Добавил:

tonistark05 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Дагестанский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Задачи по мат.физике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.02.2016

Размер:

749.32 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

UDOWLETWORQ@]AQ URAWNENI@

2.16. pRI KAKIH WE]ESTWENNYH I TEOREMA O SU]ESTWOWANII I EDINSTWENNOSTI ANALITI^ESKOGO RE[ENIQ NEHARAKTERISTI^ES- KOJ OBOB]ENNOJ ZADA^I kO[I PRIMENIMA K SLEDU@]EJ ZADA^E:


uxy + 3uyy + u = xy	u S = ux		S = uy	S = 0

GDE S ZADAETSQ URAWNENIEM x + y = 1?

2.17. A) nAJTI WSE ZNA^ENIQ , DLQ KOTORYH SU]ESTWUET FUNK- CIQ u(x y ), PRINADLEVA]AQ C1(R2) \C2(fx > 0g) \C2(fx 6 0g),

uxx + uxy + uyy = 0				PRI	x = 0
uxx + uxy + uyy = 0					x = 0
					6
I USLOWIQM
u x=0 = 1				ux x=0 = 0
NO NE PRINADLEVA]AQ C2(B2		(0	0	)) NI PRI KAKIH y		0	RI a > 0.
	a		0			0

B) nAJTI WSE , DLQ KOTORYH PRI L@BOJ f 2 L1 loc2 (R) FUNK- CIQ u(x y ) = f(x + y) UDOWLETWORQET W D0(R ) URAWNENI@ IZ

PUNKTA A).

kORREKTNOSTX POSTANOWKI ZADA^

oPREDELENIE KORREKTNOSTI. pUSTX ZADANO URAWNENIE Lu = f c DOPOLNITELXNYMI USLOWIQMI Bju = gj. |TA ZADA^A POSTAWLENA KORREKTNO W PARE LINEJNYH NORMIROWANNYH PROSTRANSTW E0 I E1, ESLI

1) DLQ WSEH NABOROW DANNYH (f g j) 2 E1 SU]ESTWUET RE[ENIE

u 2 E0

2) \TO RE[ENIE EDINSTWENNO

3) SU]ESTWUET TAKAQ POSTOQNNAQ K, NE ZAWISQ]AQ OT (f g j),

^TO kukE0 6Kk(f g j)kE1 :

pOD^ERKNEM, ^TO PROSTRANSTWA E0 1 NE OBQZANY BYTX BANAHO- WYMI, T.E. POLNYMI.

2.18. rASSMATRIWAETSQ ZADA^A

utt = uxx

(x t )

:= (x t ) 0 6 t 6 2x 0 6 x < +

u t=0 = 0

2 u t=2x = '(xj)

0 6 x < +1

' 2 C

'(0) = '0(0) = '00(0) = 0:

( +) \ L1( +)

(6)

kORREKTNA LI ONA W PARE PROSTRANSTW (E0 1), GDE

E0 = C2(

) \ L1(

)

kukE0 = sup ju(x t )j

E1 =

'(x) j ' UDOWLETWORQET (6)

k'kE1 = sRup j'(x)j?

2.19. kORREKTNA LI KRAEWAQ ZADA^A:

ut = uxx

u t=0 = '(x)

u x=0 = u x=1

W PARE PROSTRANSTW

	(x t )	2 Q := (0 1)	(0 2]
	0	6 x 6 1
= 0	0	6 t 6 2
(E0	1), GDE

E0 =	u(x t ) j u 2 Cx2 1(Q) \ C(		)	kukE0
		Q
E1 =	'(x) j ' 2 C1([0 1]) (0) = '(1) = 0
				k'kE1

= max ju(x t )j

= max j'(x)j?

[0 1]

2.20. kORREKTNA LI ZADA^A kO[I DLQ URAWNENIQ

utt = uxx

W POLOSE Q := QTR (0 < T < +1) S USLOWIQMI

22					x 2 R
	u t=0	= '1(x)	ut	t=0 = '2(x)	x 2 R

W PARE PROSTRANSTW (E0

1), GDE

E0 = u(x t ) j u 2 C2(

) sup ju(x t )j < +1

kukE0 = sup ju(x t )j

;

2 R

1 R

E1 =

(x) =

'1(x)

2(x)

C ( ) 2

2 C ( )

j '1 2

sup

'j(x)

< +

(j = 1 2)

= sup

'1(x)

+ sup

'2(x)

2.21. kORREKTNA LI ZADA^A kO[I DLQ URAWNENIQ

ut = ;uxx

W POLOSE Q := QR(0 < T < +1) S USLOWIEM

t=0

= '(x)

W PARE PROSTRANSTW (E

), GDE

u(x t ) j u 2 Cx2 1(Q) \ C(

) \ L1(

)

E0 =

E1 =

'(x)

dj'

)

dxj

2 C(R) \ L1(R) (j = 0 1

u E0 = sup u(x t )

' E1

sup

d '(x)

k k

Q j

k k

j=0

p 2 N FIKSIROWANO?

2.22. rASSMATRIWAETSQ ZADA^A kO[I DLQ URAWNENIQ

utt = ux

S USLOWIQMI

u t=0 = '1(x) ut t=0 = '2(x):

A) pRIMENIMA LI K NEJ TEOREMA kO[I - kOWALEWSKOJ W SLU^AE

ANALITI^ESKIH '1 I '2?

B) kORREKTNA LI \TA ZADA^A W PARE PROSTRANSTW (E0

1), GDE

1 2

(Q)

E0 = u(x t ) u Cx

Q := QR

j 2

dj'i

= =('1 2)

dxj

2 C(R) \ L1(R) (i = 1 2 j = 0 1 2)

= sup u(x t )

dj'i(x1)

u E0

E1 =

sup

k k

Q j

i=1 j=0

X X

2.23. rASSMATRIWAETSQ KRAEWAQ ZADA^A

(x t ) 2

ut + ux = 0

t=0

= g1(x)

x=0

= g2(t)

+ :

nAJTI WSE , PRI KOTORYH \TA ZADA^A KORREKTNA W PARE PRO-

STRANSTW (E0

1), GDE

E0 = C1(

) \ L1(

kukE0 = suQp ju(x t )j

E1 =

= (0 1 2) j gj

2 C (

+) \ L1(

+) (j = 1 2)

g1(0) = g2(0)

0 (0) + g0 (0) = 0

E1 = sup

g1(x)

+ sup

g2(t)

2.24. rASSMOTRIM ZADA^U kO[I W POLOSE = Rx1 [0 0] W R2x

u + u = 0 W

u 2 C2( )

\ C1( )

y=0

= '(x)

uy y=0

= (x)

'(x) (x) | OGRANI^ENNYE NEPRERYWNYE FUNKCII NA R1: kOR-

REKTNA LI \TA ZADA^A W PARE PROSTRANSTW u 2 E0

(' ) 2

E1 GDE

E0 = C( )

kukE0

= sup ju(x t )j

E = C(R1)

C(R1)

= sup

'(x)

+ sup

(x)

3 uRAWNENIQ GIPERBOLI^ESKOGO TIPA

3.1. sU]ESTWUET LI FUNKCIQ u

C2(B2

(0)

0 ), UDOWLETWORQ-

nf g

@]AQ W B12(0)

n f

URAWNENI@ ux1x1 = ux2x2

I NEOGRANI^ENNAQ

W B2

(0) 0 ?

nf g

3.2. pUSTX FUNKCIQ u(x) 2

C2(R2) UDOWLETWORQET URAWNENI@

ux1x1 = ux2x2

W R2, I u(x) = 0 PRI WSEH x

B2(0). nAJTI NAI-

BOLX[EE MNOVESTWO W R , NA KOTOROM NEOBHODIMO u(x) = 0.

3.3. rASSMOTRIM ZADA^U kO[I NA PLOSKOSTI (x t ) S DANNYMI NA HARAKTERISTIKE ft = xg DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ

utt = uxx

u t=x = '(x) ux t=x = (x):

pRIDUMAJTE TAKIE GLADKIE FUNKCII '(x),

(x), ^TOBY DANNAQ

ZADA^A NE IMELA RE[ENIQ.

3.4. pRIWESTI PRIMER FUNKCIJ '

2 C

(

) TAKIH, ^TO ZADA^A

kO[I

;

uxx + 5uxy

6uyy = 0

u y=6x = '(x) uy y=6x = (x)

A) IMELA BY RE[ENIE. eDINSTWENNO LI \TO RE[ENIE?

B) NE IMELA BY RE[ENIJ.

2(@Q). eDINSTWENNO LI RE-

3.5. pUSTX Q = [0

[0 1], f

[ENIE u(x t ) 2 C (Q) SLEDU@]EJ ZADA^I:

utt = uxx

(x t )

u @Q = f ?

zADA^A kO[I DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ

kLASSI^ESKIM RE[ENIEM ZADA^I kO[I DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ


utt = a2 xu + f(x t ) (a > 0)		x 2 Rn t > 0
u t=0 = '(x)	ut t=0 = (x)

GDE '(x), (x), f(x t ) \| ZADANNYE FUNKCII, NAZYWAETSQ FUNK-
CIQ u(x t ) 2 C2(x	2 Rn> 0) \ C1(x 2 Rn > 0).
	25

eSLI WYPOLNQ@TSQ USLOWIQ

C2(R1)

C1(R1)

C1(R1

'(x)

(x)

(x t )

+) (n = 1)

'(x)

(x)

(x t )

2 C

(R )

2 C

(R )

2 C

(R R+) (n = 2 3),

TO RE[ENIE ZADA^I kO[I SU]ESTWUET,

EDINSTWENNO I ZADAETSQ:

PRI n = 1 FORMULOJ dALAMBERA

x+at

;

u(x t ) = 2 '(x + at) + '(x

; at)

x Zat

( ) d +

x+a(t; )

f( ) d d

x;a(t; )

PRI n = 2 FORMULOJ pUASSONA

u(x t ) =

xZ<at

( ) d

2 a

; j ; xj

(at)

; j

xZ<at

'( ) d

# +

2 a

(at)2

; j ; xj2

j ; j

f( ) d d

2 a

(a2(t

;

; j

;

j ;xj<a(t; ) p

PRI n = 3 FORMULOJ kIRHGOFA

u(x t ) =

j ;xZj=at

( ) dS +

j ;xZj=at '( ) dS # +

4 a2t

+ Z

f( ) dS d :

4 a2(t

;

)

j ;xj=a(t; )

zAME^ANIE. rE[ENIE ODNORODNOGO WOLNOWOGO URAWNENIQ W L@- BOJ TO^KE (x t ) ZAWISIT OT ZNA^ENIJ NA^ALXNYH FUNKCIJ ' I

PRI n = 1 | NA OTREZKE [x ; at x + at]

PRI n = 2 | W KRUGE S CENTROM W TO^KE x RADIUSA at PRI n = 3 | NA SFERE S CENTROM W TO^KE x RADIUSA at.

I NE ZAWISIT OT IH ZNA^ENIJ WNE DANNOGO MNOVESTWA.

3.6.

u(x t ), (x t ) 2

+, |

pUSTX

RE[ENIE ZADA^I kO[I

utt = uxx

= 0 ut

t=0

= (1 + x2) e x2 :

t=0

+ j

nAJTI WSE , PRI KOTORYH sup

u(x t )

< +

3.7.

u(x t ), (x t ) 2

+, |

pUSTX

RE[ENIE ZADA^I kO[I

utt = uxx

t=0

= 0

t=0

= (x3 + 2x4)(1 + x2) :

nAJTI WSE , PRI KOTORYH SU]ESTWUET KONE^NYJ

lim u(0 ).

t!+1

3.8. nAJTI WSE KOMPLEKSNYE a, PRI KOTORYH OGRANI^ENO RE[E- NIE u(x t ) W POLUPLOSKOSTI R R+ \ADA^I

utt = uxx

u = 0 ut

= (1 + x2)Im aeax2

3.9.

u(x t a), (x t ) 2

+, |

pUSTX

t=0

Rt=0

RE[ENIE ZADA^I kO[I

utt = a2uxx

t=0 =

t=0 = 0:

1 + x2

dOKAZATX, ^TO u(x t a) UBYWAET PO a.

3.10.

u(x t ), (x t ) 2

+, |

pUSTX

RE[ENIE ZADA^I kO[I

utt = a2uxx

'(x)

t=0

= (x)

t=0

PRI^EM '(x) = (x) = 0 DLQ

x > 1.

dOKAZATX, ^TO DLQ L@BOGO x0 SU]ESTWU@T TAKIE ^ISLA t0 I c, ^TO u(x0 ) = c PRI WSEH t > t0. nAJTI \TI ^ISLA.

3.11.

u(x t ), (x t ) 2

+, |

pUSTX

RE[ENIE ZADA^I kO[I

utt

= a2uxx

t=0

= '(x)

t=0

= 0

PRI^EM

'(x)

6 1 DLQ WSEH x

R, '(x) = 0 DLQ

x > 1.

nAJTI NIVN@@ GRANX MNOVESTWA TAKIH ZNA^ENIJ , ^TO PRI

WSEH t > , x

2 RI L@BYH ' S UKAZANNYMI SWOJSTWAMI WYPOL-

NQETSQ NERAWENSTWO ju(x t )j 6 1=2.

3.12.

pUSTX

uk(x t )

(k = 1 2

) | POSLEDOWATELXNOSTX

FUNKCIJ KLASSA

, UDOWLETWORQ@]IH SOOTNO[ENIQM

@2uk

= k

@2uk

x 2 R 0 6 t 6 k

@t2

@x2

uk t=0 > 0 PRI k < x < +

uk t=0 = 0

PRI

; 1

< x 6 k

@uk

= 0

2 R:

@t t=0

pRI KAKIH > 0, > 0

NAJDETSQ TAKOE x0, NE ZAWISQ]EE OT k,

^TO uk(x t ) = 0 DLQ (x t )

2 (;1

0] [0

] (k = 1 2

3.13. nAJTI RE[ENIE u(x y t

) W R2 R+ ZADA^I:

utt = uxx +uyy

t=0

= e;x2 +arctg y

t=0

= cos x+sin y:

3.14. nAJTI RE[ENIE u(x t ), x = (x1

3),

W R3 R+ ZADA^I:

utt = xu

t=0

= 0

t=0

= x 7:

3.15. nAJTI RE[ENIE u(x t ), x = (x1

3), W R3 R+ ZADA^I:

utt = xu u t=0 = 0

t=0 =

x 2 R3:

1 + (x1 + x2 + x3)2

3.16. nAJTI RE[ENIE ZADA^I kO[I

utt = 4

;

uxx + uyy + uzz

u t=0 = '(x y z ) t t=0 = 0

PRI SLEDU@]IH FUNKCIQH '(x y z

A) ' = sin x+e2z

B) ' = (yz)2

W) ' = (3x;y+z)e3x;y+z:

3.17. pUSTX u(x t ) | RE[ENIE W R3 R+ ZADA^I kO[I:

utt = xu

t=0

= 0

t=0

= (1 + 4 x 2);1=2:

j j

nAJTI

lim u(0

t!+1

3.18. pUSTX u(x1

) | RE[ENIE W R2 R+ ZADA^I kO[I:

utt = ux1x1 + ux2x2

t=0

= 0

t=0

= (x1 2)

C2(R2)

) > 0 W

(0).

GDE (x

(0),

) = 0 W

A) pRI KAKIH (x1

) FUNKCIQ u(x1

) RAWNA NUL@?

B) nAJTI

lim

tu(x1

) W SLU^AE, KOGDA

t!+1

(x1 2) = (1 ; x12 ; x22)+3 :

3.19. pUSTX u(x1

) | RE[ENIE W R2 R+ ZADA^I kO[I:

utt = ux1x1 + ux2x2

= 0

= (x1 2) C2(R2)

t=0

GDE

(x1

2) = 0

PRI

(x1

[0 1] [0 2],

(x1 2)

> 0

PRI

OSTALXNYH (x1

2).

A) oPISATX S POMO]X@ NERAWENSTW MNOVESTWO WSEH ZNA^ENIJ

(x1

) 2 R2

R+, DLQ KOTORYH u(x1

) = 0.

B) nARISOWATX \TO MNOVESTWO.

3.20. pUSTX u(x t ) | RE[ENIE W R3 R+ ZADA^I kO[I:

j j

utt = xu

u t=0

= 0 ut

t=0 = (x)

GDE

(x) = 0 PRI 0:9 6 x 6 1,

(x) > 0 DLQ OSTALXNYH x.

pRI KAKIH (x t ) FUNKCIQ u(x t ) RAWNA NUL@?

fu"(x y t )g (0 < " 6

3.21.

2 ) |

SEMEJSTWO FUNKCIJ

pUSTX

KLASSA C , UDOWLETWORQ@]IH SOOTNO[ENIQM

@2u"

(x y ) 2 R2

0 6 t 6 ";m

@t2

@x2 +

@y2

= 0

(x y ) R2

t=0

@u"

= 0 PRI x2 + y2 6 ";q

@u"

0 PRI x2 + y2 > ";q:

t=0

pRI KAKIH m > 0, q > 0 NAJDETSQ TAKOE > 0, NE ZAWISQ]EE OT ",

^TO u"(x y t ) = 0 DLQ x2 + y2 6 2, 0 6 t 6 ";m (0 < " 6 12 )?

(USLOWIE I RODA),

(USLOWIE II RODA), (USLOWIE III RODA).

BR3 (0) [0 +1)?

3.22. pUSTX u(x t ) | RE[ENIE ZADA^I kO[I

utt = u x 2 Rn>

2 f

t=0 = 0

t=0 = (x)

PRI^EM

(x) > 0. pRI KAKIH n

1 2 3

SPRAWEDLIWO UTWERVDE-

NIE: ESLI MNOVESTWO

(x) = 0

SWQZNO, TO I MNOVESTWO

f(x t ) 2 R R+ j u(x t ) = 0g TAKVE SWQZNO?

3.23. pUSTX u(x t ) 2 C2

;

(0 +1)

\ C1

;

[0 +1)

RE[ENIE ZADA^I kO[I DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ

utt = u

= 0

= '(x) C1(R3):

t=0

mOVET

LI NOSITELX

FUNKCII

LEVATX

CILINDRE

sME[ANNAQ ZADA^A DLQ POLUOGRANI^ENNOJ STRUNY

sME[ANNOJ ILI NA^ALXNO{KRAEWOJ ZADA^EJ DLQ POLUOGRANI^EN- NOJ STRUNY NAZYWAETSQ ZADA^A O NAHOVDENII FUNKCII u(x t ) UDOWLETWORQ@]EJ URAWNENI@

utt = a2uxx (a > 0)			x > 0 t > 0
NA^ALXNYM USLOWIQM PRI t = 0

u t=0	= '(x) ut	t=0	= (x) x > 0

I GRANI^NOMU USLOWI@ PRI x = 0

u x=0 = (t)

ILI ux x=0 = (t)

ILI (ux ; u) x=0 = (t)

w SLU^AE KOGDA (t) 0, KRAEWOE USLOWIE NAZYWAETSQ ODNOROD- NYM. rASSMATRIWA@TSQ I DRUGIE WIDY GRANI^NYH USLOWIJ.

dLQ SU]ESTWOWANIQ KLASSI^ESKOGO RE[ENIQ u 2 C2(R+ R+) NUVNY DOPOLNITELXNYE USLOWIQ SOGLASOWANIQ NA^ALXNYH I GRA- NI^NYH USLOWIJ W TO^KE (0 0). nAPRIMER, KLASSI^ESKOE RE[ENIE

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.02.20161.53 Mб136ВПЭ.pdf
#
15.02.201695.06 Кб102Глава 1. Вид - единица существования живых организмов.docx
#
15.02.201678.34 Кб6ГОСэкзамен магистратура 2012.doc
#
15.02.201679.36 Кб7ГОСэкзамен магистратура 2015.doc
#
15.02.20161.26 Mб115Двумерная флуоресцентная микроскопия для анализа биологических образцов (Сайфитдинова А.Ф., 2008).pdf
#
15.02.2016749.32 Кб24Задачи по мат.физике.pdf
#
15.02.2016862.57 Кб21Ионизационные волны в аргоне.docx
#
15.02.20161.94 Mб116КВАНТОВАЯ И ОПТИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОНИКА-1.pdf
#
15.02.20161.94 Mб145КВАНТОВАЯ И ОПТИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОНИКА.pdf
#
15.02.20161.54 Mб90КиОЭ_Садыков.doc
#
15.02.2016754.83 Кб70Конспект лекций по квантовой физике.pdf