- •Учебная программа дисциплины
- •2. Данные о дисциплине:
- •5.График выполнения и сдачи заданий по дисциплине
- •Содержание дисциплины
- •4.1 Тематический план лекций
- •Тематический план семинарских занятий
- •7. График выполнения и сдачи срсп
- •8. График выполнения и сдачи срс
- •9. Перечень литературы
- •Информация об оценке.
- •1.2. Определители квадратных матриц. Обратная матрица.
- •1.3 Ранг матрицы. Линейная независимость строк (столбцов) матрицы.
- •1.4 Задачи с экономическим содержанием
- •2.2 Система m линейных уравнений с n переменными
- •2.3 Метод Жордана—Гаусса.
- •2.4. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений
- •2.5. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •3.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •3.3. Линейные операторы
- •3.4. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы)
- •3.5 Линейная модель обмена (модель международной торговли)
- •4.2. Кривые второго порядка
- •6. Пределы и непрерывность
- •7.1. Определение производной.
- •7.2. Правила дифференцирования.
- •4. Производные высших порядков.
- •7.3. Геометрические и механические приложения производной.
- •7.4. Предельный анализ экономических процессов
- •8. Основные теоремы дифференциального исследования.
- •1. Теорема Ролля.
- •9 Дифференциал функции.
- •13. Материалы для организации срс
- •Зачет№1 по Линейной алгебре.
- •Зачет№3 Задание 1
- •Задание 2
- •Дан вектор в базисе b, найти его координаты в базисее
- •Задание 5
- •Задание 6
1.2. Определители квадратных матриц. Обратная матрица.
1. Определитель квадратной матрицы 2-го порядка вычисляется по формуле:
а11 а12
∆2 = |А| = = а11а22 – а12а21
а21 а22
2. Определитель квадратной матрицы 3-го порядка может быть вычислен по правилу треугольников, или по правилу Сарруса.
а11 а12 а13
∆3 = |А| = а21 а22 а23 = а11а22а33 + а21а32а13 + а12а23а31 – а31а22а13 -
а31 а32 а33
- а21 а12 а33 – а32 а23 а11,
где соответствующие произведения элементов берутся либо со знаком «+» (левая схема), либо со знаком «-» (правая схема)
а11 а12 а13
а21 а22 а23
а31 а32 а33
3. Определитель квадратной матрицы n-го порядка определяется более сложным образом. Он может быть вычислен по теореме Лапласа.
4. Алгебраическим дополнением Аij элемента аij матрицы n-ого порядка называется её минор Mij,т.е. определитель матрицы, полученной из матрицы А вычеркиванием i-той строки и j-ого столбца, взятый со знаком (-1)i+j:
Аij=(-1)i+j Mij.
5. Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:
n n
А = ∑ аіј Аіѕ = ∑ аsj Asj
6. Определитель треугольной и ,в частности, диагональной матрицы равен произведению её диагональных элементов.
7. Некоторые свойства определителей квадратных матриц:
А) определитель не меняется при транспонировании матрицы;
В) определитель меняет знак, если поменять местами любые две строки (столбцы) матрицы;
С) определитель равен нулю, если: все элементы любой строки (или столбца) равны нулю;элементы любых двух строк (столбцов) пропорциональны либо D) определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на число, отличное от нуля.
8. Квадратная матрица А называется невырожденной или неособенной, если её определитель отличен от нуля, т.е. А = 0.
9. Обратная матрица А-1 существует тогда и только тогда, когда исходная матрица А невырожденная, т.е. ∆А≠0. В этом случае её можно найти по формуле:
А-1 = 1/∆ *Ã,
где Ã- присоединенная матрица, элементы которой Аks=A'ks равны алгебраическим дополнениям элементов матрицы А', транспонированной к матрице А.
1.3 Ранг матрицы. Линейная независимость строк (столбцов) матрицы.
1. Рангом матрицы А (rang A или r(A) ) называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.
2. Свойства ранга матрицы:
А) если матрица А имеет размеры m*n,то rang A < min (m; n);
B) rang A =0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы А равны 0;
С) если матрица А-квадратная порядка n,то rang A=n,тогда и только тогда, когда А=0
3. Элементарные преобразования, не меняющие ранга матрицы:
А) отбрасывание нулевой строки (столбца)
В) умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю
С) изменение порядка строк (столбцов) матрицы
D)прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число
Е) транспонирование матрицы.
4. С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к ступенчатому виду:
а11 а12 … а1r … а1k
0 а22 … а2r … a2k
А= . . . . . .
0 0 … arr … ark
где аij=0,i=1,…,r; r<k.
5. Строки (столбцы) матрицы е1,е2,…,еm называются линейно зависимыми, если существуют такие числа λ1,λ2,….,λm, не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке: λ1е1+λ2е2+…+λmem=0,где 0=(0,0,..,0).В противном случае строки называются линейно зависимыми.
6. Теорема о ранге матрицы:
Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк или столбцов.