- •Часть I
- •Предел числовой функции
- •Основные теоремы о пределах
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Сравнение асимптотического поведения функций
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Дифференцируемость функции
- •Дифференциал функции
- •Производная сложной функции
- •2) Найдем дифференциал функции по промежуточному аргументу :
- •Производные высших порядков
- •Дифференцирование неявно заданных функций
- •Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •Теоремы о среднем значении
- •Правило Лопиталя
- •Точки локального экстремума функции. Необходимое и достаточные условия существования экстремума функции
- •Необходимое условие существования экстремума функции
- •Достаточные условия существования экстремума
- •Теорема (третий достаточный признак существования экстремума функции).
- •Асимптоты графика функции
- •Доказательство.
- •Общая схема исследования функции
- •Решение.
- •7. Для нахождения участков выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции
- •Литература
Правило Лопиталя
При раскрытии неопределенностей полезна следующая теорема, впервые доказанная И. Бернулли.
Теорема (правило Лопиталя). Если функции и удовлетворяют следующим условиям:
1) определены и дифференцируемы на интервале , причем и , за исключением, быть может, точки ;
2) (либо );
3) существует предел (конечный или бесконечный) отношения производных
,
то существует также предел отношения функций , причем
.
Доказательство. Приведем доказательство теоремы только для случая раскрытия неопределенностей вида . Доопределим функции и в точке , положив . Доопределенные таким образом функции будут непрерывны в точке .
Рассмотрим отрезок |, где . На этом отрезке функции и непрерывны и дифференцируемы. Следовательно, по теореме Коши существует точка () такая, что
.
Если , то и , поэтому, согласно условию 3 теоремы, из последнего равенства следует, что
.
⊠
Смысл правила Лопиталя заключается в том, что оно позволяет свести вычисление предела отношения функции в случае неопределенности вида или к пределу отношения производных, который очень часто вычисляется проще.
Правило Лопиталя справедливо и в случае .
Правило Лопиталя можно применять до тех пор, пока не будет получена дробь, для которой условия, предусмотренные теоремой, уже не выполняются.
Пример. Вычислить .
Решение. Непосредственная подстановка предельного значения приводит к неопределенности вида . Для ее раскрытия применим правило Лопиталя:
.
Правило Лопиталя здесь применено дважды.
Замечание. Неправомерное применение правила Лопиталя, то есть если не выполняются условия теоремы может привести к неверному результату.
Исследование функций с помощью производных.
Возрастание и убывание функции
С помощью производной функции можно произвести полное ее исследование (найти промежутки возрастания и убывания, экстремумы, точки перегиба, промежутки выпуклости и вогнутости, асимптоты графика) и построить график этой функции.
Теорема. Для того чтобы дифференцируемая на функция не убывала (не возрастала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы 0 (0) для всех . Если же для любого >0 (<0), то функция возрастает (убывает) на этом интервале.
Другими словами:
1) не убывает на 0;
2 не возрастает на 0;
Доказательство.
Рассмотрим случай неубывающей функции.
Необходимость: Пусть не убывает на .
Тогда при >0
0 >0 0
.
Достаточность. Пусть 0 . Тогда по формуле Лангранжа имеем . Так как 0 (<<<<), то : 0, т. е. не убывает на .
⊠
Теорема. Если же для любого >0 (<0), то функция возрастает (убывает) на этом интервале.
Другими словами:
2) >0 возрастает на ;
4) <0 убывает на .
Доказательство. Докажем теорему для случая возрастающей функции. Пусть >0 на . Тогда для )>0 и поэтому в формуле Лагранжа, верной для ,
.
при < >0, т. e. возрастает на .
⊠
Замечание. Подчеркнем, что условия теоремы для возрастающей и убывающей функций достаточны, но не необходимы.
Например, функция возрастает на ] — 1; 1[, однако производная в точке обращается в нуль.
Геометрический смысл теоремы состоит в следующем: касательная к графику возрастающей на функции ( > 0) составляет острый угол с положительным направлением оси ; касательная к графику убывающей на функции (<0) образует тупой угол с осью . Если функция на является постоянной: = C, С = const, то = 0 и касательная к графику функции параллельна оси .
Пример. Найти интервалы возрастания и убывания функции .
Решение. Функция определена, непрерывна и дифференцируема на . Для отыскания интервалов монотонности функции найдем :
.
возрастает на некотором множестве, если > 0. Решим неравенство > 0. Оно выполняется при . Следовательно, возрастает на ]2; +[. убывает на множестве, где <0. Неравенство < 0 выполняется при .
Итак, функция убывает на интервале ]–; 2[, возрастает на ]2; +[.