![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
ВМ1
.pdf![](/html/2706/1004/html_EHGc8zfQpE.bWOh/htmlconvd-QwWHkb41x1.jpg)
24.y =33 (x +1)2 + x
25.x 2
|
y = |
3 |
|
|
2x −1 |
26. |
y = (5 − x)2−x |
|
27. |
y = |
4 |
|
x 2 +16 |
|
|
|
28.y = x + x84
29.y = x3 −3x 2 −1
30.1 − x 2
=1 + x 2y
41
[ -7; 0] [ 3/4; 2]
[ 5; 6] [ 2 5 ; 8]
[ 1; 3]
[ -1; 4] [ -1; 3]
3.2.11 Дослідити функцію на перегин. Знайти інтервали опуклості та угнутості графіка заданої функції.
1 y = arctgx |
|
|
2. |
y = (x +1)e2 x |
|||||||||||
3. |
y = e 1x |
|
|
4. |
y = |
|
|
4x |
|
||||||
|
|
x2 + 3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. |
y = x2 ln x |
6. |
y = |
|
|
x |
|
||||||||
x2 +1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7. |
y = ln(1 + x3 ) |
8. |
y = |
|
|
x |
|
||||||||
(x − 2)2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9. |
y = x3 (ln x + 2) |
10. |
y = (x −1)e3x+1 |
||||||||||||
11. |
y = x arctgx |
12. |
y = |
2x +1 |
|||||||||||
x2 |
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
||||||
13. |
y = |
ln |
|
14. |
y = (x + 4)e2 x |
||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
15. |
y =1+3 |
x |
16. |
y = |
|
x3 |
|||||||||
|
2 (x + 2)2 |
![](/html/2706/1004/html_EHGc8zfQpE.bWOh/htmlconvd-QwWHkb42x1.jpg)
17. y = 2x+2 x
19. y = x2 x− 4
21.y = (2x −)1
x−1 2
= 4x −12 23. y ( ) x − 2 2
25. y = x2 e−x
27. y = (x −1)3
(x +1)2
29. y = 2 x x2 − 4
|
42 |
|
|
18 |
y = |
2x2 |
|
4x2 −1 |
|||
|
|
20. y = (x + 4)e2 x
22. |
y = |
x |
||||
(x +1)2 |
||||||
24. |
y = |
x |
|
|||
x2 −1 |
||||||
|
|
|||||
26. |
y = |
x |
||||
(x −1)2 |
|
|||||
28. |
y = |
x +1 |
|
|
||
x2 |
||||||
|
|
|||||
30. |
y = |
2x |
|
|||
1+ x2 |
||||||
|
|
3.2.12 Знайти асимптоти заданих ліній.
1. |
y = |
x 4 |
2. |
y = |
x2 |
+ 5 |
|
|
|
|
||||||||||
x3 −3 |
2x |
+ 3 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. |
y = |
|
1 − x 2 |
|
4. |
y = |
|
|
|
x |
|
+ x |
||||||||
2 |
− x 2 |
2x −1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5. |
y = |
5 − x2 |
6. |
y = |
x2 |
+ 9 |
|
|
|
|
||||||||||
3 |
− x2 |
5x −1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7. |
y = |
2 |
− x2 |
|
8. |
y = |
|
2x2 −1 |
|
|||||||||||
5 |
− x2 |
|
3x |
2 − 4 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
9. |
y = |
2x2 −7 |
10. |
y = |
|
|
x3 |
|
|
|
||||||||||
|
3x −2 |
|
x |
2 −1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
11. |
y = |
|
x2 +2 |
12. |
y = |
|
x3 |
|
|
|
||||||||||
|
x −3 |
|
2(x +2)2 |
43
13. |
y = |
2x2 |
|
4x2 −5 |
|||
|
|
15. |
y = |
|
(x −1)3 |
||||||||
(x +1)2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
17. |
y = |
|
2 − 4x2 |
|
|||||||
|
1 − 4x2 |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||
19. |
y = |
|
5x − x2 |
|
|||||||
|
x2 + 6x + 9 |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||
21. |
y = |
|
2x2 −3 |
||||||||
− x2 + 4x − 4 |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||
23 |
y = |
|
|
2x + x2 |
|
||||||
|
x2 − 2x +1 |
||||||||||
|
|
|
|||||||||
25. |
y = |
|
4x2 |
||||||||
− x2 + 4x −3 |
|
||||||||||
27. |
y = |
|
8 + x2 |
|
|||||||
2x2 −3x +1 |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||
29. |
y = |
|
6x2 −1 |
|
|||||||
x2 −3x + 2 |
|||||||||||
|
|
|
14. |
y = |
4x −16 |
|||||
(x − 2)2 |
|
|
|||||
16. |
y = |
|
x −1 |
|
|||
x |
2 −2x |
||||||
|
|
||||||
18. |
y = |
4x − x2 |
|
||||
5x −2 |
|||||||
|
|
||||||
20. |
y = |
|
3 − x |
|
|||
x |
2 +2x |
||||||
|
|
||||||
22. |
y = |
|
7 − 2x2 |
||||
x |
2 + 2x −15 |
||||||
|
|
||||||
24. |
y = |
2x2 |
|
||||
2 |
−5x |
||||||
|
|
||||||
26. |
y = |
x −1 |
|
||||
9 − x2 |
|||||||
|
|
||||||
28. |
y = |
(x +1)2 |
|
||||
16 − x2 |
|||||||
|
|
||||||
30. |
y = |
|
x2 − 6 |
|
|||
x |
2 + 5x + 6 |
||||||
|
|
3.2.13 Дослідити функцію та побудувати її графік.
1. |
а) |
y = |
|
|
x |
б) |
y = (x −1)e3x+1 |
||||||
2. |
а) |
1 + x 2 |
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x |
|
|
x |
|||||||
|
|
y = |
|
|
|
|
y = |
|
e |
|
|||
|
|
x 2 |
− 4 |
|
|||||||||
3. |
а) |
б) |
e x −1 |
||||||||||
y = |
x |
2 |
+ 4 |
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
y = e |
x+1 |
|
||||||
|
|
|
|
x |
|
||||||||
4. |
а) |
|
|
|
б) |
y = ln(x 2 + 4x) |
|||||||
y = |
2x −1 |
||||||||||||
|
|
(x −1)2 |
|
|
|
|
|
|
![](/html/2706/1004/html_EHGc8zfQpE.bWOh/htmlconvd-QwWHkb44x1.jpg)
5.а)
6.а)
7.а)
8.а)
9.а)
10.а)
11.а)
12.а)
13.а)
14.а)
15.а)
16.а)
17.а)
18.а)
19.а)
y = |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
2 − 4 |
|||||||||||
|
|
||||||||||||
|
x + 2 2 |
||||||||||||
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x −1 |
|||||||||||
y = |
|
|
|
x 2 |
|
||||||||
|
x |
2 −1 |
|||||||||||
|
|
||||||||||||
y = |
x +1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
x 2 |
||||||||||
y = |
|
|
|
x |
|
||||||||
|
(x −1)2 |
||||||||||||
|
|
||||||||||||
y = |
|
x 2 +1 |
|
||||||||||
|
|
|
x |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
y = x + |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
x 2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
y = |
|
|
|
x −1 |
|
||||||||
|
x |
2 − 2x |
|||||||||||
|
|
||||||||||||
y = |
|
2 − x 2 |
|
||||||||||
1 |
|
− 4x 2 |
|||||||||||
|
|
||||||||||||
y = |
|
|
|
2x 2 |
|
||||||||
|
4x 2 −1 |
||||||||||||
|
|
||||||||||||
y = |
2x +1 |
|
|
||||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x 2 |
|||||||||
y = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
2 −9 |
|||||||||||
|
|
||||||||||||
y = |
|
x3 −1 |
|||||||||||
|
4x 2 |
|
|||||||||||
|
|
y = x 2 x+ 9 y = xx+2 2
44
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
− 1
y = e x−2
y = ln(x 2 + 3x)
y = (x + 4)e2 x
1
y = x 2 e x
1
y = e x−3
1
y = e x+4 y = e−x2 y = e x / x
y = x 2 e−x
1
y = e x
y = x ln x
y =ln(1+ x3 )
y = e2 x−x2
y = ln(x 2 + 2x)
1
y = e 3−x
![](/html/2706/1004/html_EHGc8zfQpE.bWOh/htmlconvd-QwWHkb45x1.jpg)
20.а)
21.а)
22.а)
23.а)
24.а)
25.а)
26.а)
27.а)
28.а)
29.а)
x +1 |
2 |
||
y = |
|
|
|
|
|||
x −1 |
|
y= (x −3)2
4(x −1)
y = |
|
x 2 |
+1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 −1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
y = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− x 2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
y = |
|
4x −12 |
|
||||||||
|
(x − 2)2 |
||||||||||
|
|
||||||||||
y = x + |
16 |
|
|
|
|
||||||
x 2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y = |
|
|
|
x |
|
|
+ x |
||||
|
2x −1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
y = |
x + 3 |
|
|
|
|
|
|
||||
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y = |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
+1)2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
y = x − 3 |
x 2 |
||||||||||
y = |
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|||
|
2(x +1)2 |
||||||||||
|
|
45
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
y = ln(4 − x 2 )
1
y = e x−2
1
y = e x+2
y = ln(x 2 − 4x +8) y = x 2 − 2 ln x
y = e x 4−1
y = (x +1)e2 x
y = e x 2−1 y = − e x 3−1
y = (x − 2)e2 x+1 y = ln(x 2 − 2x)
3.2.14 Знайти рівняння нормалі в точці перетину графіка функції з віссю ОУ та рівняння дотичної в точці перетину графіка функції з віссю ОХ.
1. |
y = |
x +1 |
|
|
3. |
x −1 |
|||
|
||||
y = |
6x |
|||
|
x + 2 |
|||
|
|
2. |
y = |
2x −1 |
||
4. |
3 − x |
|||
|
||||
y = |
x + 2 |
|
||
|
x −1 |
|||
|
|
![](/html/2706/1004/html_EHGc8zfQpE.bWOh/htmlconvd-QwWHkb46x1.jpg)
5. |
y = |
2 − x |
|
|||
7. |
x + 2 |
|||||
|
||||||
y = |
3x + 5 |
|||||
9. |
x + 2 |
|||||
|
||||||
y = |
x + 5 |
|||||
11. |
2x −3 |
|||||
|
||||||
y = |
x + 4 |
|
|
|||
13. |
5 + x |
|||||
|
||||||
y = |
x + 6 |
|
|
|||
15. |
x − 7 |
|||||
|
||||||
y = |
2x −3 |
|||||
17. |
4x + 5 |
|||||
|
||||||
y = |
x −1 |
|
||||
19. |
3x −1 |
|||||
|
||||||
y = |
x − 7 |
|
|
|||
21. |
x + 5 |
|||||
|
||||||
y = |
x + 2 |
|
|
|||
23. |
3 − x |
|||||
|
||||||
y = |
4x |
|
||||
25. |
1 − 2x |
|||||
|
||||||
y = |
x + 4 |
|
||||
27. |
5 − x |
|||||
|
||||||
y = |
2x − 7 |
|||||
29. |
x + 3 |
|||||
|
||||||
y = |
x + 2 |
|
||||
|
x −1 |
|||||
|
|
46
6. |
y = |
2x + 3 |
|
8. |
1 − 4x |
||
|
|||
y = |
x − 2 |
||
|
10 − x |
||
|
|
10.y = 5 −x x
12. |
y = |
1 − 4x |
||
14. |
2x + 2 |
|||
|
||||
y = |
x −1 |
|||
16. |
5x + 3 |
|||
|
||||
y = |
6 − x |
|
||
18. |
2 + x |
|||
|
||||
y = |
5x + 6 |
|||
20. |
1 − x |
|||
|
||||
y = |
3x −1 |
|||
|
5x − 7 |
|||
|
|
22.y = 8x −+1x
24. |
y = |
2x + 5 |
|
x −3 |
|
|
|
26.y = 11 +− xx
28. |
y = |
x −5 |
|
|
30. |
x − 4 |
|||
|
||||
y = |
1/ 3 + x |
|||
|
x −1/ 3 |
|||
|
|
![](/html/2706/1004/html_EHGc8zfQpE.bWOh/htmlconvd-QwWHkb47x1.jpg)
47
4.ФУНКЦІЇ КІЛЬКОХ ЗМІННИХ
4.1Аудиторні завдання
1.Знайти область визначення функції :
1) |
z = 4 −2x 2 + y2 |
, 2) |
z = |
1 |
|
|
ln( x − y ) |
||||||
|
|
|
|
|||
3) |
z = x + y |
4) |
z = x + x 2 − y2 . |
2.Задано периметр 2p трикутника . Визначити площу S , як функцію двох його сторін x та y.
3.F(x, y ) = 22xy −+ xy . Обчислити F(2 ,1), F(1,2 ), F(tx ,ty ) .
4. |
z = x 2 − xy + y2 ; |
визначити |
∆x z, ∆y z, ∆z . |
Обчислити |
||||||||||||||
∆x z, ∆y z, ∆z , якщо x змінюється від 2 до 2,1, а y від 2 до 1,9. |
||||||||||||||||||
( ∆x z = 0,21, ∆y z = −0,19 , ∆z = 0,03 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. |
Побудувати |
лінії |
сталого рівня |
|
(при |
|
z=0,1,2) функції |
|||||||||||
z = x 2 + y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6.Знайти поверхні сталого рівня функції u = ex 2 +y2 −z . |
||||||||||||||||||
7.Знайти частинні похідні функцій : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) |
z = x 4 + 4x 3 y −2y5 |
, 2) z = ln( x 2 +3y3 ) , |
|
|
||||||||||||||
3) |
z = arctg |
x |
|
, |
4) z = |
x |
|
+ |
y |
, |
|
|
|
|
|
|||
y |
y |
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5) |
z = ye −2xy |
, |
6) z = arcsin |
|
x |
|
, |
|
|
|
||||||||
|
y |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7) u = x +2y +3z , |
7) v = xy + xz + yz . |
|
|
|||||||||||||||
8. |
z = ln(2 x +2 y ) . Довести, що x |
∂z |
|
+ y |
|
∂z |
= |
1 |
. |
|||||||||
∂x |
|
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
![](/html/2706/1004/html_EHGc8zfQpE.bWOh/htmlconvd-QwWHkb48x1.jpg)
|
|
48 |
|
|
|
|
|
9. T = π |
l |
; довести, що l |
∂T |
+ g |
∂T |
= 0 . |
|
g |
∂l |
∂g |
|||||
|
|
|
|
10. Знайти для функції z = 5x 2 − xy +3y2 +5x +2y −1повний
приріст і повний диференціал в точці (1; 2) |
при |
∆x = 0,1; ∆y = 0,2 . |
|
Оцінити абсолютну та відносну похибку, яка одержується при заміні приросту функції її диференціалом.
( ∆z = 4,05 , dz = 3 , абсолютна похибка ∆z − dz =1,05 ,
∆z − dz ≈
відносна похибка ∆z 100 % 25 % )
11. Знайти всі частинні похідні і повні диференціали першого і другого порядків від заданих функцій :
1) |
z = x 2 y − xy 2 +3 |
|
|
|
2) z = ln( x 2 + y ) |
|||||||||
12. |
Знайти |
похідну |
dz |
складеної |
функції |
|||||||||
dt |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x = et , y =1 − e2t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
13. |
Знайти частинні похідні |
|
∂z |
, |
∂z |
де |
z = |
|||||||
|
|
∂v |
||||||||||||
x = 2u −v , y = v + 2u . |
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
14 .Знайти |
dy |
з рівняння xe 2 y |
− ye2x = 0 . |
|
|
|||||||||
dx |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
15. |
Знайти |
кутовий |
коефіцієнт |
|
дотичної |
|||||||||
x 3 + y3 −2xy = 0 в точці x = y =1. |
|
|
|
|
||||||||||
( k=-1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
∂z |
|||
16. |
Знайти |
частинні |
|
похідні |
|
, |
||||||||
|
|
∂x |
∂y |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = |
x 2 |
|
де |
|
y |
||||
|
|
|||
x + y |
та |
до кривої
функції
x 2 + y2 + z2 −2zx = a2 .
17. Знайти частинні похідні 3-го порядку функції z = x 3 + x 2 y + y3 .
![](/html/2706/1004/html_EHGc8zfQpE.bWOh/htmlconvd-QwWHkb49x1.jpg)
49
18. Записати рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні z = x 2 +2y2 в точці (1;1;?).
( 2x + 4y − z = 3 - рівняння дотичної площини, x 2−1 = y 4−1 = z−−13 - рівняння нормалі )
19. Записати рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні
x 3 + y3 + z3 + xyz |
= 6 в точці (1;2;-1). |
|
||||||||||||||||||
( x +11y +5z −18 = 0 - рівняння дотичної площини, |
||||||||||||||||||||
|
x −1 |
= |
|
y −2 |
= |
z +1 |
- рівняння нормалі ) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
11 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
20. |
Знайти екстремум функції z = x 2 + xy + y2 −2x −3y . |
|||||||||||||||||||
( min, ( |
1 |
, |
4 |
) , zmin |
= − |
7 |
) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
3 |
3 |
|
|
|
3 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|||||||
21. |
Знайти екстремум функції z = |
+ |
|
приx + y = 2 . |
||||||||||||||||
x |
y |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( min, (1 , 1) )
22. Визначити розміри конуса найбільшого об’єму при умові, що його бічна поверхня дорівнює S.
(радіус основи R = |
π |
S |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
23. Знайти найбільше |
та найменше значення |
функції |
||||||||
z = x 2 +3y2 − x +18y −4 |
в квадраті [0,1;0,1]. |
|
|
|
|
|
|
|||
( Найбільше z=17 в (0;1) та (1;1), найменше z = − |
17 |
|
1 |
;0 |
|
|||||
|
|
в |
|
) |
||||||
4 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
![](/html/2706/1004/html_EHGc8zfQpE.bWOh/htmlconvd-QwWHkb50x1.jpg)
50
4.2Індивідуальні завдання
4.2.1Знайти область визначення функції
1. |
z = |
(x +1)( y −1) |
2. |
z = |
x 2 + y 2 |
−1 |
||
3. |
z = |
1 |
+ |
1 |
4. |
z = ln(x + y −1) |
||
|
|
x −1 |
y +1 |
|
|
|
|
|
5. z = 1 − e x−y |
|
6. z = e x−y + y −1 |
||||||
7. |
z = |
(x + 2)( y − 2) |
8. |
z = |
x 2 +2 y 2 −2 |
|||
9. z = |
1 |
+ |
1 |
10. z = |
1−e2x −y |
|
||
|
|
x −2 |
|
y +2 |
|
|
|
|
11. z = ln( x +2y −2) |
12. z = e |
2x −y + |
y −2 |
|||||
13. z = |
( x +3)( y −3) |
14. z = |
x 2 +3y 2 −3 |
|||||
15. z = |
1 |
+ |
1 |
16. z = ln( x +3y −3) |
||||
|
|
x − |
3 |
y +3 |
|
|
|
|
17. z = |
1−e3x −y |
|
18. z = e |
3x −y + |
y −3 |
|||
19. z = |
(x + 4)( y −4) |
20. z = |
x 2 + 4y 2 −4 |
|||||
21. z = |
1 |
+ |
1 |
22. z = ln( x + 4y −4) |
||||
|
|
x − |
4 |
y + 4 |
|
|
|
|
23. z = |
1−e4x −y |
24. z = e |
4x −y + |
y −4 |
||||
25. z = |
(x +5)( y −5) |
26. z = |
x 2 +5y2 −5 |
|||||
27. z = |
1 |
+ |
1 |
28. z = ln( x +5y −5) |
||||
|
|
x − |
5 |
y +5 |
|
|
|
|
29. z = |
1−e5x −y |
|
30. z = e |
5x −y + |
y −5 |