- •Часть I
- •Предел числовой функции
- •Основные теоремы о пределах
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Сравнение асимптотического поведения функций
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Дифференцируемость функции
- •Дифференциал функции
- •Производная сложной функции
- •2) Найдем дифференциал функции по промежуточному аргументу :
- •Производные высших порядков
- •Дифференцирование неявно заданных функций
- •Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •Теоремы о среднем значении
- •Правило Лопиталя
- •Точки локального экстремума функции. Необходимое и достаточные условия существования экстремума функции
- •Необходимое условие существования экстремума функции
- •Достаточные условия существования экстремума
- •Теорема (третий достаточный признак существования экстремума функции).
- •Асимптоты графика функции
- •Доказательство.
- •Общая схема исследования функции
- •Решение.
- •7. Для нахождения участков выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции
- •Литература
Дифференцируемость функции
Определение. Если для функции в точке существует предел
, (1)
то говорят, что при данном значении функция дифференцируема
или (что равносильно этому) имеет производную.
Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка ( или интервала ), то говорят, что она дифференцируема на отрезке ( или на интервале ).
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции в данной точке устанавливает
Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она и непрерывна в этой точке.
Доказательство. Действительно, если функция дифференцируема в точке , то существует предел
,
Следовательно,
,
где ― бесконечно малая функция при .
Умножим последнее равенство на
(2)
Тогда
что и означает ( по определению 3 ) непрерывность функции в точке .
⊠
Утверждение, обратное данной теореме, вообще говоря, неверно, т. е. из непрерывности функции в точке еще не следует ее дифференцируемость в этой точке.
Например, рассмотрим функцию . Очевидно, что эта функция определена и непрерывна на . Но в точке не имеет производной, т.к. не существует — не равны левосторонний и правосторонний пределы:
,
Замечание. Так как равенство (1) равносильно равенству (2), то часто функцию называют дифференцируемой в точке , если ее приращение может быть представлено в виде (2).
Дифференциал функции
Пусть функция дифференцируема в точке , т.е. ее приращение в этой точке представимо в виде
,
где ― бесконечно малая функция при .
Отсюда если , то
.
Следовательно, при приращение функции и выражение являются эквивалентными бесконечно малыми функциями, т. е. при можно приближенно считать, что ∼.
Определение. Величину , являющуюся главным (линейным) членом приращения функции в точке , называют дифференциалом функции и обозначают (или ).
Таким образом, по определению
=.
Найдем дифференциал функции , В этом случае и, следовательно, , т. е. дифференциал и приращение независимой переменной равны между собой. Поэтому дифференциал функции в точке можно представить в виде
=.
Следовательно, производную функции можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной:
или в более краткой записи .
На рисунке, представленном ниже, дана геометрическая интерпретация дифференциала функции . Так как , то дифференциал функции измеряется отрезком , т. е. дифференциал функции в точке изображается приращением ординаты точки касательной, проведенной в к линии .
Дифференциал функции можно использовать для вычисления приближенных значений функции. Действительно, заменяя приращение функции в точке ее дифференциалом, получаем формулу для приближенных вычислений:
.
Пример. Вычислить приближенно .
Решение. Принимая , , , следовательно, , , .
Тогда : .