Задачи по мат.физике
.pdffUNKCIQ gRINA
fUNKCIEJ gRINA PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I W OBLASTI NAZYWAETSQ FUNKCIQ WIDA:
G(x y) = E(x ; y) + g(x y )
GDE x 2 , y 2 , A g(x y ) PRI KAVDOM FIKSIROWANNOM x 2 QWLQETSQ RE[ENIEM SLEDU@]EJ KRAEWOJ ZADA^I:
|
yg(x y ) = 0 |
;E |
y |
||||||
|
( g(x y ) |
y2@ |
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; |
|||
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= |
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(x |
2 y): |
|||
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tEOREMA. fUNKCIQ gRINA UDOWLETWORQET SLEDU@]IM SWOJ- |
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STWAM: |
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G(x y) = G(y x) | PRINCIP WZAIMNOSTI |
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G(x y) 6 0 DLQ WSEH x 2 |
2 | NEPOLOVITELXNOSTX. |
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5.27.nAPISATX FORMULU, DA@]U@ RE[ENIE ZADA^I dIRIHLE
DLQ URAWNENIQ lAPLASA W Ban(0), I DOKAZATX, ^TO FUNKCIQ, OPRE- DELQEMAQ \TOJ FORMULOJ, NEPRERYWNA NA San(0):
5.28.sU]ESTWUET LI FUNKCIQ G(x x0), OPREDELENIE KOTOROJ
OTLI^AETSQ OT OPREDELENIQ FUNKCII gRINA ZADA^I dIRIHLE DLQ OBLASTI R3 ZAMENOJ USLOWIQ
G(x x0) = 0 |
PRI |
x 2 @ |
|
USLOWIEM |
|
|
|
@G(x x0) |
= 0 |
PRI |
x 2 @ ? |
@ |
5.29. pRI KAKIH SU]ESTWUET RE[ENIE u( ) ZADA^I nEJMANA
DLQ URAWNENIQ lAPLASA W KRUGE B2 |
(0) S GRANI^NYM USLOWIEM |
||
|
1 |
|
|
@u |
= cos4 + 2 cos2 ? |
||
@ =1 |
|||
|
61 |
5.30. pRI KAKIH SU]ESTWUET RE[ENIE KRAEWOJ ZADA^I DLQ
URAWNENIQ lAPLASA W KOLXCE B22(0)nB12(0) S GRANI^NYMI USLOWI- |
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QMI |
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@u |
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@u |
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@ =1 = 1 |
@ + u =2 = ? |
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nAJTI RE[ENIE WO WSEH SLU^AQH, KOGDA ONO SU]ESTWUET. |
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5.31. sU]ESTWUET |
LI GARMONI^ESKAQ |
W B12(0) |
nf |
0 |
g |
FUNKCIQ |
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u(x y ), UDOWLETWORQ@]AQ USLOWI@ |
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@u |
= x ; y2? |
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@ |
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=1 |
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5.32. nAJTI RE[ENIE u(x y ) SLEDU@]EJ ZADA^I: |
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u = 0 > 1 |
@u |
= x(1 |
; |
y) |
|
inf u(x y ) = 0: |
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@ |
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=1 |
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>1 |
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||||
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ZADA^I: u 2 |
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5.33. A) eDINSTWENNO LI RE[ENIE |
SLEDU@]EJ |
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C2( ), GDE |
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= B23(0)nB13(0) |
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|||
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@u(x) |
u(x) = 0 |
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x 2 |
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||||
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; 1u(x) = f1(x) |
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x 2 S13(0) |
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@ |
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||||||||||
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@u(x) |
+ 2u(x) = f2(x) |
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x 2 S23(0) |
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||||||
@ |
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||||||||||
k = const > 0 (k = 1 2)? |
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|||||
B) tOT VE WOPROS PRI k = const < 0 |
(k = 1 2): |
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5.34. nAJTI WSE TAKIE > 0, ^TO RE[ENIE u(x y ) ZADA^I dI- RIHLE DLQ URAWNENIQ lAPLASA W POLUPLOSKOSTI R+ R UDOWLE- TWORQ@]EE NERAWENSTWU
u(x y ) 6 M;1 + x + jyj
GDE M = const > 0, EDINSTWENNO. 62
5.35. nAJTI WSE TAKIE > 0, ^TO RE[ENIE u(x y ) ZADA^I dI- |
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2 |
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x |
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||
RIHLE DLQ URAWNENIQ lAPLASA W OBLASTI |
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(x y ) 2 R |
jyj < p |
3 |
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UDOWLETWORQ@]EE NERAWENSTWU |
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u(x y ) 6 M;1 + x2 + y2 |
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GDE M = const > 0 EDINSTWENNO. |
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5.36. nAJTI ZNA^ENIQ W TO^KAH OTRICATELXNOJ POLUOSI Oy |
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LOGARIFMI^ESKOGO POTENCIALA |
PROSTOGO SLOQ u(x y ) |
RASPRE- |
||||||||||||||||||||
DELENNOGO NA OTREZKE x = 0 0 6 y 6 2 S PLOTNOSTX@, RAWNOJ |
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EDINICE. |
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5.37. nAJTI |
lim |
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2 |
; |
2 2 |
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ln |
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(x |
; |
)2 + (y |
; |
)2 |
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ds: |
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x2 |
+y2 |
!12 |
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||||
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2 |
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Z |
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+ =1; |
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5.38. pUSTX |
B |
= B2(0): sU]ESTWU@T LI DWE RAZLI^NYE FUNK- |
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1 |
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CII ui(x y ) co cLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: ui 2 C2(B) |
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W |
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@ui |
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NA |
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ui = 0 |
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B |
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@y ; ui |
= 3x |
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@B |
(i = 1 2)? |
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5.39. A) pUSTX K = |
|
1 < jxj < 2 |
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| "KOLXCEWAQ" OBLASTX W |
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R2 |
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2 |
C |
2 |
(K) |
\ |
C |
1 |
(K) SLEDU@]EJ |
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: eDINSTWENNO LI RE[ENIE u |
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KRAEWOJ ZADA^I: |
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u = 0 |
W |
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K |
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@u |
= '1(x1 2) u jxj=2 = '2(x1 2) |
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@n |
|||||||||||||||||
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jxj=1 |
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'1 2 { PROIZWOLXNYE NEPRERYWNYE FUNKCII NA OKRUVNOSTQH |
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jxj = 1 |
I |
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|
jxj |
= 2 |
SOOTWETSTWENNO? |
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B) nAJDITE RE[ENIE POSTAWLENNOJ W P. (a) ZADA^I, ESLI |
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'1 = cos |
'2 = sin |
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( | POLQRNYJ UGOL NA PLOSKOSTI).
63
5.40. A) dOKAVITE, ^TO RE[ENIE ZADA^I dIRIHLE W POLOSE =
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(x y ) : 0 < x < 1 ;1 < y < +1 |
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1 |
2 2 |
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u = 0 |
W |
u |
x=0 |
= '1 |
(y) |
u x=1 |
= '2(y) |
||
' |
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C( |
R1 |
NEEDINSTWENNO. |
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) |
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B) eDINSTWENNO LI RE[ENIE PREDYDU]EJ ZADA^I S DOPOLNI- |
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TELXNYM USLOWIEM |
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|||||
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u(x y ) ! 0 |
PRI |
jyj ! 1? |
|
5.41. pUSTX Q | OGRANI^ENNAQ OBLASTX S GRANICEJ @Q KLASSA
C1: mOVET LI RE[ENIE u 2 C2(Q) \ C1(Q) KRAEWOJ ZADA^I |
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u ; u = 1 W Q |
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@u |
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= 0 |
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||||||||
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@n |
|
@Q |
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(~n | |
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@Q) |
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Q? |
||
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|
WNE[NQQ NORMALX K |
|
BYTX STROGO POLOVITELXNYM W |
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5.42. pUSTX K = B12(0) |
(x y ) | RE[ENIE ZADA^I |
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||||||||||||||||||
nAJDITE u(0 0): |
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u = x2y |
|
u @K = 0: |
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5.43. pRI KAVDOM LI 2 R1 ZADA^A |
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u = 1 |
W K = (r ) 1 < r < 2 |
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@u |
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= sin ' |
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@u |
+ u |
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= sin2 ' |
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@n |
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@n |
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r=1 |
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r=2 |
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2 |
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1 |
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(K) |
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? (~n |
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u 2 C |
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(K)\C |
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WNE[NQQ |
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IMEET HOTQ BY ODNO RE[ENIE |
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NORMALX K GRANICE KOLXCA K:) |
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5.44. pRI KAKIH a 2 R1 KRAEWAQ ZADA^A |
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u + 2u = x ; a W |
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u @ = 0 |
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= |
(0 ) |
(0 |
|
) |
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? |
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|||||
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IMEET HOTQ BY ODNO RE[ENIE |
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|
|
64
5.45. pUSTX { OGRANI^ENNAQ OBLASTX NA PLOSKOSTI, u(x) 2
C2( )
u = 0 W
'(x) | NEPRERYWNAQ FUNKCIQ NA @ I
lim u(x) = '(x0)
x!x0 x2
DLQ WSEH x0 2 @ KROME EDINSTWENNOJ TO^KI x 2 @ : nA- ZOWEM TAKU@ FUNKCI@ "RE[ENIEM ZADA^I dIRIHLE u = 0 u @ = '(x) KROME ODNOJ GRANI^NOJ TO^KI x ". eDINSTWENNO LI RE[ENIE TAKOJ ZADA^I dIRIHLE?
5.46. pUSTX R3 | WNE[NOSTX EDINI^NOGO [ARA. eDINST-
WENNO LI RE[ENIE u(x) 2 C2( ) \C( ) WNE[NEJ ZADA^I dIRIHLE
|
|
u(x) = 0 jxj > 1 |
|
u x |
=1 = 0 |
||||||
PRI DOPOLNITELXNOM USLOWII |
|
j j |
|
|
|
|
|||||
A) |
Z |
|
u( ) |
|
2 d = O(1) |
B) |
Z |
|
u( ) |
|
2 d = o(1) |
j ;xj<1 |
|
|
j ;xj<1 |
|
|
PRI jxj ! +1?
5.47. A) nAJTI RE[ENIE u( ) ZADA^I dIRIHLE DLQ URAWNENIQ lAPLASA W B12(0) S GRANI^NYM USLOWIEM
u = 1 k;p;1 sin(kq )
=1 X k=1
GDE p I q { ZADANNYE NATURALXNYE ^ISLA.
B) pRI KAKIH p, q \TO RE[ENIE PRINADLEVIT PROSTRANSTWU
H1(B12(0))?
65
oBOB]ENNYE RE[ENIQ zADA^A dIRIHLE
rASSMOTRIM ZADA^U dIRIHLE W OBLASTI W KLASSI^ESKOJ POSTA- NOWKE
|
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u = f |
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W |
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(13) |
|||
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|
u = ' |
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|
NA |
|
@ : |
|
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|||||
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|||||||
pUSTX f |
2 L2( ) |
|
2 H1( ). |
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|
|
|
||||||||
fUNKCIQ u |
2 |
H1( ) NAZYWAETSQ OBOB]ENNYM RE[ENIEM |
||||||||||||||||||||||
KRAEWOJ ZADA^I (13), ESLI |
|
|
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Z rurv dx = ; Z fv dx |
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|||||||||||
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1 |
( ) I u ; ' |
|
|
1 |
( ). |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||
DLQ L@BOJ v 2 H |
2 H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
wARIACIONNOJ POSTANOWKOJ ZADA^I (13) NAZYWAETSQ SLE- |
||||||||||||||||||||||||
DU@]AQ MINIMIZACIONNAQ ZADA^A: |
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
w H1( ) |
|
' H1( ) |
Z |
jr |
j |
2dx + 2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
inf |
|
|
|
|
|
w |
|
|
fw dx |
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
; 2 |
|
|
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|
|
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|
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|
||
ILI |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
inf |
|
|
|
jr |
w |
2dx + 2 |
Z |
fw dx |
; |
2 |
Z |
r |
' |
r |
w dx : |
||||||||
w H1( ) Z |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
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|
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|
2 |
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|
zADA^A nEJMANA
rASSMOTRIM ZADA^U nEJMANA W OBLASTI W KLASSI^ESKOJ POSTA- NOWKE
( |
u = f |
W |
|
|
@@u = |
NA |
@ : |
(14) |
|
pUSTX f 2 L2( ) |
2 L2(@ ). |
|
|
|
66
fUNKCIQ u 2 H1( ) NAZYWAETSQ OBOB]ENNYM RE[ENIEM
KRAEWOJ ZADA^I nEJMANA (14), ESLI
Z |
rurv dx = Z |
v ds ; Z fv dx |
|
@ |
|
DLQ L@BOJ v 2 H1( ).
wARIACIONNOJ POSTANOWKOJ ZADA^I (13) NAZYWAETSQ SLE-
DU@]AQ MINIMIZACIONNAQ ZADA^A:
inf |
w |
2dx + 2 |
Z |
fw dx |
; |
2 |
Z |
w ds |
: |
|
w2H1 |
( ) Z jr |
j |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
tRETXQ KRAEWAQ ZADA^A (ZADA^A fURXE)
rASSMOTRIM TRETX@ KRAEWU@ ZADA^U W OBLASTI W KLASSI^ESKOJ POSTANOWKE
|
( |
u = f |
W |
|
|
|
@@u + u = |
NA @ : |
(15) |
||
pUSTX f |
L2( ) |
L2(@ ). |
|
|
|
fUNKCIQ2u 2 H1( )2NAZYWAETSQ OBOB]ENNYM RE[ENIEM |
|||||
TRETXEJ KRAEWOJ ZADA^I (15), ESLI |
|
|
|
||
Z |
rurv dx + Z uv ds = Z |
v ds ; Z fv dx |
|
||
|
|
@ |
@ |
|
|
DLQ L@BOJ v 2 H1( ).
wARIACIONNOJ POSTANOWKOJ ZADA^I (15) NAZYWAETSQ SLE-
DU@]AQ MINIMIZACIONNAQ ZADA^A:
inf |
w |
2dx + |
Z |
w2 ds |
; |
2 |
Z |
w ds + 2 |
Z |
fw dx |
|
: |
|
w2H1( ) Z jr |
j |
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|
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|
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|
|
pOSLEDOWATELXNOSTX |
fukg |
|
NAZYWAETSQ |
MINIMIZIRU@]EJ |
DLQ |
||||||||
FUNKCIONALA F , ESLI F (uk) |
;! m PRI k ! 1 I m = inf F (v): |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
67 |
oTMETIM, ^TO ZADA^A nEJMANA IMEET EDINSTWENNOE RE[ENIE S TO^NOSTX@ DO ADDITIWNOJ POSTOQNNOJ. dLQ ODNOZNA^NOJ RAZ- RE[IMOSTI ZADA^I ^ASTO PREDPOLAGA@T, ^TO U RE[ENIQ NULE- WOE SREDNEE PO OBLASTI. pRI TAKOM DOPU]ENII ZADA^A STANO- WITSQ ODNOZNA^NO RAZRE[IMOJ I W \TOM SLU^AE MOVNO PRIME- NQTX OB]U@ SHEMU ISSLEDOWANIQ I KLASSI^ESKOJ POSTANOWKI, I OBOB]ENNOJ, I WARIACIONNOJ.
eSLI POSLEDOWATELXNOSTX fukg QWLQETSQ MINIMIZIRU@]EJ,
TO SU]ESTWUET TAKOE u 2 H1( ), ^TO uk ;! u PRI k ! 1 I
F(u) = m:
mETOD rITCA
rASSMOTRIM WARIACIONNU@ POSTANOWKU ZADA^I dIRIHLE. pUSTX |
|||||
F(w) = Z jrwj2dx + 2 Z fw dx. rASSMOTRIM LINEJNO NEZAWISI- |
|||||
|
|
|
|
|
|
MU@ SISTEMU 1 |
j |
, KONE^NYE LINEJNYE OBOLO^KI KOTO- |
|||
|
1 |
( ): |
|
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RYH PLOTNY W H |
|
|
|
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|
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k |
|
|
|
|
tOGDA fukg k = j=1 j j, BUDET MINIMIZIRU@]EJ POSLEDO- |
||||
WATELXNOSTX@, k = 1 2P |
ESLI j | RE[ENIQ SISTEMY LINEJ- |
||||
NYH URAWNENIJ |
|
|
|
|
|
8 |
1 Z r 1r 1dx + 2 Z |
r 2r 1dx + : : : + k Z r kr 1dx = |
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|
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= ; Z f 1 dx |
|
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r 2r kdx + : : : + k Z r kr kdx = |
||||
< 1 Z r 1r kdx + 2 Z |
|||||
|
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|
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||
> |
|
|
|
= ; Z f k dx |
|
|
|
|
|
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: |
|
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68 |
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|
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5.48. pUSTX |
|
u |
2 |
|
C B2(0) |
|
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u(x y ) |
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> 0 |
|
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= 1 |
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2 |
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|
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|
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PO^TI WS@DU W B12(0): |
|
|
|
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dOKAZATX, ^TO |
|
u(x y ) > 0 |
|
8(x y ) 2 B12(0): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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5.49. pUSTX u |
2 |
C B12(0) W B12(0) SU]ESTWU@T OBOB]ENNYE |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
PROIZWODNYE W SMYSLE sOBOLEWA |
uxx |
I |
uyy, |
|
PRI^EM |
|
|
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|
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|
|
|
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uxx + uyy = 0 |
|
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PO^TI WS@DU W B12(0): |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
dOKAZATX, ^TO |
|
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u(x y ) |
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6 max |
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u |
|
8 |
(x y ) |
|
2 |
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(0): |
|
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|
|
|
|
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5.50. A) sFORMULIROWATX OPREDELENIE OBOB]ENNOGO RE[ENIQ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ZADA^I dIRIHLE DLQ URAWNENIQ |
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
0 |
|
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f(x) = |
j |
x |
2 |
|
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= B1n(0) |
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|
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|
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|
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||
W) tOT VE WOPROS W SLU^AE, KOGDA = |
|
Bn(0) |
|
0 : |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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5.51. pUSTX B = B14(0) |
|
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= |
|
x |
2 |
|
R4 : x1 = 0 |
|
|
2 = 0 |
3 = 0 |
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|
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1 |
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0 < x4 < |
|
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{ |
|
OTREZOK W |
R4 |
= B n `: |
nAJDITE OBOB]ENNOE |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
RE[ENIE ZADA^I dIRIHLE u(x) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||
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Z (ru rv) dx = 0 |
|
|
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1 |
|
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|
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|
|
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8 v 2 H |
(Q) |
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|
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|
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|
|
|
|
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|
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|
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|
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(Q) |
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2 |
C1(B) |
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I |
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'(x) = 1 |
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x |
2 |
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`: |
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69
5.52. nAJTI |
|
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|
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|
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|
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NA MNOVESTWE |
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w |
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2 |
H |
1 |
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2 |
(0)) |
|
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w |
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f |
2 |
|
2 |
(0)) GDE |
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|
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|
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H |
(B1 |
|||||||||||||||||||
f(x1 2) = x22: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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5.53. wY^ISLITX |
|
|
|
|
|
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|
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H1( ) Z |
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w |
2 |
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; j j; |
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2 |
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|
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|
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ESLI |
= fx = (x1 2) : 1 < jxj < |
2g: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5.54. wY^ISLITX |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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; |
|
w 2 |
+ 2(x12 |
|
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x2)w |
dx |
|
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|
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|
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2 |
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x1 |
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H1( ) Z |
|
|
|
|
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|
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|
ESLI = B12(0):
70