5. Формализация получения математических моделей систем

Процедуры полу­чения математических моделей систем(ММС) в САПР, как правило,формализованы. Рассмотрим подходы к формализованному полу­чению ММС на примере преобразований, соответствующих вет­вям8и4на рис.3.2.

Описание объекта на входном языке программного комплекса анализа, обслуживающего макроуровень, представляет собой последовательность строк, каждая из которых характеризует очередной элемент объекта. В строке обычно записывается следующая информация:

1. Обозначение вида элемента. Примерами видов эле­ментов в гидравличе­ских системах могут служить: гидроцилиндр, гидроклапан, ис­точник давления, источник расхода, гидросопротивление турбулентное и ламинарное, гидроемкость.

2. Идентификатор математической моделиэлемента, указывающий, какую из имеющихся моделей нужно при­менить. Иногда идентификатор ММ отождествляют с обозначением вида элемента, тогда для одного и того же вида элемента могут использоваться несколько различ­ных обозначений.

3. Номер элемента, позволяющий отличить данный элемент от других элементов того же вида в составе объ­екта.

4. Способ соединенияданного элемента с другими эле­ментами объекта, обычно выражаемый номерами узлов, к которым подключаются внешние связи элемента.Узлы исвязипоявляются потому, что на макроуровне объект пред­став­ляется в виде конечного числа элементов, свя­занных с другими элементами конечным числом связей.

5. Числовые значения параметровэлемента. Если элемент характеризу­ется большим количеством параметров, то числовые значения параметров вводятся в память ЭВМ заранее и хранятся там в виде некоторого массива. Тогда допускается при описании элемента вместо перечисления значений пара­метров указывать идентификатор массива параметров.

Например, строка, описывающая упругий стержень в механической сис­те­ме, может иметь вид

UP_K_Y₁_Y₂_X₁; X₂; X₃, (3.7)

где UP— идентификатор стержня, совпадающий с иден­тификатором математи­ческой модели;K— номер элемента;Y₁иY₂— номера узлов, с которыми связан стержень;X₁,X₂, иX₃— значения параметров: длина, площадь попереч­ного сечения и модуль упру­гости.

Указание идентификатора ММ для каждого элемента соответствует зада­нию уравнений ММ элементов — ком­понентных уравнений, которые можно записать в виде

, (3.8)

где V = (U, W) — вектор фазовых переменных;U— подвектор фазовых пере­менных, характери­зующих запасы энергии в элементах объекта;t— время.

Каждое из компонентных уравнений связывает разно­типные фазовые переменные, относящиеся кодному элементу. Отметим, что фазовые переменные могут быть либопеременными потенциала(силы, на­пряжения, температуры, давления), либопе­ременными потока(электрические токи, тепло­вые потоки, расходы, скорости).

В случае с механическим стержнем компонентным уравнением будет закон Гука, связывающий усилие (переменная потенциала) и деформацию (переменная потока).

Указание способа связиэлементов друг с другом со­ответствует заданиютопологических уравнений, пред­ставляющих собой соотношения междуодно­типными фа­зовыми переменными, относящимися кразным элемен­там:

. (3.9)

Топологические уравнения выражают условия равно­весия сил, законы сохранения, условия неразрывности и т. п. Для рассматриваемого упругого стержня, являющегося частью некоторой механической конструкции, например фермы, топологическими связями будут условия силового равновесия узлов фермы (мест соединения стержней) и равенство деформационного перемеще­ния этих узлов.

Дискретизацияиалгебраизациямодели при числовом решении (3.8) и (3.9) основаны на замене переменныхtиVконечным множеством значенийt_k, принадлежащих заданному отрезку интегрирования, и множеством значе­ний вектора фазовых переменныхV_k =V(t_k). Если обо­значить черезZ_kзначение вектора производныхdU/dtв точкеt_k, то система алгебродифференциальных уравне­ний (3.8) и (3.9) оказывается представленной в виде системыалгебраи­ческих уравнений

; (3.10)

. (3.11)

Если состояние каждого элемента объекта характери­зуется одной переменной типа потенциала и одной пере­менной типа потока, а количество элементов в объекте равно α, то подсистема (3.10) состоит изα уравнений с 2α + γнеизвестными, а подсистема (3.11) — изαуравне­ний с теми же неиз­вест­ными. Здесьγ— размерность век­тораV, равная количеству реактивных элементов, т. е. элементов, в компонентных уравнениях которых имеют­ся про­из­вод­ные фазовых переменных по времени. Для решения системы алгебраи­ческих уравнений (3.10), (3.11) нужно ее доопределить с помощьюγуравнений с уже введенными переменнымиZ_k,U_k. Такое доопределение осуществляется с помощью формулчисленного интегри­рования:

. (3.12)

В САПР преимущественно используются формулы вида

, (3.13)

где η_kзависит от порядка метода интегрирования и ве­личины шага дискрети­зации переменнойt(шага интег­рирования);μ_kзависит также от значений под­век­тора фазовых переменныхUна одном или нескольких преды­дущих шагах. Например, простейшая формула численно­годифференцированияимеет вид

. (3.14)

Систему алгебраических уравнений (3.10) … (3.12) нуж­но решать для каждого выделенного момента времениt_k. Поскольку известны начальные усло­вияt₀иU₀, сначала решается система уравнений для момента времениt₁с неизвестнымиZ₁иV₁, далее для момента времениt₂и т. д. На каждом очеред­ном шаге значенияUот предыду­щих шагов известны и, следовательно, опреде­лены коэф­фициентыη_kиμ_kв формуле (3.13).

Таким образом, исходное описание задачи на входном языке при наличии подпрограмм моделей элементов, подпрограмм численных методов и программ, формирую­щих топологические уравнения, означает задание ММС в виде исходной системы алгебраических уравнений(3.10) … (3.12). Дальнейшие преобразования этой модели обычно направлены наснижение порядка системы урав­нений и приведение ее к виду, принятому в выбранном численном методе решения алгебраических уравнений.