4. Постановка и решение задач анализа

   1. Требования к методам и алгоритмам анализа

При выборе или разработке метода (алгоритма) анализа прежде всего устанавливается область его применения. Чем шире круг задач и ММ, которые объявлены как до­пустимые для решения данным методом, тем этот метод универсальней.

В большинстве случаев четкая форму­лировка ограниченийна примене­ние метода затрудни­тельна. Возможны ситуации, когда формально применить метод возможно, однако удов­летворительное решение задачи не получается. Следова­тельно,вероятностьРуспешного применения методав некотором классе задач меньше единицы. Эта вероятность является количественной оценкой важного свойства методов и алгоритмов, называемогонадеж­ностью.

Отказы в решении задач могут проявляться в несхо­димости итераци­онного процесса, в превышении предельно допустимых значенийпогреш­но­стейи т. п. Так, итерации по методу Ньютона при решении систем нелинейных алгебраиче­ских уравнений сходятся только в случае выбора началь­ного значе­ния в достаточно малой окрестности корня.

В САПР должны применяться надежныеметоды и алгоритмы. Для повы­шения надежности часто применя­юткомбинированиеразличных методов,автоматическую параметрическую настройкуметодов и т. п., добиваясь значенийР, равных или близких к единице. Применение методов сР< 1 хотя и нежелатель­но, но допускается в отдельных частных случаях при обязательном условии, чтонекорректное решение распознаетсяи отсутствует опасность принять такое решение за правильное.

К методам и алгоритмам анализа, как и к ММ, предъявляют требования точностииэкономичности.Точностьхарактеризуется степенью совпадения точного решения уравнений модели и приближенного решения, полученного с помощью оцениваемого метода, аэкономичность— затратами вычисли­тель­ных ресурсов на реализацию метода (алгоритма).

Оценки точности и экономичности могут быть теоре­тическимииэкспе­ри­­ментальными.

Теоретические оценкипогрешностей трудоемки и обычно выполняются при принятии ряда упрощающих предположений о характере ММ: о гладкости или линейности функциональных зависимос­тей, некоррелированности парамет­ров и т. п. Несмотря на приближенность теоретических оценок, они представ­ляют значительную ценность, так как обычно характери­зуют эффективность применения исследуемого метода не к одной конкретной модели, а к некото­рому классу мо­делей.

Эксперименталь­ные оценкиоснованы на определении показателей эф­фективности на наборе специально составляемых ММ, называемыхтестовы­ми. Тестовые ММ должны отражать характерные особенности моделей того класса объектов, которые являются типичными для рассматриваемой пред­метной области. Результаты тестирования использу­ются длясравни­тель­ной оценкиметодов и алгоритмов при их выборе для реализации в программном обеспече­нии САПР.

2. Математическая постановка типовых задач анализа

Рассмотрим математическую формулировку типовых проектных процедур анализа, см. п. 2.1.

Анализ динамических процессовфункционирования объектов выпол­ня­ет­ся путем решения си­стем ОДУ. В общем случае эта система представляется в неявном виде

(4.1)

с известными начальными условиями. Для решения системы могут приме­няться методы, выражаемые формулами типа (3.13). Решение системы ОДУ позволяет получить зависимость вектора фазовых пере­менных V = (U, W) отtв табличной форме.

Большинство выходных параметров Yпроектируемых объектов являютсяфункционаламизависимостейV(t), например, определенными интегралами, экстремальными значениями. Решение системы (4.1) и расчет выходных пара­мет­ров-функционалов составляют содер­жание процедурыанализа переходных процессов.

Анализ статических состоянийобъек­тов может быть выполнен путем интегрирования уравнений (4.1), но, поскольку в статикеdU/ dt = 0, такой анализ может быть сведен к решению систем алгебраиче­ских уравнений

. (4.2)

Для решения (4.2) применяют различныеитераци­онныеметоды.

В ряде областей техники часть выходных параметров объектов определя­ется на основе анализа частот­ных характеристик. При таком анализе, как пра­вило, допустима линеаризация ММ, т. е. система (4.1) может быть представ­лена в виде

(4.3)

где А,В,С,D— матрицы с постоянными или зависимыми от времени коэф­фициентами;U_вх(t) — заданная вектор-функция, отражающая внешние воздей­ст­вия на анализи­руемый объект.

Задаваясь синусоидальным внешним воздействием на один из входов объек­та и используя для алгебраизации системы (4.3) преобразование Фурье, приходим к системе линейных алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами

(4.4)

где и— преобразованные по методу Фурье векторыUиW;ω— частота внешнего воздействия. Решение системы (4.3) обычно производится мето­дом Гаусса для ряда значений частотыω. Полученные зависимостипредстав­ля­ют собой частотные харак­теристики объекта, по которым определяются такие выходные параметры, как резонансные частоты, полоса пропускания и т.п.

При проектировании систем автоматического управ­ленияважное значе­ние имеет задачаанализа устойчиво­сти.Анализ устойчивостиможет быть выполнен или непосредственным интегрированием системы ОДУ, или ее иссле­­до­ванием в соответствии с известнымикри­териями устойчивости.

Анализ чувствительностизаключается в определении влияния внут­реннихq_kи внешнихx_jпараметров на выходные параметрыy_i. Количественная оценка этого влияния представляется матрицами чувствительностиАqиАxс элементами

aq_ik =дy_i /дq_k     иaq_ij = дy_i /дx_j, (4.5)

называемыми коэффициентами чувствительности.

Наиболее универсальный метод анализа чувствитель­ности — метод приращений— основан на численном дифференцировании функцийy_i (X,Q).

Статистический анализвыполняется с целью получения тех или иных сведений о распределении пара­метровy_i, при задании статистических сведений о пара­метрахx_jиq_k. Результаты статистического анализа могут быть представ­лены в видегистограмм распределенияy_iиоценок числовых характеристикраспределений (матема­тического ожидания, дисперсии).

Основной метод статистического анализа в САПР — метод статис­ти­ческих испытаний.