Елементи кінематики

§1. Система відліку. Траєкторія, шлях, переміщення

Кінематикою називають розділ механіки, в якому рух тіл розглядається без з'ясування причин цього руху.

Система координат, пов'язана з тілом відліку, і годинник для відліку часу утворює систему відліку, що дозволяє визначати положення рухомого тіла у будь-який момент часу.

Всяке тіло має певні розміри. Різні частини тіла знаходяться в різних місцях простору. Але в багатьох завданнях механіки немає необхідності вказувати положення окремих частин тіла. Якщо розміри тіла малі в порівнянні з відстанями до інших тіл, то це тіло можна вважати матеріальною точкою.

Тіло, розмірами якого за даних умов можна знехтувати, називається матеріальною точкою.

Слова за даних умов означають, що одне і те ж тіло в одних умовах можна вважати матеріальною точкою, а при інших - не можна.

Наприклад, вивчаючи рух Землі навколо Сонця, Землю можна вважати матеріальною точкою, оскільки відстань між Землею і Сонцем приблизно в 25000 разів більша за радіус Землі. Але тіло спортсмена, що робить сальто в повітрі, не можна замінити матеріальною точкою, тому що в цьому випадку розміри тіла лише у декілька разів менші відстані, яку долає спортсмен.

Якщо усі частини тіла рухаються однаково, то такий рух називається поступальним. Поступально рухаються, наприклад, кабіни в атракціоні "Гігантське колесо", автомобіль на прямолінійній ділянці шляху і так далі.

Переміщаючись протягом часу з однієї точки в іншу, матеріальна точка описує деяку лінію, яку називають траєкторією руху тіла.

Положення матеріальної точки в просторі у будь-який момент часу (закон руху) можна визначати або за допомогою залежності координат від часу:

x=x(t), у=y(t), z=z(t) - координатний спосіб

або за допомогою залежності від часу радіус-вектора), проведеного з початку координат до цієї точки: (рис.1.1).

- векторний спосіб.

S

Рисунок 1.1.

Оскільки декартові координати точки x, y,іzчисельно збігаються з проекціями вектора на осі координат, то має місце розкладання:

,

де ,,– одиничні вектори (орти) вздовж додатних напрямків осейOX, OY, OZ відповідно. Довжина кожного з ортів дорівнює

.

Переміщенням тіла називають направлений відрізок, що сполучає початкове положення тіла з його наступним положенням. Переміщення є векторна величина.

Пройдений шлях S дорівнює довжині траєкторії, пройденої тілом за деякий час t. Шлях - скалярна величина.

Якщо рух тіла розглядати впродовж досить короткого проміжку часу, то вектор переміщення виявиться спрямованим по дотичній до траєкторії в цій точці, а його довжина дорівнюватиме пройденому шляху.

У разі досить малого проміжку часу Δt пройдений тілом шлях ΔS майже співпадає з модулем вектору переміщення . При русі тіла по криволінійній траєкторії модуль вектору переміщення завжди менший за пройдений шлях (рис.1.2).

Рисунок 1.2.

§2. Швидкість і прискорення руху

Яка б не була траєкторія руху (прямолінійна або криволінійна), якщо за рівні проміжки часу матеріальна точка проходить рівні ділянки шляху, то такий рух називається рівномірним. Якщо шляхи, пройдені за рівні проміжки часу, не однакові, то рух називають нерівномірним.

Для характеристики руху вводиться поняття вектора середньої швидкості руху.

. (1.1)

У механіці швидкість визначають як вектор, що вказує і швидкість, і напрям руху. У зв'язку з цим, поняття швидкості в механіці пов'язане з уявленням про елементарне переміщення, оскільки кінцеве (неелементарне) переміщення при криволінійному русі не дозволяє визначити напрям руху.

У фізиці найбільший інтерес представляє не середня, а миттєва швидкість, яка визначається як межа, до якої прагне середня швидкість за нескінченно малий проміжок часу Δt :

.

У математиці таку межу називають похідною і позначають:

(1.2)

За одиницю швидкості приймають 1 м/с.

Миттєва швидкість тіла в будь-якій точці криволінійної траєкторії спрямована по дотичній до траєкторії в цій точці. Відмінність між середньою і миттєвою швидкостями показано на рисунку 1.3.

Рисунок 1.3.

Чисельне значення вектора швидкості дорівнює відношенню елемента довжини шляху ds до проміжку часу dt:

(1.3)

Чисельне значення вектора швидкості дорівнює похідній першого порядку від шляху за часом. Якщо відома довжина шляху як функція часу S=f(t), тоді v=f ′(t).

Коли точка здійснює елементарне переміщення , її координати змінюються на; ці величини є проекціями елементарного переміщенняна осі координат. Проекція швидкості на вісь координат (компонент швидкості) є швидкістю переміщення у напрямі цієї осі. Таким чином:

тоді