Сукач Т.Н. краткий курс высшей математики

132

Приведенное правило вычисления производной сложной функции применяется и для композиции произвольного конечного числа функций.

Например, для сложной функции вида z( y(x(t))) , где x(t) , y(x) , z( y) – дифференцированные в соответствующих точках функции, имеет место равенство

произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция x ( y) также имеет производную ( y) в соответствующей

133

tg x x2 . . cos x

Пример 1. Найти производную функции y 4x .

Решение. Применяя приведенные формулы, имеем:

134

(4x ) 4x ln 4 2ln 2 4x .

Пример 2. Найти производную функции y a x2 .

Решение. Находим:

(a x2 ) a x2 ln a (x2 ) a x2 ln a 2x 2ln a x a x2 .

Пример 3. Найти производную функции y esin2 x .

Решение. Применяя формулы, имеем:

(esin2 x ) esin2 x (sin 2 x) esin2 x 2sin x cos x esin2 x sin 2x. .

3.2.4 Дифференцирование неявной функции и функции,

заданной параметрически

Если функция задана уравнением y f (x) , разрешенным относительно у , то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x; y) 0 , не разрешенного относительно у.

Если неявная функция задана уравнением F(x; y) 0 , то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по х, рассматривая при этом у как функцию х, и

полученное затем уравнение разрешить относительно y .

Пример 1. Найти производную функции, заданной неявно: x3 y3 3xy 0 .

Решение. Дифференцируя, имеем

3x2 3y2 y 3(x y xy ) 0; x2 y2 y y xy 0;

135

x2 y y ( y2 x) 0.

Из этого уравнения находим: y x2 y . x y2

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений

x x(t),y y(t),

где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.

Производная функции, заданной параметрически, находится по формуле

3.2.5Логарифмическое дифференцирование

Вряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать, а затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.

136

Найдем производную от левой и правой частей:

содержание, широко применяются при решении целого ряда задач в

разных областях деятельности.

f (x0 ) tg ,

137

138

Пример 1. Найти уравнение касательной и нормали к кривой y x3 2x в точке A(1; 3) .

Решение. Значение производной данной функции в точке А:

y 3x2 2; f (1) 3 12 2 5.

Физический смысл производной

Под физическим смыслом производной понимают скорость изменения функции в данной точке. Например:

1) при движении тела скорость v в данный момент времени t

есть производная от пути s(t) : v dsdt ;

2) при вращательном движении твердого тела вокруг оси 0x

угловая скорость в данный момент времени t есть производная

от угла поворота: (t) : ddt ;

3) при охлаждении тела скорость охлаждения в момент времени t есть производная от температуры: dTdt ;

139

4)теплоемкость С для данной температуры t есть производная от количества тепла Q : C dQdt ;

5)при нагревании стержня коэффициент линейного расширения при данном значении температуры t есть

производная от длины l : dldt .

Пример 2. Найти скорость точки, движение которой

3.2.7 Дифференциал функции

Дифференциал функции, как и производная, применяется при решении ряда практических задач, в частности в приближенных вычислениях.

Определение 1. Дифференциалом функции y f (x) в точке х

называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df (x) )

140

порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т.е.

дифференциал функции y x .

Так как y x 1, то, согласно формуле (1), имеем dy dx x , т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dx x .

Поэтому формулу (1) можно записать так:

Основные свойства дифференциала

Основные теоремы о дифференциалах легко получить,

используя связь дифференциала и производной функции dy f (x)dx

и соответствующие теоремы о производных.

Например, так как производная функции y c равна нулю, то дифференциал постоянной величины равен нулю:

Теорема 1. Дифференциалы суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами

Теорема 2. Дифференциал сложной функции равен

141