1.10. Метод перерізів

Однією з основних задач розрахунків на міцність є визначення внутрішніх зусиль (сил пружності). Для цього застосовується метод перерізів, що полягає в наступному.

Для тіла, що знаходиться в рівновазі, у цікавлячому нас місці думкою робимо переріз (рис.1.10.1.а). Потім одна з частин відкидається (рис.1.10.1.б).

Взаємодія частин одна на одну заміняється внутрішніми зусиллями, які врівноважують зовнішні сили, що діють на відсічену ділянку.

Рис.1.10.1. Метод перерізів

Якщо задано плоску систему сил, то для урівноважування системи потрібно прикласти в цьому перерізі три внутрішніх зусилля: подовжню силу N; поперечну силу Q; згинальний момент M.

Після цього складають рівняння рівноваги для відсіченої частини тіла, з якого визначають N, Q i M.

Якщо задана просторова система, то в перерізі в загальному випадку можуть виникати шість внутрішніх зусиль, що є компонентами головного вектора і головного моменту внутрішніх сил (рис.1.10.2.):

- подовжня сила N, що діє уздовж осі бруса;

- поперечна сила Q_x ;

- поперечна сила Q_y ;

- згинальний момент M_x ;

- згинальний момент M_y ;

- крутний момент T = M_z , що діє в площині перерізу.

Рис.1.10.2. Компоненти головного вектору та головного моменту просторової системи сил.

Для визначення цих зусиль необхідно використати шість рівнянь рівноваги:

Qx =Fxi = 0 ; Qy =Fyi = 0 ; N =Fzi = 0 ; Mx =Мxi = 0 ; My =Мyi = 0 ; T =Мzi = 0 .

Таким чином, для знаходження внутрішніх зусиль необхідно:

1) розрізати стержень;

2) відкинути одну частину стержня;

3) прикласти в перерізі зусилля, здатні зрівноважити зовнішні сили, що діють на частину стержня, що залишилась;

4. знайти значення зусиль з рівнянь рівноваги, складених для частину

стержня, що залишилась.

Розглянемо застосування методу перерізів на прикладі.

У

Задача. Визначити зусилля в стержнях AB і BC системи, зображеної на малюнку.

Розв’язок.

1) Проводимо переріз по стержнях.

2) Відкидаємо ліву частину.

3) Заміняємо відкинуті частини зусиллями N₁ і N_2.

4) Складаємо рівняння рівноваги для відсіченої частини:

Fx = –N1 – N2 cos  = 0 Fy = –F + N2 sin  = 0

Звідси визначаємо:

N₁ = F cos / sin  = F ctg ; N₂ = -F / sin .

Знак “мінус” показує, що зусилля буде не розтягуючим, а стискаючим (спрямоване в протилежний бік).

1.11. Статично-визначені та статично-невизначені задачі

Якщо число невідомих зусиль дорівнює числу рівнянь рівноваги, задача називається статично-визначеною.

Якщо число невідомих зусиль більше числа рівнянь рівноваги, задача називається статично невизначеною.

Для статично невизначених задач необхідно використовувати додаткові рівняння при розгляді деформації системи.

1.12. Геометричні характеристики плоских перерізів

До основних геометричних характеристик плоских перерізів відносяться площа поперечного перерізу, статичні моменти площі, моменти інерції, радіуси інерції, моменти опору. Ці величини використовують при розрахунках на міцність, жорсткість і стійкість конструкцій.

1.12.1. Площа поперечного перерізу.

Розглянемо плоский переріз довільної форми (рис.1.12.1). Виділимо на цьому перерізі елементарну площадку dS. Тоді площа перерізу буде дорівнювати:

, [ м²].

Рис.1.12.1. Схема для визначення геометричних характеристик плоского перерізу.

1.12.2. Статичні моменти площі.

Статичні моменти площі визначають за формулами:

, , [ м³] .

Якщо відомі координати центра тяжіння фігури, то статичні моменти визначаються так:

S_x = y_c· S , S_y = x_c· S ,

де x_c , y_c – координати центра тяжіння фігури.

1.12.3. Моменти інерції площі поперечного перерізу.

Розрізняють осьові моменти інерції, а також полярний та відцентровий моменти інерції:

a) осьові моменти інерції:

, [ м⁴] ;

, [ м⁴] .

б) полярний момент інерції:

, I_p = I_x + I_y , [ м⁴];

в) відцентровий момент інерції:

; [ м⁴] .

Дві взаємноперпендикулярні осі, щодо яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю, називаються головними.

Дві взаємоперпендикулярні осі, одна з яких є віссю симетрії фігури, завжди є головними.

Якщо головні осі проходять через центр тяжіння фігури, то вони називаються головними і центральними.