Сукач Т.Н. краткий курс высшей математики

многочлена L

(x)

и правильной рациональной дроби

R(x)

:

m n

Pn (x)

Qm (x)

Lm n (x)

R(x)

.

(1)

Pn (x)

Pn (x)

Пример 1.

Q(x)

x4

5x 9

–

неправильная рациональная

P(x)

x 2

x4

5x 9 | x 2

x4 2x3

| x3 2x2 4x 3

2x3

5x 9

2x3 4x2

4x2 5x 9

4x2 8x

3x 9

3x 6

15.

Имеем:

x4 5x 9

x

3

2x

2

4x

3

15

.

x 2

x 2

A

І.

;

x a

A

ІІ.

, где m 1

, целое;

(x a)m

Ax B

p2

ІІІ.

, где

q 0

x2 px q

4

(трехчлен x2 px q не имеет действительных корней);

Ax B

n 2 , целое,

p2

ІV.

, где

q 0

(x2 px q)n

4

(трехчлен x2 px q не имеет действительных корней);

где

A, B, p, q, a

–

действительные

числа, n 2, 3, ,

называются простейшими

(элементарными)

рациональными

A

І.

dx A ln

x a

C ;

(2)

x a

ІІ.

A

dx A (x a) m dx A

(x a) m 1

C

A

+С.(3)

(x a)m

m 1

(1 m)(x a)m 1

Решение.

dx

d (x 5)

ln | x 5 | C .

x 5

x 5

Пример 3. Найти интеграл

dx

.

(x 5)3

Решение.

dx

(x 5) 2

1

(x 5) 3 d (x 5)

C

C .

(x 5)3

2

2(x 5)2

Пример 4. Найти интеграл

3x 1

dx .

x2 4x 8

Решение.

3

(2x 4) 1 6

3x 1

dx

2

dx

x2 4x 8

x2 4x 8

3

2x 4

5

dx

3

2

8) 5

dx

dx

ln(x

4x

2

x2 4x 8

x2

4x 8

2

(x 2)2 22

3

ln(x2

4x 8)

5

arctg

x 2

C .

2

2

2

Интегрирование

рациональной дроби

Qm (x)

сводится

к

Pn (x)

В

этом

случае

дробь

Qm (x)

раскладывается

в

сумму

Pn

(x)

простейших дробей I типа:

Qm (x)

A1

A2

An

(4)

P (x)

x a

x a

2

x a

n

n

1

A1 , A2 , An

находятся с тождества (4).

2) корни знаменателя действительные, причем некоторые из них

кратные, т.е. P (x) (x a)(x b)k .

n

В

этом

случае

дробь

Qm (x)

раскладывается

в

сумму

Pn

(x)

простейших дробей I и II типа:

Qm (x)

A

B1

B2

Bk

.

(5)

x b

(x b)2

(x b)k

P (x)

x a

n

В этом

случае

дробь

Qm (x)

раскладывается

в

сумму

Pn (x)

простейших дробей I, II, III типов:

Qm (x)

A

B1

B2

Bk

Dx E

,

(6)

x a

(x b)2

(x b)k

P (x)

x b

x2 px q

n

где коэффициенты A, B1, B2 , Bk , D, E находятся с тождества (6).

Пример 5. Найти

x 8

dx .

x2

4x 4

Решение. Уравнение

x2 4x 4 0

имеет

кратный корень

x 2 , поэтому

x2 4x 4 (x 2)2

і.

x 8

A

B

x2

x

(x 2)2

4x 4

2

Сведя правую часть последнего равенства к общему

знаменателю, получим x 8 A(x 2) B . Тогда

A 1;

A 1;

2A B 8.

B 6.

Итак,

x 8

1

6

.

x2 4x 4

x 2

(x 2)2

Поэтому

(x 8)dx

dx

6dx

ln | x 2 |

6

C .

x2 4x 4

x 2

(x 2)2

x 2

Пример 6. Найти

2x2 2x 2

dx .

(x 2)(x2

1)

2x2 2x 2

A

Mx N

.

(x

2)(x2 1)

x

2

x2 1

4

M

;

5

A M 2;

A 2 M ;

2

2M N 2;

N

2 2M ;

N

;

5

2N 0.

A 2N 2.

M

4

14

A

2

.

5

5

Тогда

2x2 2x 2

14 dx

1

4x 2

dx

dx

(x 2)(x2

1)

5

x 2

5

x2 1

14

ln | x 2 |

2

ln(x2 1)

2

arctg x C .

5

5

5

Пример 7. Найти интеграл

x3 3x2 5x 7

dx .

x

2

2

x3

3x2

5x 7 | x2 2

3x 1

x3

2x

x 3

x2 2

3x2

6

.

3x 1

Итак,

x3 3x2 5x 7

x

3

3x 1

.

x2 2

x2 2

Отсюда находим

x3

3x2 5x 7

3x 1

dx x 3

dx

x

2

2

x

2

2

3x 1

1

2

3 2x dx

dx

x dx 3 dx

dx

x

3x

x2 2

2

2

x2 2

x2 2

1

x2 3x

3

ln(x2

2)

1

arctg

x

C .

2

2

2

2

Пример 8.

Вычислить интеграл:

2x2 3x 7

dx

(x 3)(x 1)x

2x2 3x 7

A

B

C

A(x 1)х B(x 3)x C(x 3)(x 1)

(x 3)(x 1)x

(x 3)(x 1)x

x

3 x

1

x

34

17

x 3,

34 6 A,

A

;

6

3

x 1,

12 2B,

B 6;

7

x 0,

7 3C,

C

.

3

17

dx

6

dx

7

dx

3(x

3)

x 1

3

x

Интегралы

типа R(sin x, cos x) dx , где

R — рациональная

функция от sin x

и cos x , подстановкой

u tg

x

, x можно

2

tg

x

u ;

x 2arcctgu ;

dx

2du

; sin x

2u

; cos x

1 u2

,

2

1 u2

1 u2

1 u2

тогда

R(sin x, cos x) dx =

2u

1 u 2

2du

R

1 u

2 ;

1 u

2

2 .

1 u

Пример 1.

Вычислить интеграл

5 6sin x

dx .