Задачи по мат.физике
.pdfpRI \TOM
'N = ' |
PRI |
x 2 |
(;M ; M + ) I |
'N = 0 |
PRI |
x 26 |
(;N + N ; ) |
DLQ DOSTATO^NO MALYH FIKSIROWANNYH I TAKIH, ^TO M + < N ; . dOKAZATX, ^TO SU]ESTWUET TAKOE N0 ^TO u OTREZKE [;M M ] PRI N > N0:
4. (3) dLQ KAKIH IZ TREH URAWNENIJ NA PLOSKOSTI
ut = uxx utt = uxx utt = ;uxx
SU]ESTWUET NETRIWIALXNOE RE[ENIE S OGRANI^ENNYMI I ZAMK- NUTYMI LINIQMI UROWNQ?
5. A) (1) sFORMULIROWATX LEMMU O NORMALXNOJ PROIZWODNOJ. B) (3) dOKAZATX, ^TO GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ u 2 C1( )
|
|
|
|
@u |
= 0 |
NA |
;1 |
u = 0 |
NA |
;2 |
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|||||||
|
|
|
|
= @ mesn;1;2 6= 0 |
|
|
|
|
. |
|||
;1 [ ;2 |
TOVDESTWENNO RAWNA NUL@ |
|||||||||||
6. A) (1) sFORMULIROWATX TEOREMU O SREDNEM DLQ GARMONI^ES- KIH FUNKCIJ.
B) (2) dOKAZATX, ^TO FUNKCIQ u 2 C2( ), UDOWLETWORQ@]AQ TEO- |
|||
REME O SREDNEM DLQ L@BOGO [ARA |
K , QWLQETSQ GARMONI^ES- |
||
KOJ. |
|
x |
|
|
|
|
|
7. (3) pUSTX C | KONUS (x y ) |
6 y 6 : dOKAZATX, ^TO |
||
NE SU]ESTWUET OB]EJ KONSTANTY W NERAWENSTWE fRIDRIHSA DLQ WSEH OGRANI^ENNYH C:
kRITERII OCENOK: \OTLI^NO" | 16 BALLOW \HORO[O" | 13 BALLOW \UDOWLETWORITELXNO" | 8 BALLOW PRI MAKSIMALXNO
WOZMOVNOJ SUMME 25 BALLOW. wREMQ NAPISANIQ | 3 ASTRONOMI- ^ESKIH ^ASA.
2000 GOD, POTOK MATEMATIKOW, DOSRO^NYJ \KZAMEN, LEKTOR a.s.{AMAEW
1. A) (1) nAPI[ITE FORMULU dALAMBERA DLQ RE[ENIQ URAWNENIQ
KOLEBANIJ STRUNY. |
|
(x y ) 2 R2 |
|
|
|
|
|
B) (3) pUSTX K = |
|
|
x2 |
+ y2 |
< 1 |
| EDINI^NYJ |
|
|
|
|
|
|
121 |
KRUG W R2: kORREKTNA LI ZADA^A: NAJTI u(x y ) 2 C2(K) \ C(K) TAKU@ ^TO
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
uxx |
|
uyy = 0 W |
K |
u @K = '(x y ) |
|||
'(x y ) |
C(@K) | PROIZWOLXNAQ NEPRERYWNAQ FUNKCIQ? |
||||||||
2. A) (1) |
|
|
|
|
|
|
1 |
(Q): |
|
dAJTE OPREDELENIE PROSTRANSTWA H |
|||||||||
B) (2) dOKAVITE POLNOTU PROSTRANSTWA H1(Q): |
|||||||||
W) (3) pUSTX Q = |
|
jxj < 1 |
2 R3 |
: sPRAWEDLIWO LI SLEDU@]EE |
|||||
UTWERVDENIE: SU]ESTWUET POSTOQNNAQ C > 0 TAKAQ, ^TO DLQ L@BOJ u(x) 2 C1(Q)
u(0) 6 C u H1(Q)?
eSLI "DA" | DOKAVITE, "NET" | PRIWEDITE OPROWERGA@]IJ
pUSTX K = 1 < jxj < 2 | "KOLXCEWAQ" OBLASTX W R2: eDINSTWENNO LI RE[ENIE SLEDU@]EJ KRAEWOJ ZADA^I:
|
|
u = 0 W K |
u 2 C2(K) \ C1( |
K |
) |
|
|
|
@u |
= '1(x1 2) |
u jxj=2 = '2(x1 2) |
||
|
|
@n |
||||
|
|
|
jxj=1 |
|
|
|
'1 2 | PROIZWOLXNYE NEPRERYWNYE FUNKCII NA OKRUVNOSTQH |
||||||
|
jxj = 1 |
|
|
|
|
|
|
I |
jxj = 2 SOOTWETSTWENNO? oTWET OBOSNUJTE. |
||||
B) (2) nAJDITE RE[ENIE POSTAWLENNOJ W P. (a) ZADA^I, ESLI |
||||||
|
|
|
'1 = cos |
'2 = sin |
||
( | POLQRNYJ UGOL NA PLOSKOSTI).
4. A) (1) sFORMULIRUJTE PRINCIP MAKSIMUMA DLQ URAWNENIQ lAPLASA.
B) (3) sPRAWEDLIW LI PRINCIP MAKSIMUMA DLQ URAWNENIQ
u + ux + u = 0 |
= |
@2 |
+ |
@2 |
@x2 |
@y2 |
W OGRANI^ENNOJ OBLASTI Q NA PLOSKOSTI W TOJ VE FORME, KAK DLQ URAWNENIQ lAPLASA? oTWET OBOSNUJTE.
122
5. A) (1) sFORMULIRUJTE TEOREMU lIUWILLQ DLQ URAWNENIQ lAP- LASA.
B) (3) pUSTX u(x) | GARMONI^ESKAQ W
u2(x) dx
ZZZR3 (1 + jxj)3 < 1:
wERNO LI, ^TO u(x) const W R3? oTWET OBOSNUJTE.
6. A) (1) dAJTE OPREDELENIE POTENCIALA DWOJNOGO SLOQ.
B) (3) dOKAVITE, ^TO POTENCIAL DWOJNOGO SLOQ, SOZDAWAEMYJ ZAMKNUTOJ POWERHNOSTX@ lQPUNOWA S I IME@]IJ EDINI^NU@ PLOTNOSTX, RAWEN 0 WNE S I 4 WNUTRI S:
7. A) (1) nAPI[ITE FORMULU pUASSONA DLQ RE[ENIQ ZADA^I kO- [I DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI.
pUSTX u(x t ) | RE[ENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI S "POTENCIALOM":
ut = uxx ; u t > 0 x 2 R1
UDOWLETWORQ@]EE NA^ALXNOMU USLOWI@
u t=0 = sin2 x:
dOKAVITE, ^TO SU]ESTWUET POSTOQNNAQ A TAKAQ, ^TO
u(t x ) ; Ae;t
GDE FUNKCIQ (t) ! 0 PRI t ! 1: nAJDITE POSTOQNNU@ A: wSEGO 31 BALL
2000 GOD, POTOK MATEMATIKOW, OSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTOR a.s.{AMAEW
sFORMULIRUJTE OPREDELENIE HARAKTERISTI^ESKOJ PO- WERHNOSTI DLQ DIFFERENCIALXNOGO OPERATORA WTOROGO PORQDKA. B) (3) rASSMOTRIM ZADA^U: NAJTI W SEKTORE
K = (x t )j x > 0> 0< 2x
FUNKCI@ u(x t ) 2 C2(K) \ C(K) UDOWLETWORQ@]U@ URAWNENI@ utt = uxx
123
I NA^ALXNYM I GRANI^NYM USLOWIQM
u t=0 = '(x) ut t=0 = (x) u t=2x = 0
'(x) (x) 2 C1;[0 1) : iMEET LI \TA ZADA^A RE[ENIE I ESLI "DA" | EDINSTWENNO LI ONO? oTWET OBOSNUJTE.
2. A) (2) dOKAVITE NERAWENSTWO fRIDRIHSA.
B) (3) sPRAWEDLIWO LI NERAWENSTWO fRIDRIHSA W POLOSE
= (x y ) : 0 < x < 1 ;1 < y < 1 ?
eSLI "DA" | DOKAVITE, "NET" | PRIWEDITE OPROWERGA@]IJ
pRIWEDITE KLASSI^ESKU@ POSTANOWKU ZADA^I dIRIHLE W OGRANI^ENNOJ OBLASTI Q I DOKAVITE EDINSTWENNOSTX RE[ENIQ. B) (3) dOKAVITE, ^TO RE[ENIE ZADA^I dIRIHLE W POLOSE =
|
(x y ) : 0 < x < 1 |
;1 < y < +1 |
|
||||
u = 0 |
W |
|
u x=0 = '1(y) u x=1 = '2(y) |
||||
|
|||||||
'1 2 2 C( |
R1 |
NEEDINSTWENNO |
|
||||
) |
|
|
. |
||||
W) (2) eDINSTWENNO LI RE[ENIE PREDYDU]EJ ZADA^I S DOPOLNI- TELXNYM USLOWIEM
u(x y ) ! 0 PRI jyj ! 1?
oTWET OBOSNUJTE. 4. (3) pUSTX Q =
PROSTRANSTWE, ` = | OTREZOK W R4
dIRIHLE u(x) :
x 2 R4 jxj < 1 | [AR W ^ETYREHMERNOM
x 2 R4 : x1 = 0 2 = 0 3 = 0 0 < x4 < 1=2
1 = Qn`: nAJDITE OBOB]ENNOE RE[ENIE ZADA^I
Z |
1 |
|
(ru rv) dx = 0 8v 2 H |
(Q1) |
|
Q1 |
|
|
1
u ; '(x) 2 H (Q1)
'(x) 2 C1(Q) I '(x) = 1 PRI x 2 `:
0
5. (2) sU]ESTWUET LI POLOVITELXNAQ GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ
W [ARE Q = jxj < 1 2 R3 TAKAQ, ^TO u(0 0 0) = 1 u(0 0 1=2) = 10? oTWET OBOSNUJTE.
124
6. (4) pUSTX u(t x ) 2 C2( ) \ C( ) | KLASSI^ESKOE RE[ENIE URAWNENIQ
ut = uxx + v(t x )
GDE = (0 +1) (0 1) |
(t x ) | OGRANI^ENNAQ IZMERIMAQ FUNK- |
||||||||
CIQ, UDOWLETWORQ@]AQ OCENKE jvj 6 C C > 0 | ZADANNAQ POSTO- |
|||||||||
QNNAQ. pUSTX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u t=0 = '(x) |
|
GDE |
'(x) 2 C1 [0 1] |
|
|
8 |
|
||
|
|
|
|
t > 0:; |
|
||||
u x=0 |
= u |
x=1 |
= 0 |
|
|
|
|||
mOVNO LI TAK WYBRATX FUNKCI@ v(t x8) ^TO u(t x ) |
|
0 |
t > t |
||||||
t | NEKOTORAQ POLOVITELXNAQ POSTOQNNAQ? oTWET OBOSNUJTE. 7. (3) pRI KAKIH ZNA^ENIQH PARAMETRA a 2 R1 FUNKCIQ u(t x ) RAWNAQ NUL@ PRI t > ax I EDINICE PRI t 6 ax (t x ) 2 R2 QWLQETSQ RE[ENIEM URAWNENIQ
ut = ux
W SMYSLE TEORII OBOB]ENNYH FUNKCIJ? oTWET OBOSNUJTE.
8. (3) pUSTX u(t x ) 2 C2( ) \ C1( ) | KLASSI^ESKOE RE[ENIE |
|||||
URAWNENIQ |
|
|
|
|
= (0 +1) (0 1) |
ut = uxx + 3u |
W POLOSE |
||||
UDOWLETWORQ@]EE KRAEWYM USLOWIQM |
|||||
|
|
|
|
|
|
u x=0 |
= u x=1 |
= 0 t > 0: |
|||
dOKAVITE, ^TO DLQ u(t x ) IMEET MESTO NERAWENSTWO |
|||||
|
|
u(t x ) |
|
6 Ce;6t |
|
|
|
|
|
||
GDE C > 0 | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ. wSEGO 31 BALL
2000 GOD, POTOK MATEMATIKOW, PERESDA^A, LEKTOR a.s.{AMAEW
1. A) (2) sFORMULIRUJTE TEOREMU kO[I|kOWALEWSKOJ. B) (3) pRI KAKIH WE]ESTWENNYH SU]ESTWUET RE[ENIE
u(x t ) 2 C2(K) \ C1(K) K = (0 +1) (0 +1)
125
SLEDU@]EJ KRAEWOJ ZADA^I:
|
|
|
|
|
|
utt = uxx |
W K |
|
2 |
|
; |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DLQ |
|
C1 |
|
|
||||
u |
|
t=0 |
= '(x) ut |
|
t=0 |
= (x) |
|
'(x) (x) |
|
|
(0 + |
|
) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
ux |
+ u |
x=0 |
= 0 |
|
t > 0? |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
oTWET OBOSNUJTE;. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. A) (1) pRIWEDITE FORMULIROWKU STROGOGO PRINCIPA MAKSIMUMA DLQ URAWNENIQ lAPLASA.
B) (2) sPRAWEDLIW LI PRINCIP MAKSIMUMA DLQ URAWNENIQ
utt = uxx?
eSLI "DA" | DOKAVITE, "NET" | PRIWEDITE OPROWERGA@]IJ PRIMER.
3. (3) pUSTX u(x t ) | RE[ENIE ZADA^I
utt = uxx W = (0 ) (0 +1)
|
u |
t=0 |
= |
'(x) |
|
ut |
t=0 |
= (x) |
'(x) (x) |
2 |
C1(0 ) |
||||||
|
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
u x=0 = u x= = 0 |
DLQ t > 0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
u(x ) = 0 |
|
t > t = const > |
|||
u(x t ) |
|
( ) |
( ) |
|
|
||||||||||||
|
C |
C |
I |
DLQ WSEH |
|||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 I |
|
| IRRACIONALXNOE ^ISLO. wERNO LI, ^TO u(x t ) 0 W ? |
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
oTWET OBOSNUJTE. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. A) (1) nAPI[ITE FORMULU pUASSONA DLQ RE[ENIQ ZADA^I kO- [I DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ W SLU^AE DWUH PROSTRANSTWENNYH PEREMENNYH.
B) (2) dOKAVITE, ^TO FUNKCIQ, OPREDELQEMAQ FORMULOJ pUASSONA, UDOWLETWORQET NA^ALXNYM USLOWIQM PRI t = 0:
5. (3) pUSTX FUNKCIQ u(x) ZADANNAQ W [ARE Q1 = x 2 R3 jxj < |
|||||||||||
1 |
UDOWLETWORQET URAWNENI@ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = u ( = const < 0) |
|
||||||||
I u(x) 0 W [ARE RADIUSA |
|
= x 2 R3 |
jxj < = const |
||||||||
0 |
< < 1: |
dOKAVITE |
, |
^TO |
u |
|
0 |
W |
Q1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
126
6. (2) pUSTX Q | OGRANI^ENNAQ OBLASTX S GRANICEJ @Q KLASSA C1: mOVET LI RE[ENIE KRAEWOJ ZADA^I:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@u |
|
|
|
|
u ; u = 1 W Q |
u 2 C2(Q) \ C1(Q) |
|
= 0 |
||||||||||||
@n |
@Q |
||||||||||||||
(~n | WNE[NQQ NORMALX K @Q) BYTX STROGO POLOVITELXNYM W Q? |
|||||||||||||||
oTWET OBOSNUJTE. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. (3) |
pUSTX |
Q = |
x = (x1 |
2) 2 |
R2 |
jxj < 1 |
| |
EDINI^NYJ |
|||||||
KRUG, |
Q+ Q \ fx1 > 0g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Q; Q \ fx1 < 0g |
|
|
|
|
||||||||||
I FUNKCIQ u(x) 2 |
H1(Q) PRINADLEVIT KLASSAM C1( |
Q |
+) I |
||||||||||||
C1(Q;): dOKAVITE, ^TO FUNKCIQ u(x) NEPRERYWNA W Q: |
|
|
|||||||||||||
8. (3) pUSTX POLOVITELXNAQ OGRANI^ENNAQ FUNKCIQ UDOWLETWO- |
|||||||||||||||
RQET URAWNENI@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ut = u |
W SLOE |
(0 1) |
|
R3 I |
|
|
|
|
|
|||||
u(t x ) 0 |
W KUBE |
(0 1) (0 1) (0 1) (0 1): |
|
||||||||||||
wERNO LI, ^TO u 0 W SLOE (0 1) R3? oTWET OBOSNUJTE. wSEGO 25 BALLOW
2000 GOD, POTOK MATEMATIKOW, PERESDA^A, LEKTOR a.s.{AMAEW
1. A) (1) sFORMULIRUJTE NERAWENSTWO fRIDRIHSA.
B) (3) sPRAWEDLIWO LI NERAWENSTWO fRIDRIHSA DLQ NEOGRANI-
^ENNOJ OBLASTI = |
|
(x y ) : x > 0 |
0 NA PLOSKOSTI? eSLI |
"DA" | DOKAVITE, "NET" | PRIWEDITE OPROWERGA@]IJ PRIMER.
2. (3) rASSMOTRIM SLEDU@]U@ KRAEWU@ ZADA^U W OBLASTI = |
|
(x y ) : 0 < x2 + y2 < 1 NA PLOSKOSTI: |
|
u(x y ) = 0 |
W |
u(x y ) = '(x y ) PRI |
x2 + y2 = 1 |
GDE '(x y ) | ZADANNAQ NEPRERYWNAQ FUNKCIQ,
lim (x2 + y2) u(x y ) = a
x!0 y!0
127
GDE a | ZADANNOE WE]ESTWENNOE ^ISLO. sU]ESTWUET LI RE[ENIE TAKOJ ZADA^I? eSLI "DA", TO EDINSTWENNO LI ONO? oTWET OBOS- NUJTE.
3. (3) pUSTX u(t x ) | RE[ENIE ZADA^I:
|
|
|
|
|
|
|
utt = uxx |
|
|
|
|
|
|
|
|
W POLOSE |
|
[0 + |
1 |
) |
|
[0 1] NA PLOSKOSTI, x |
2 |
[0 1] |
2 |
[0 + |
1 |
) |
|||
u 2 C2( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
j j |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
u x=0 = '(t) u x=0 = 0 |
u t=0 = ut t=0 = 0 DLQ x |
|
[0 1] |
|
|||||||||||
'(t) < "" |
| ZADANNOE ^ISLO, '(t) | GLADKAQ FUNKCIQ. mOV- |
||||||||||||||
NO LI TAK WYBRATX FUNKCI@ '(t) |
^TOBY RE[ENIE u(t x ) DANNOJ |
||||||||||||||
ZADA^I BYLO BY NEOGRANI^ENNOJ FUNKCIEJ NA ? oTWET OBOS-
NUJTE. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. (3) pUSTX | OGRANI^ENNAQ OBLASTX W Rn |
(x) |FUNKCIQ |
|||||||||||||||||
NA UDOWLETWORQ@]AQ URAWNENI@ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
u ; u = 0 |
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|||||
IZ KLASSA C2( ) \ C( |
|
): dOKAVITE, ^TO ESLI u = 0 NA @ |
|
|||||||||||||||
|
TO |
|||||||||||||||||
u 0 W : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
[0 |
1] NEPRERYWNA. |
||
5. A) (2) dOKAVITE, ^TO WSQKAQ FUNKCIQ IZ H |
|
|||||||||||||||||
B) (3) wSQKAQ LI NEPRERYWNAQ FUNKCIQ u(x) NA OTREZKE [0 |
1] |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
[0 1]? oTWET OBOS- |
|||
TAKAQ, ^TO u(0) = u(1) = 0 PRINADLEVIT H |
||||||||||||||||||
NUJTE. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. (3) nAJDITE FUNDAMENTALXNOE RE[ENIE OPERATORA |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
L |
d2 |
|
|
d |
; 1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
dx2 |
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||
T.E. FUNKCI@ u(x) TAKU@, ^TO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
u00 + 2u0 ; u = 0(x) |
|
W |
R1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
GDE 0(x) | "DELXTA{FUNKCIQ", |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(x) |
|
= '(0) |
|
|
|
'(x) |
|
C1(R1): |
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|||
eDINSTWENNO LI TAKOE RE[ENIE? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
128 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. (3) pUSTX
@ @2 T @t ; @x2
| OPERATOR URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI. dOKAVITE, ^TO FUNK- CIQ
|
(t) |
|
x2 |
|
|
e; 4t |
|||
E(t x ) |
2p |
|
||
t |
||||
GDE (t) = 0 PRI t < 0 I (t) = 1 PRI t > 0 UDOWLETWORQET URAWNENI@
T E(t x ) = 0(t x )
W SMYSLE TEORII OBOB]ENNYH FUNKCIJ. wSEGO 24 BALLA
?? GOD, POTOK MATEMATIKOW, DOSRO^NYJ \KZAMEN, LEKTOR a.s.{AMAEW
1. A) (1) dAJTE OPREDELENIE HARAKTERISTI^ESKOJ POWERHNOSTI DLQ DIFFERENCIALXNOGO OPERATORA WTOROGO PORQDKA.
B) (1) pOSTROJTE MNOVESTWA HARAKTERISTI^ESKIH LINIJ NA PLOS- KOSTI (x t ) DLQ OPERATOROW
Lu utt + 3ux ; 2uxx |
|
L ut ; 3uxx + xux: |
||||||||
2. A) (2) pUSTX u(t x ) | RE[ENIE ZADA^I |
|
|
|
|||||||
|
|
utt = uxx |
t > 0 x > 0 |
|
||||||
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
||
|
u x=0 |
= 0 |
u t=0 |
= '(x) ut |
t=0 |
= 0 |
||||
supp '(x) |
(0 + |
|
) (x) |
C2(0 |
|
): iZWESTNO, ^TO SU]ESTWUET |
||||
T > 0 TAKOE, ^TO PRI t > Tx 2 |
(0 |
1) u(t x ) | BESKONE^NOGLAD- |
||||||||
KAQ FUNKCIQ. wERNO LI, ^TO '(x) | TAKVE BESKONE^NOGLADKAQ |
||||||||||
FUNKCIQ? oTWET OBOSNUJTE. |
|
|
|
|
|
|
||||
B) (2) pUSTX u(t x ) | RE[ENIE ZADA^I |
|
|
|
|||||||
|
|
ut = uxx |
t > 0 x > 0 |
|
||||||
|
|
u x=0 = 0 |
u t=0 = '(x) |
129 |
||||||
FUNKCIQ '(x) | TA VE, ^TO W P. (a) I |
j'j 6 M: iZWESTNO, ^TO |
|||||
SU]ESTWUET T > 0 TAKOE, ^TO PRI t > Tx |
2 (0 1) u(t x ) |
|||||
| BESKONE^NOGLADKAQ FUNKCIQ. wERNO LI, ^TO '(x) | TAKVE |
||||||
BESKONE^NOGLADKAQ FUNKCIQ? oTWET OBOSNUJTE. |
|
|||||
3. (3) pUSTX K = |
(x y ) |
x2 + y2 < 1 |
| EDINI^NYJ KRUG NA |
|||
PLOSKOSTI (x y ) |
(x y ) |j |
RE[ENIE ZADA^I |
|
|||
nAJDITE u(0 0): |
u = x2y |
u @K = 0: |
|
|||
4. (2) dOKAVITE POLNOTU PROSTRANSTWA H1( ): |
|
|||||
|
|
|
1 |
(;1 1) MNOVESTWO A GLAD- |
||
5. (4) rASSMOTRIM W PROSTRANSTWE H |
||||||
KIH FINITNYH FUNKCIJ '(x) |
UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ |
|||||
'0(0) + '(0) = 0
2 R: nAJDITE KORAZMERNOSTX ZAMYKANIQ |
A |
MNOVESTWA A W |
||||||||
1 |
(;1 1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. (4) pUSTX i(x) |
i(x) (i = 1 2 : : : ) | SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ |
|||||||||
I SOBSTWENNYE FUNKCII ZADA^I {TURMA{lIUWILLQ: |
||||||||||
|
Lui = iui |
ui(0) = ui(1) = 0 |
kuikL2(0 1) = 1 |
|||||||
|
|
|
d |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
L |
|
p(x) |
|
; q(x) |
||||
|
|
dx |
dx |
|||||||
p(x) (x) | GLADKIE |
FUNKCII, UDOWLETWORQ@]IE OCENKE |
|||||||||
p(x) (x) > > 0 |
= const > 0: dOKAVITE NERAWENSTWO |
|||||||||
1
sup ui(x) 6 p pj ij:
x2[0 1]
7. (3) pUSTX POSLEDOWATELXNOSTX GARMONI^ESKIH W Rn FUNKCIJ
un(x) SLABO SHODITSQ PRI n ! 1 K FUNKCII u (x) 2 L2loc(Rn)
T.E. 8' 2 D(Rn)
RZ |
un(x)'(x) dx |
;;;! |
RZ |
u (x)'(x) dx: |
|
|
|
||||
|
n |
!1 |
|
||
n |
|
|
n |
|
|
wERNO LI, ^TO u (x) | GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ? oTWET OBOSNUJ- TE.
130