ВМ1
.pdf61
8. z = cos( x + 4y2 ) |
; |
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
∂2 z |
|
|
= |
∂z |
|
|
|
|
∂2 z |
. |
|||||||||
|
|
∂x |
|
|
|
∂x ∂y |
∂y |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x 2 |
||||||||||||||||
9. u = (cos 5x + sin 5x ) e |
−5 y |
; |
|
|
∂2u |
− |
5 |
∂u |
= 0 . |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂x 2 |
∂y |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
10. z = sin( x +5y2 ) |
; |
|
|
|
∂z |
|
|
|
∂2 z |
|
|
|
= |
|
∂z |
|
|
|
∂2 z |
. |
|||||||||
|
|
|
∂x |
|
|
∂x ∂y |
|
|
∂y |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x 2 |
||||||||||||||
11. u = (cos 6x + sin 6x ) e |
−6 y |
; |
|
|
|
|
∂2u |
|
− 6 |
|
∂u |
|
= 0 . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂x 2 |
|
∂y |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.z =
13.u =
cos( x + 6y2 ) ; |
|
∂z |
|
|
∂2 z |
= |
∂z |
|
∂2 z |
. |
|||
|
∂x |
∂x ∂y |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
∂y |
∂x 2 |
||||||
(cos 7x + sin 7x ) e |
−7 y |
; |
|
∂2u |
− 7 |
∂u |
= 0 . |
|
|||||
|
|
∂x 2 |
∂y |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. z = sin( x + 7y2 ) |
; |
|
|
∂z |
|
|
|
∂2 z |
|
= |
|
|
∂z |
|
|
∂2 z |
. |
||||||||
|
|
|
|
∂x ∂y |
|
|
∂y |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
∂x 2 |
||||||||||||||||
15. u = (cos 8x + sin 8x ) e |
−8y |
|
; |
|
|
|
∂2u |
−8 |
|
∂u |
= 0 . |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂x 2 |
|
∂y |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
16. z = cos( x +8y2 ) |
; |
|
|
|
∂z |
|
|
|
∂2 z |
= |
|
|
∂z |
|
|
|
∂2 z |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
∂x ∂y |
|
|
∂y |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x 2 |
||||||||||||
17. u = (cos 9x + sin 9x ) e |
−9 y |
; |
|
|
∂2u |
|
− 9 |
∂u |
= 0 . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂x 2 |
∂y |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18.z =
19.u =
20.z =
sin( x + 9y2 ) |
; |
|
∂z |
|
∂2 z |
= |
|
∂z |
|
∂2 z |
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|||||||||||
|
|
|
∂x |
∂x ∂y |
|
|
|
∂x 2 |
||||||||||||
(cos10x + sin10x ) e |
−10 y |
; |
|
∂2u |
−10 |
∂u |
= 0 . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
∂x 2 |
∂y |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
cos( x +10y2 ) |
; |
|
|
∂z |
|
|
∂2 z |
|
|
= |
∂z |
|
|
∂2 z |
. |
|||||
|
|
|
|
∂x ∂y |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂y |
∂x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
21. u = (cos11x + sin11x ) e |
−11y |
|
; |
|
|
|
∂2u |
|
−11 |
∂u |
= 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x 2 |
|
∂y |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
22. z = sin( x +11y2 ) |
; |
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
∂2 z |
= |
∂z |
|
|
|
|
∂2 z |
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x ∂y |
∂y |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x 2 |
|||||||||||||||||||||||||
23. u = (cos12x + sin12x ) e |
−12 y |
|
|
|
; |
|
|
∂2u |
−12 |
|
∂u |
= 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
2 |
|
|
|
∂y |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
24. z = cos( x +12y2 ) |
; |
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
∂2 z |
|
|
|
|
|
= |
|
|
∂z |
|
|
|
∂2 z |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂x ∂y |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x 2 |
||||||||||||||||||||
25. u = (cos13x + sin13x ) e |
−13 y |
|
|
|
; |
|
|
|
∂2u |
|
|
−13 |
∂u |
= 0 . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
2 |
|
|
|
∂y |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
26. z = sin( x +13y2 ) |
; |
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
∂2 z |
|
|
|
= |
|
∂z |
|
|
∂2 z |
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
∂x |
∂x ∂y |
|
|
|
|
∂y |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x 2 |
|||||||||||||||||||||
27. u = (cos14x + sin14x ) e |
−14 y |
|
|
|
; |
|
|
∂2u |
|
|
− |
14 |
|
|
∂u |
= 0 . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x 2 |
|
|
|
|
∂y |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28.z =
29.u =
30.z =
sin( x +14y2 ) |
; |
|
∂z |
|
|
|
∂2 z |
|
= |
∂z |
|
|
∂2 z |
. |
||||||
|
∂x |
∂x∂y |
|
∂y |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x 2 |
||||||||||||
(cos15x + sin15x ) e |
−15 y |
; |
|
∂2u |
|
−15 |
∂u |
= 0 . |
||||||||||||
|
|
|
|
∂x 2 |
∂y |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
cos( x +15y2 ) |
; |
|
|
∂z |
|
|
|
∂2 z |
|
= |
|
∂z |
|
|
∂2 z |
. |
||||
|
|
∂x |
|
|
∂x ∂y |
|
∂y |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x 2 |
4.2.8Знайти екстремуми функції :
1.z = −x2 − 2 y 2 + 2x + 4 y −2
2.z = x2 − xy + y 2 − x − y + 2
3.z = −x2 − 2 y 2 + 4x +8y −10
4.z = 2x2 −2xy + 2 y 2 −4x − 4 y +10
63
5.z = −x2 −2 y 2 + 6x +12 y −24
6.z = 3x2 −3xy +3y 2 −9x −9 y +30
7.z = −x2 − 2 y 2 +8x +16 y − 44
8.z = 4x2 − 4xy + 4 y 2 −16x −16 y +68
9.z = −x2 − 2 y 2 +10x + 20 y −70
10.z = 5x2 −5xy +5y 2 − 25x −25y +130
11.z = −x2 −2 y 2 +12x + 24 y −102
12.z = 6x2 −6xy + 6 y 2 −36x −36 y + 222
13.z = −x2 −2 y 2 +14x + 28y −140
14.z = 7x2 −7xy +7 y 2 − 49x −49 y +350
15.z = −x2 −2 y 2 +16x +32 y −184
16.z = 8x2 −8xy +8y 2 −64x −64 y +520
17.z = −x2 −2 y 2 +18x +36 y − 234
18.z = 9x2 −9xy +9 y 2 −81x −81y +738
19.z = −x2 −2 y 2 + 20x + 40 y −290
20.z =10x2 −10xy +10 y 2 −100x −100 y +1010
21.z = −x 2 − 2 y 2 + 22x + 44 y −352
22.z =11x2 −11xy +11y 2 −121x −121y +1342
23.z = −x2 −2 y 2 + 24x + 48y −420
24.z =12x2 −12xy +12 y 2 −144x −144 y +1740
25.z = −x2 −2 y 2 + 26x +52 y − 494
26.z =13x2 −13xy +13y 2 −169x −169 y + 2210
27.z = −x2 −2 y 2 + 28x +56 y −574
28.z =14x2 −14xy +14 y 2 −196x −196 y + 2758
29.z = −x2 −2 y 2 +30x +60 y −660
30.z =15x2 −15xy +15y 2 −225x − 225y +3390
64
4.2.9Знайти найбільше та найменше значення функції
вобласті D.
1. z = x 2 + y 2 −2x −2 y +1 ; D : x = 0 ; y = 0 ; x + y =1.
2. z = x 2 + y 2 − 2x − 2 y −1; D : y = 12 x ; y = −x ; y =1.
3. z = x 2 + 2 y 2 − 2x − 4 y + m ; D : x = 0 ; y = 0 ; 3x + y = 4 .
4. z = 2x 2 + y 2 − 4x − 2 y − 2 ; D : y = 12 x ; y = −x ; y = 2 . 5. z = x 2 +3y 2 −2x −6 y +3 ; D : x = 0 ; y = 0 ; 5x + y = 6 .
6. z = 3x 2 + y 2 − 6x − 2 y − 3 ; D : y = 12 x ; y = −x ; y = 3 . 7. z = x 2 +4 y 2 −2x −8y +4 ; D : x = 0 ; y = 0 ; 7x + y =8 .
8. z = 4x 2 + y 2 −8x − 2 y − 4 ; D : y = 12 x ; y = −x ; y = 4 .
9.z = x 2 +5y 2 −2x −10 y +5 ; D : x = 0 ; y = 0 ; 9x + y =10 .
10.z = 5x 2 + y 2 −10x − 2 y − 5 ; D : y = 12 x ; y = −x ; y = 5 .
11.z = x 2 +6 y 2 −2x −12 y +6 ; D : x = 0 ; y = 0 ; 11x + y =12 .
12.z = 6x 2 + y 2 −12x − 2 y − 6 ; D : y = 12 x ; y = −x ; y = 6 .
13.z = x 2 +7 y 2 −2x −14 y +7 ; D : x = 0 ; y = 0 ; 13x + y =14 .
14.z = 7x 2 + y 2 −14x − 2 y − 7 ; D : y = 12 x ; y = −x ; y = 7 .
15.z = x 2 +8y 2 −2x −16 y +8 ; D : x = 0 ; y = 0 ; 15x + y =16 .
16.z =8x 2 + y 2 −16x −2 y −8 ; D : y = 12 x ; y = −x ; y =8 .
17.z = x 2 +9 y 2 −2x −18y +9 ; D : x = 0 ; y = 0 ; 17x + y =18 .
18.z = 9x 2 + y 2 −18x − 2 y − 9 ; D : y = 12 x ; y = −x ; y = 9 .
19.z = x 2 +10 y 2 −2x −20 y +10 ; D : x = 0 ; y = 0 ; 19x + y = 20 .
20.z =10x 2 + y 2 −20x −2 y −10 ; D : y = 12 x ; y = −x ; y =10 .
21.z = x 2 +11y 2 −2x −22 y +11 ; D : x = 0 ; y = 0 ; 21x + y = 22 .
22.z =11x 2 + y 2 −22x −2 y −11 ; D : y = 12 x ; y = −x ; y =11.
23.z = x 2 +12 y 2 −2x −24 y +12 ; D : x = 0 ; y = 0 ; 23x + y = 24 .
65
24.z =12x 2 + y 2 −24x −2 y −12 ; D : y = 12 x ; y = −x ; y =12 .
25.z = x 2 +13y 2 −2x −26 y +13 ; D : x = 0 ; y = 0 ; 25x + y = 26 .
26.z =13x 2 + y 2 −26x −2 y −13 ; D : y = 12 x ; y = −x ; y =13 .
27.z = x 2 +14 y 2 −2x −28y +14 ; D : x = 0 ; y = 0 ; 27x + y = 28 .
28.z =14x 2 + y 2 −28x −2 y −14 ; D : y = 12 x ; y = −x ; y =14 .
29.z = x 2 +15y 2 −2x −30 y +15 ; D : x = 0 ; y = 0 ; 29x + y = 30 .
30.z =15x 2 + y 2 −30x −2 y −15 ; D : y = 12 x ; y = −x ; y =15 .
66
ЛІТЕРАТУРА
1.Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика.- Київ : Вища шк., 1993.-
648с.
2.Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика .- Київ: Либідь,1996.- 440
с.
3.Шкіль М.І., Колесник Т.В., Котлова В.М. Вища математика.- Кн. 1.
– Київ : Либідь , 1994 .-274 с.
4.Шкіль М.І., Колесник Т.В., Котлова В.М. Вища математика.- Кн. 2.
– Київ : Либідь , 1994 .-352 с.
5.Данко П.Е., Попов А.Г. ,Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1. - М.: Высш. шк.,1980.-320 с.
6.Данко П.Е., Попов А.Г. ,Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. - М.: Высш. шк.,1980.-320 с.