Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сукач Т.Н. краткий курс высшей математики

.Pdf

Скачиваний:

1819

Добавлен:

06.02.2016

Размер:

3.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 3215 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Пример 1. Найти дифференциал функции y sin x .

Решение. dy d(sin x) (sin x) dx cos x dx,			dy cos x dx.
Пример 2. Найти дифференциал функции y x2 4x 8 .
Решение. dy (x2 4x 8) dx (2x 4)dx 2(x 2)dx.
Применение	дифференциала	к	приближенным
вычислениям
При малых x	справедливая формула y dy , т.е.
	f (x0 x) f (x0 ) f (x0 ) x .		(7)

Данная формула широко применяется в вычислительной практике, так как дифференциал обычно находится значительно

проще, чем приращение функции.

Пример 3. Вычислить приближенно с помощью дифференци-

ала значение функции y

x2 5

в точке x 1,97 .

Решение. Ближайшая к 1,97 точка, у которой легко вычислить

значение f (x0 ) и f (x0 ) ,

– это точка x0 2 .

x x a 1,97 2 0,03;

f (x0 ) f (2)

22 5 3;

f (x)

f (x0 ) y (2)

x2 5

По формуле 2 имеем

f (1,97) 3

( 0,03) 2,98.

142

3.2.8 Производные и дифференциалы высших порядков

Определение 1. Производной второго порядка (второй производной функции) y f (x) в точке х называется производная от

ее первой производной y f (x) при условии, что

f (x)

дифференцируема в точке х. Она обозначается такими символами:

(2)			d 2 f (x)
f (x) , f (x) ,					,	f

							, f	2 .
			dx2			xx	x
			dx2				x
Определение 2. Производной п-го порядка функции y f (x)
называется производная от производной (п-1) порядка:
	d n f (x)	( f (n 1)		(x)) , n N .
	dxn	( f (n 1)		(x)) , n N .
	dxn

Определение 3. Производную, для которой существует п-я

производная в точке х, называют п раз дифференцируемой в этой точке.

Основные формулы вычисления производных высших порядков


(a x )(n) a x lnn a						(a 0 , a 1) ;
		(ex )(n) ex ;
		(n)		n			n
(sin x)						sin x		;
(sin x)						sin x		;
							2
	(n)		n				n
(cos x)					cos x			;
(cos x)					cos x			;
							2

((ax b) )(n) an ( 1) ( n 1)(ax b) n ;

в частности,

	1 (n)	( 1)	(n)	n!
					;
				(x a)n 1
x a

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

143

(log \| x \|)		(n)		( 1)n 1 (n 1)!			;	(7)
(log \| x \|)				xn			;	(7)
a				xn	ln a
(ln \| x \|)	(n)		( 1)n 1(n 1)!			.		(8)
(ln \| x \|)				xn		.		(8)
				xn

Основные правила вычисления производных

Если функции u(x) и v(x) п раз дифференцированы, тогда

имеют место такие равенства:

1)	(a u a		v)(n)	a u(n) a			v(n)	(a , a	2	пост.);	(9)
	1	2		1		2		1	2
			n
2)	(uv)(n)	Cnk u(n k )v(k ) ,						(формула Лейбница)			(10)
			k 0
где C k			n!		,	0! 1.
где C k					,	0! 1.
	n	(n k)!k !
		(n k)!k !

Вычисление производных высших порядков функций,

заданных параметрически

Если функция задана параметрически уравнениями x x(t) ,

y y(t) , тогда

производные

d 2

d 3 y

, вычисляются по

формулам:

d 2 y

и т.д.

(11)

dx2

dx3

dx x

Для производной второго порядка имеет место формула:

144

x (t)

y (t)

x (t) y (t) x (t) y (t)

x (t)

y (t)

(12)

dx2

(x (t))2

Дифференциалы высших порядков

Определение 4. Дифференциалом второго порядка дважды дифференцируемой функции y f (x) называют дифференциал от

дифференциала первого порядка функции f (x) , т.е. d 2 y d (dy) .

В случае, когда х – независимая переменная, дифференциалы

вычисляются по формулам:

d 2 y y (dx)2 , d 3 y y (dx)3 ,

………………......

		d n y y(n) (dx)n .						(13)
Если же х — некоторая функция от t,						x x(t) , тогда
		d 2 y	y (dx)2		y d 2 x ,			(14)
					x
	d 3 y y (dx)3 3y dxd 2 x y d 3 x и т.д.							(15)
				xx
Если для функций u(x)			и v(x) , где х – независимая перемен-
ная, существуют дифференциалы d nu и d nv , тогда
d n (a u a		v) a d nu a		d nv	( a , a	2	— постоянные),	(16)
1	2	1	2		1	2
				n
		d n (uv) Cnk d n k ud k v .						(17)

k 0

145

Пример 1. Найти производную второго порядка функции,

заданной параметрически x cost , y sin t .

Решение.

(sin t) t

cost

ctgt .

(cost) t

sin t

d ( ctgt)

sin t

sin 3 t

Пример 2. Найти производную второго порядка функции

y arctg(x x2 1) .

Решение. Сначала находится первая производная от сложной

функции:

									1																		x
				y																1
				y																1
							1 (x x							2	1)				2						x		2	1
							1 (x x								1)										x			1

												x					x2			1

							(2x2 2x							x2 1 2)										x2 1
							(2x2 2x							x2 1 2)										x2 1

								x		x2				1												1			.
																		x)					2(x2 1)
					2(x2 1)(						x2 1							x)					2(x2 1)
	Тогда вторая производная равняется:

													1								1			1								x
													1								1			1								x
			y										2											2							2		2 .
			y			( y )							2								2			2							2	1)	2 .
								2(x								1)					2	x						1		(x		1)
	Пример 3. Найти дифференциал второго порядка функции

y x		x 3 в точке				x0 12 .
	Решение. Согласно формуле для вычисления дифференциала
второго порядка d 2 y y (dx)2														вычисляется												y :
															146

															x				3(x 2)						;
y x x 3 x( x 3)										x 3					x				3(x 2)
y x x 3 x( x 3)										x 3
											2				x 3			2				x 3
	3	1		x 2					3(2(x 3)					x 2)							3(x 4)
y	3	1		x 2					3(2(x 3)					x 2)							3(x 4)						.

	2	x 3	2 (x 3)			3						4 (x 3)				3				4 (x 3)						3
						3										3										3

			y (x ) y (12)										3 8		2		.
			y (x ) y (12)														.
			0									4 27		9
												4 27		9
					d 2 y(x			)		2	(dx)2 .
					d 2 y(x		0	)		9	(dx)2 .
										9
								3x2
		6x 2x3 1 3x2						3x2													3

							2x3 1
	y												3x(x3 2)(2x 1)											.
																							2
			2x3 1																				2
			2x3 1

3.2.9 Упражнения к разделу 3.2

Найти производные функций:

1). y 15 x5 2x4 23 x3 32 x2 4x 5.

y x4 8x3 2x2 3x 4

2). y

x 3 x2 4

x3 .

3). y 3

x2 2 x 5.

4). y (1 4x3 )(1 2x2 ).

y 4x(1 3x 10x3 )

x3 1

2x3 6x2 2x 1

5). y

147

	2x	2	1			1	4x	2
6). y	2x		1	.	y	1	4x
6). y				.	y
	x 1 x2					x2 (1 x			2 )3

Найти производные сложных функций:

7). y sin 4 x cos4 x. y sin 4x

8). y ctg3 x 3ctg x 3x. y 3ctg4 x

9). y cos2 x2 . y 2xsin 2x2

10). y ctg3 (3x 2). y 9ctg2 (3x 2) sin 2 (3x 2)

Найти производную функций:

11).

12).

13).

14).

7 4 x ln 7

y 7 4 x .

4x2

y 4sin2 x .

y 4sin2 x sin 2x ln 4

y e x

x 2 .

e x

x 2

(2x 1)

2 x2 x 2

y ex (x3 3x2 6x 6).

y ex (x3 )

		1
15). y lnarctgx.	y
15). y lnarctgx.	y	arct gx(1 x	2
		arct gx(1 x		)

Найти производные функций, которые заданы неявно:

		y
16). xy sin y 0 .	y

		x cos y

148

17).	ey x y .	y		1

			e y
		1
18).	y2 x4 x2	. y			x(1 2x2 )
						y

Найти производную функции, которая задана параметрически:

19).

20).

21).

x ln(t 2 1),

y t 2 1.

x ln(1 t 2 ) ,y arcsin t .

x lntgt ,y 1/ sin t .

	y		1
			1	t 2	1
				t 2	1
	x	2
		2
	y
		arcsint				1 t	2
		arcsint			y 2t	1 t

y		cos2 t
y
x		sin t
		sin t

Найти производные функций, логарифмируя их:

22).	y			(x 1)3										.			(71 3x 4x2 )(x 1)2

		(x			4)			3	(x	3)			4					(x 4)				4	(x 5)				5
		(x			4)				(x	3)								(x 4)					(x 5)

			x(x			2		1)								1			x(x		2	1)		1					2			2
			x(x					1)				y				1			x(x			1)		1					2			2
23).	y 3									.		y						3
				(x 1)2												3			(x 1)2					x				x2		1		x 1

					(x 1)2															(x 1)(5x2							14x 5)
24).	y														.		y
24).	y	(x			2)			3	(x		3)			4	.		y					(x		2)	4	(x 3)					5
		(x			2)				(x		3)											(x		2)		(x 3)
Найти уравнение касательной и нормали к графику функции
y f (x) в точке x0 .
																	7x 2 y 3 0 ,										2x 7 y 16 0
25).	y x2						x3 ,				x0		1 .				7x 2 y 3 0 ,										2x 7 y 16 0
26).	y	x2		2x 2							,	x 2 .						2y 1 0, x 2 0
26).	y				x2						,	x 2 .						2y 1 0, x 2 0
					x2								0

149

Найти точки,

которых касательные к графику функции

y f (x) параллельны оси абсцисс:

27).

y x4 4x3 4x2

5 . (0; 5); (1; 4); (2; 5)

Написать уравнение касательной и нормали к кривой

28) y x3 3x2 9x 1

в точке M 1; 6 .

6x y 0; x 6 y 37 0

Найти производные второго порядка функций:

29).

y (x2 1)2 .

4(3x2 1)

30).

y x

6(x1 1 12)

1 0

31).

x 1

(x 1)

Вычислить производные функций, заданных неявно:

32).

33).

x2 y2

4 9

ln(x y)

811. 4 y3

x y .	4(x y)

	(x y 1)	3
	(x y 1)

150

3.2.10 Задания для индивидуальной семестровой работы

студентов к разделу 3.2

Найти производные функций:

1). y 3sin 2 x 32x tg4x ;

y ln

2x 1

;

2 x

y 3arcsin 2 x

2).

x ln(4x);

y sin

2x 1

;

3 x

y 2tg 3x

;

3).

4 3x sin

y cos 3

;

2x 1

cos

;

4).

y 2arctg 3x 4

y tg

;

2x 1

5).

y 4co s2 x 4 x3 ctg x ;

y tg

;

x 1

6).

y 4arcco s2 x 4 3x2

tg x ;

y cos

;

x 1

y 5ctg x 2

7).

3 x2

sin 2x ;

y (ctgx)ln x ;

y sin x cos(x y) 0.

ytg2x ln x ;

xsin(x y) y cos x 0.

yctg x sin x ;

e x 3y 2 x 0.

y ctg x tg x ;

e y2 x 3xy2 0. y sin x x 2 ;

2 yx x sin 2 y 0.

y ctg x x 2 ;

2 x y sin 2x 1 0.

y arccos x x 2 ;

151

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 3215 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.08.2019169.6 Кб5Статистика. Конспект. Общий.docx
#
06.02.2016183.81 Кб26Стратегический менеджмент.doc
#
06.02.2016893.44 Кб39Стратегическое управление учебник.doc
#
06.02.2016878.08 Кб7Стройников лабы.doc
#
06.02.2016139.78 Кб4Суд Украины.doc
#
06.02.20163.35 Mб1819Сукач Т.Н. краткий курс высшей математики.Pdf
#
06.02.20161.35 Mб10СУП.doc
#
06.02.2016326.14 Кб6ТГП Методические указания по курсу.doc
#
06.02.20162 Mб29Текст пособия Введение в глобалистику.doc
#
06.02.2016114.69 Кб6Текст Шекспириады (полная версия).doc
#
07.11.2018177.15 Кб12Тема 1 ІД нов..doc