- •Учебная программа дисциплины
- •2. Данные о дисциплине:
- •5.График выполнения и сдачи заданий по дисциплине
- •Содержание дисциплины
- •4.1 Тематический план лекций
- •Тематический план семинарских занятий
- •7. График выполнения и сдачи срсп
- •8. График выполнения и сдачи срс
- •9. Перечень литературы
- •Информация об оценке.
- •1.2. Определители квадратных матриц. Обратная матрица.
- •1.3 Ранг матрицы. Линейная независимость строк (столбцов) матрицы.
- •1.4 Задачи с экономическим содержанием
- •2.2 Система m линейных уравнений с n переменными
- •2.3 Метод Жордана—Гаусса.
- •2.4. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений
- •2.5. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •3.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •3.3. Линейные операторы
- •3.4. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы)
- •3.5 Линейная модель обмена (модель международной торговли)
- •4.2. Кривые второго порядка
- •6. Пределы и непрерывность
- •7.1. Определение производной.
- •7.2. Правила дифференцирования.
- •4. Производные высших порядков.
- •7.3. Геометрические и механические приложения производной.
- •7.4. Предельный анализ экономических процессов
- •8. Основные теоремы дифференциального исследования.
- •1. Теорема Ролля.
- •9 Дифференциал функции.
- •13. Материалы для организации срс
- •Зачет№1 по Линейной алгебре.
- •Зачет№3 Задание 1
- •Задание 2
- •Дан вектор в базисе b, найти его координаты в базисее
- •Задание 5
- •Задание 6
3.3. Линейные операторы
1. Если задан закон (правило), по которому каждому вектору х пространства Rnставится в соответствие единственный вектор у пространства Rm, то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) А(х), действующий из Rn в Rm: у = А(х).
Рассматриваем случай, когда пространства Rn и Rm совпадают.
2. Оператор А называется линейным, если для любых векторов x, у пространства Rn и любого числа λ верны соотношения:
А(х+y)=A(x)+А(у),
А(λх) = λА(х).
3. Вектор у = А(х) называется образом вектора x, а сам вектор х — прообразом вектора у.
Связь между вектором х и его образом у = А(х) может быть представлена в виде:
У = Ах,где А — матрица линейного оператора; х = (xux2 ..., хn)' , y=(y1,y2,…,yn)' векторы, записываемые в виде вектор-столбцов.
4. Сумма и произведение линейных операторов, а также произве дение линейного оператора на число определяются равенствами:
(Ấ+B)(х) = Ấ(х)+ В(х),
(ẤB)(х)=Ấ(В(х)),
λẤ(х)=λ(Ấ(х)).
5. Нулевым О(х) и тождественным Е(х) называются операторы, действующие по правилу:
О(х) = О,
Е(х) = х.
6. Матрицы А и А* линейного оператора Ấ в базисах (в1, е2, …, еп) и (е1,е*г, ..., е*n) связаны соотношением: А*=C-1АС,
где С — матрица перехода от старого базиса к новому1.
3.4. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы)
1. Вектор x≠О называется собственным вектором линейного оператора Ấ (или матрицы А), если найдется такое число λ,, что
Ấ(х) = λх |или Ax=λх.
Число λ называется собственным (характеристическим)значением оператора Ấ(или матрицы А), соответствующим вектору х.
Определение может быть записано в виде:
(А-λЕ)х=0.
2. Характеристическим уравнением оператора А (или матрицы А) называется уравнение:
А11-λ а12 … а1n
А 21 а22-λ … а2n
(А-λЕ)= … … … …
Аn1 an2 … ann-λ
где определитель |А-λЕ| называется характеристическим многочленом оператора Ấ(или матрицы А).
Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса.
3. Матрица оператора Ấ в базисе, состоящем из его собственных векторов с собственными значениями λ1,λ2,…,λn диагональной:
А* = diag(λ1,λ2,…,λn).
И обратно, если матрица А линейного оператора Ấ в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого азиса — собственные векторы оператора Ấ с собственными значениями λ1,λ2,…,λn.
3.5 Линейная модель обмена (модель международной торговли)
Линейная модель обмена {модель международной торговли) позволяет найти национальные доходы стран (или их соотношение) для сбалансированной торговли.
Пусть х = (х1, х2,…, хn) вектор национальных доходов стран S1,S2..., Sn, а Аn*n=(aij) – структурная матрица торговли,где aij –доля национального дохода, которую страна Sj тратит на покупку товаров у страны Si ,
причем ∑ aij =1.Для сбалансированной торговли необходимо найти такой равновесный вектор национальных доходов х, чтобы Ax=x.Задача свелась к отысканию собственного вектора x отвечающего собственному значению λ = 1.
Семинар№4. Различные уравнение прямой и плоскости.
Уравнение линии. Прямая и плоскость
Простейшие задачи. Уравнение прямой на плоскости.
ПЗ№4.Составить уравнения всех сторон треугольника АВС, где А(3,2), В(5,-2) и С(5,2). Найти их длины.
5) Через точки А(1,-2) и В(5,4) проведена прямая. Составить уравнения прямых, проходящих через точку С(-2,0) перпендикулярно и параллельно прямой АВ. Вычислить растояние от точки С до прямой АВ.
6) Привести к каноническому виду уравнение кривой . Определить ее тип, вычислить основные параметры.
7) Написать уравнение прямой, проходящей через точку М0(-1,2,1) и
а) имеющий направляющий вектор ;
b) перпендикулярной плоскости 3x-y-2z+1=0;
с) проходящей через точку М0 и М1(3,2,4).
1. Расстояние d между двумя точками М1(х1) и М2(х2) координатной оси находится по формуле:
d = │х2 – х1│.
2. Расстояние d между двумя точками М1(х1,у1) и М2(х2,у2) плоскости находится по формуле:
d = √(х2 – х1)2 + (у2 – у1)2 .
3. Расстояние d между двумя точками М1(х1,у1,z1) и М2 (х2,у2,z2) пространства находится по формуле:
d = √(х2 – х1)2 + (у2 – у1)2 + (z2 – z1)2 .
4. Координаты (х,у) точки М, делящей отрезок с концами М1 (х1,у1) и М2 (х2,у2) в отношении λ, т.е. │М1М│: │ММ2│= λ , находится по формуле:
х1+λх2
х = ―――,
1 + λ
у1+λу2
у = ――― .
1 + λ
5. Координаты (х,у) точки М – середины отрезка с концами М1 (х1у1) и М2 (х2,у2) находятся по формуле:
х1+х2
х = ―――,
2
у1+у2
у = ――― .
2
6. Уравнение прямой:
- с угловым коэффициентом к и начальной ординатой b:
у = кх +b;
- проходящей в данном направлении (с угловым коэффициентом к) через данную точку М (х0, у0):
у – у1 = к (х1 - х1);
- проходящей через две данные точки М1 (х1,у1) и М2 (х2,у2):
у – у1 х – х1
―― = ――
у2 –у1 х2 – х1
у2 – у1
( с угловым коэффициентом к = ――― );
х2 – х1
- в отрезках:
х у
― + ― = 1
а b
(а и b – соответственно отрезки, отсекаемые на осях Ох и Оу);
- общее:
Ах + Ву +С = 0.
7. Расстояние d от точки А (х0,у0) до прямой Ах + Ву + С = 0 находится по формуле:
│Ах0 + Ву0 + С│
d = ――――――― .
√ А2 + В2
8. Две прямые (1) и (2) заданы уравнениями у = к1х +b1 и у = к2х +b2 или А1х + В1у + С1 = 0 и А2х + В2у + С2 = 0.
Угол φ между прямыми находится из соотношения:
←
к1 – к2
tg φ = ―――
1+к1к2
или
± (А1А2 + В1В2)
соs φ = ―――――――
√А12+В12 √А22+В22
Условие параллельности прямых:
А1 В1
к1 = к2 или ― = ― ;
А2 В2
Условие перпендикулярности прямых:
1
к2 = - ― или А1А2 + В1В2 = 0
к1
Точка пересечения двух прямых находится из решения системы:
у = к1х +b1, А1х + В1у + С1 = 0,
или
у = к2х +b2, А2х + В2у + С2 = 0.