- •Часть I
- •Предел числовой функции
- •Основные теоремы о пределах
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Сравнение асимптотического поведения функций
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Дифференцируемость функции
- •Дифференциал функции
- •Производная сложной функции
- •2) Найдем дифференциал функции по промежуточному аргументу :
- •Производные высших порядков
- •Дифференцирование неявно заданных функций
- •Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •Теоремы о среднем значении
- •Правило Лопиталя
- •Точки локального экстремума функции. Необходимое и достаточные условия существования экстремума функции
- •Необходимое условие существования экстремума функции
- •Достаточные условия существования экстремума
- •Теорема (третий достаточный признак существования экстремума функции).
- •Асимптоты графика функции
- •Доказательство.
- •Общая схема исследования функции
- •Решение.
- •7. Для нахождения участков выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции
- •Литература
Доказательство.
Необходимость. Предположим, что — наклонная асимптота графика функции . Тогда справедливо представление
, где при +.
Следовательно, .
Достаточность. Пусть существуют данные пределы, тогда второе равенство означает, что при представимо в виде:
, где при +,
то есть прямая является наклонной асимптотой графика функции .
Итак, теорема доказана для случая +. Доказательство теоремы для случая – производится аналогично.
⊠
Замечание. При нахождении наклонных асимптот графика функции возможны следующие случаи: 1) оба предела существуют и не зависят от знака бесконечности, тогда прямая называется двусторонней асимптотой; 2) оба предела существуют, но при + и – они различны, тогда имеем две односторонние наклонные асимптоты; 3) если хотя бы один из пределов не существует, то наклонных асимптот нет.
Пример. Найти асимптоты линии .
Решение. Данная функция определена и непрерывна на , за исключением точки .
-, +.
Следовательно, является вертикальной асимптотой.
Для нахождения невертикальных асимптот вычисляем пределы
,
.
Получаем, что график функции имеет горизонтальную асимптоту
Пример. Найти асимптоты графика функции .
Решение. Данная функция определена и непрерывна на , следовательно, вертикальных асимптот нет. Для определения наклонных асимптот находим пределы:
и .
,
.
Следовательно, у графика данной функции две односторонние горизонтальные асимптоты при – и при –.
Пример. Найти асимптоты кривой .
Решение. Данная функция определена и непрерывна на , следовательно, вертикальных асимптот нет. Для определения наклонных асимптот находим пределы:
и .
+.
Предел бесконечен, следовательно, кривая асимптот не имеет.
Общая схема исследования функции
Исследование дважды дифференцируемой функции на (за исключением, быть может, конечного множества точек) и построение ее графика можно выполнять по приводимой ниже схеме.
1. Установить область определения функции.
2. Если она симметрична относительно начала координат, проверить функцию на четность и нечетность.
3. Проверить функцию на периодичность.
4. Исследовать непрерывность функции. Определить поведение функции в окрестностях точек разрыва первого рода и граничных точек области определения. Для этого вычислить односторонние пределы функции при стремлении аргумента функции к указанным точкам.
5. Найди, если они существуют, асимптоты графика функций.
6. Определить интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума и экстремальные значения функции.
7. Найди интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки перегиба.
8. Определить, если это возможно, координаты точек пересечения графика функции с осями координат, а также нескольких дополнительных точек, принадлежащих графику.
Пример. Исследовать функцию и построить ее график.