM NAOBOROT, IMEEM

tEPERX SREDI WSEH NAJDENNYH FUNDAMENTALXNYH RE[ENIJ NADO WYBRATX TO (ILI TE), KOTOROE PRI y < 0 OBRA]AETSQ W NOLX. zAMETIM, ^TO OBOB]ENNAQ FUNKCIQ E(z w ) | REGULQRNAQ,

71

KUSO^NO POSTOQNNAQ, RAWNAQ W I, II, III I IV ^ETWERTQH (OTNO- SITELXNO KOORDINAT (z w )) SOOTWETSTWENNO (C1 + 1)(C2 + 1)=2, (C1 + 1)C2=2, C1(C2 + 1)=2 I C1C2=2. pOLUPLOSKOSTX y < 0 PERE- SEKAETSQ S TREMQ IZ ^ETYREH (KROME II) \TIH ^ETWERTEJ. pO USLO- WI@ TAM E(z w ) = 0, TO ESTX

pROIZWEDENIE DWUH -FUNKCIJ RAWNO NUL@ WEZDE, KROME MNOVES-

TWA

x ; y > 0 ;x ; y > 0 () y < x < ;y () jxj < y

GDE ONO RAWNO EDINICE. tAKIM OBRAZOM, OTWET ZAPISYWAETSQ W

WWIDU TOGO, ^TO j ln rj2 r ! 0 PRI r ! +0. dALEE IMEEM:

fUNKCIQ u 2 H1( ), ESLI SHODITSQ SLEDU@]IJ INTEGRAL:

sDELAW ZAMENU s = 1=r, dr = ;ds=s2, SWEDEM WOPROS K SHODIMOSTI INTEGRALA

kAK IZWESTNO IZ KURSA MATEMATI^ESKOGO ANALIZA, POSLEDNIJ INTEGRAL SHODITSQ PRI 2( ; 1) < ;1, TO ESTX < 1=2. (sTROGO GOWORQ, SLU^AJ = 0, TO ESTX KOGDA C = 0, RASSMATRIWAETSQ OTDELXNO.)

B) w OBLASTI = B22(0)nB12=2(0) U FUNKCII u = j2 ln rj I EE PROIZWODNYH OSOBENNOSTI MOGUT BYTX LI[X NA MNOVESTWE r = 1,

GDE LOGARIFM OBRA]AETSQ W NOLX.

tAK KAK ln r = ln(1 + (r ;1)) (r ;1) PRI r ! 1, TO INTEGRAL

2

Z ln(x2 + y2) 2 dxdy = 2 Z1=2 j2 ln rj2 rdr

SHODITSQ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA

Z 2 jr ; 1j2 dr < +1

1=2

TO ESTX PRI > ;1=2. w \TOM SLU^AE u 2 L2( ). iSSLEDUEM, KOGDA

73

pODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ PRI r ! 1 \KWIWALENTNA jr;1j2( ;1), PO\TOMU INTEGRAL SHODITSQ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA

2( ; 1) > ;1 TO ESTX > 1=2:

(nA \TOT RAZ OTDELXNO RASSMATRIWAEMYJ SLU^AJ = 0 \TOMU NERAWENSTWU NE UDOWLETWORQET, NO W OTWET DOLVEN BYTX WKL@- ^EN.)

oTWET: A) < 1=2 B) > 1=2 ILI = 0.

zADA^A 1.15.

(a b ) FUNKCIJ, TAKIH, ^TO f(a) = f(b) = 0 DLQ KOTORYH KONE^NA IH H1{NORMA.

1)f(x) NEPRERYWNA NA (0 1) PRI > 0:

2)uSLOWIQ NA TOGO, ^TO f( 1) = 0 WYGLQDQT TAK:

FERENCIRUEMOJ, PO\TOMU EE H1{NORMA KONE^NA W OKRESTNOSTI KAVDOJ TAKOJ TO^KI. oSTALOSX ISSLEDOWATX TO^KU x0 = 0 I KON- CEWYE TO^KI.

ZNA^ENIQ IMEEM, ^TO

f(z) = cos(; z + ) = cos z cos + sin z sin =

zADA^A 1.19.

pUSTX Q = B13(0). sPRAWEDLIWO LI SLEDU@]EE UTWERVDENIE: SU- ]ESTWUET POSTOQNNAQ C > 0 TAKAQ, ^TO

ju(0)j 6 CkukH1(Q) 8u(x) 2 C1(Q) ?

rE[ENIE. uTWERVDENIE NEWERNO. pUSTX u(x) | PROIZWOLXNAQ

FUNKCIQ IZ C01(Q), NE RAWNAQ 0 W NA^ALE KOORDINAT, PRODOL-

VENNAQ NULEM WNE Q. tAKIM OBRAZOM, u 2 C1(R3), u(x) = 0 PRI jxj > 1, u(0) 6= 0.

rASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ un(x) = u(nx). iMEEM un 2 C1(Q), un(x) = 0 PRI jxj > 1=n, un(0) = u(0), run(x) = nru(nx). iZ NERAWENSTWA fRIDRIHSA DLQ FUNKCII

un(x) 2 C1(Q), POLU^AEM

0

kunk2H1(Q) = ZQ(jun(x)j2 + jrun(x)j2)dx 6 (C(Q) + 1) ZQ jrun(x)j2dx

= (C(Q) + 1) n2 Zjxj<1=n jru(nx)j2dx:

75

sDELAEM ZAMENU PEREMENNYH y = nx, dx = dy=n3 (TAK KAK RAZ- MERNOSTX PROSTRANSTWA RAWNA TREM):

tAKIM OBRAZOM, POSTROENA POSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ fung, un 2 C1(Q), DLQ KOTORYH ZNA^ENIE W NULE POSTOQNNO I NE RAWNO NUL@, I PRI \TOM kunkH1(Q) ! 0 PRI n ! 1. sLEDOWATELXNO, NI PRI KAKOJ KONSTANTE C > 0 MY NE MOVEM UTWERVDATX, ^TO ju(0)j 6 CkukH1(Q) DLQ WSEH FUNKCIJ u 2 C1(Q).

zADA^A 2.8.

A) oPREDELITX TIP URAWNENIQ

iNTEGRIRUEM PO . iMEEM 4 u + u = C( ): dALEE INTEGRIRUEM PO I PODSTAWLQEM WYRAVENIQ DLQ I . iMEEM

y; x

u(x y ) = F (y + 3 x)e 4 + G(y ; x): eSLI = 0, TO

u(x y ) = F (y) + G(y)e;x:

76

zADA^A 2.10.

pUSTX = f(x y ) 2 R2 j x2 + (y ; 2l)2 < l2g, FUNKCIQ u 2 C2( ) UDOWLETWORQET URAWNENI@

A) wOZMOVNO LI, ^TO u 2= C3( ) W SLU^AE l > 0? oTWET OBOS-

B) tOT VE WOPROS W SLU^AE l < 0.

rE[ENIE. A). pRI l > 0 KRUG RADIUSA l I S CENTROM W (0 2l)

URAWNENIEM lAPLASA uzz + uww = 0. tAKIM OBRAZOM, FUNKCIQ u(z w ) QWLQETSQ GARMONI^ESKOJ, I, SLEDOWATELXNO, BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMOJ KAK W PEREMENNYH (z w ), TAK I W ISHODNYH PEREMENNYH (x y ). oTWET: NEWOZMOVNO.

B). eSLI l < 0, TO KRUG LEVIT W POLUPLOSKOSTI y < 0, W KOTOROJ URAWNENIE GIPERBOLI^ESKOE | ONO QWLQETSQ URAWNENIEM STRUNY

uyy = 4uxx:

A) nAJTI HARAKTERISTIKI URAWNENIQ (4).

B) pRI KAKIH L@BOE BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMOE RE[E- NIE u(t x ) URAWNENIQ (4) QWLQETSQ TAKVE I RE[ENIEM URAWNE-

NIQ (5)?

dLQ KAVDOGO IZ NAJDENNYH W P. B) ZNA^ENIJ PARAMETRA :

77

W) NAJTI HARAKTERISTIKI URAWNENIQ (5)

G) UKAZATX NEKOTOROE RE[ENIE u(t x ) URAWNENIQ (5), KOTOROE NE QWLQETSQ RE[ENIEM URAWNENIQ (4), ILI DOKAZATX, ^TO TAKOGO RE[ENIQ NET.

D) tOT VE WOPROS OB OGRANI^ENNOM RE[ENII. rE[ENIE. A) nAJDEM HARAKTERISTIKI URAWNENIQ (4):

dx + dt = 0 () x + t = const :

oB]EE RE[ENIE URAWNENIQ (4) IMEET WID u(t x ) = f(x + t) GDE f( ) | PROIZWOLXNAQ GLADKAQ FUNKCIQ ODNOJ PEREMENNOJ.

B) pODSTAWIM OB]EE RE[ENIE URAWNENIQ (4) W URAWNENIE (5): utt = utx = uxx = f00(x + t)

2 ; ( + 1)2 + 2 f00(x + t) = 0:

uRAWNENIE (5) DOLVNO WYPOLNQTXSQ DLQ L@BOJ BESKONE^NO DIF- FERENCIRUEMOJ FUNKCII f(x + t) SLEDOWATELXNO,

2 ; ( + 1)2 + 2 = 0 () = 1:

1. sLU^AJ = 1.

G) uRAWNENIE (5) IMEET ODNO SEMEJSTWO HARAKTERISTIK, SLE- DOWATELXNO, \TO URAWNENIE PARABOLI^ESKOGO TIPA. zAMENOJ PE- REMENNYH = x + t, = t, ONO PRIWODITSQ K KANONI^ESKOMU

oB]IM RE[ENIEM URAWNENIQ (50) QWLQETSQ FUNKCIQ u( ) = f( ) + g( ) TOGDA OB]IM RE[ENIEM URAWNENIQ (5) BUDET FUNK- CIQ u(t x ) = f(x+t)+t g(x+t): rE[ENIE URAWNENIQ (5), KOTOROE NE QWLQETSQ RE[ENIEM URAWNENIQ (4), | \TO, NAPRIMER, FUNK-

CIQ u(t x ) = t(x + t):

78

D) fUNKCIQ u(t x ) = f(x + t) + t g(x + t) BUDET OGRANI^ENNOJ, TOLXKO ESLI g(x + t) 0, I f(x + t) OGRANI^ENA. sLEDOWATELXNO, L@BOE OGRANI^ENNOE RE[ENIE URAWNENIQ (5) QWLQETSQ RE[ENIEM URAWNENIQ (4).

G) uRAWNENIE (5) IMEET DWA SEMEJSTWA HARAKTERISTIK, SLEDO- WATELXNO, \TO URAWNENIE GIPERBOLI^ESKOGO TIPA. zAMENOJ PERE-

oB]IM RE[ENIEM URAWNENIQ (500) QWLQETSQ FUNKCIQ u( ) = f( )+g( ) TOGDA OB]IM RE[ENIEM URAWNENIQ (5)

rE[ENIE. dOKAVEM, ^TO ZADA^A NEKORREKTNA. dLQ \TOGO POSTRO- IM PRIMER, ANALOGI^NYJ PRIMERU aDAMARA. bUDEM ISKATX ^AST- NOE RE[ENIE URAWNENIQ W WIDE u(x y ) = X(x)Y (y) GDE FUNKCIQ Y (y) DOLVNA BYTX NEOGRANI^ENNOJ PRI y > 0: pODSTAWIM u(x y ) W URAWNENIE:

X00(x)Y (y) + X(x)Y 00(y) + X(x)Y (y) = 0

STREMITSQ K NUL@. nARU[AETSQ USLOWIE NEPRERYWNOJ ZAWISIMOSTI RE[ENIQ OT NA^ALXNYH DANNYH IZ OPREDELENIQ KORREKTNOSTI, SLEDOWATELXNO, ZADA^A QWLQETSQ NEKORREKTNOJ.

zADA^A 3.4.