- •Міністерство освіти і науки україни
- •Вища математика Модуль 5 Кратні та криволінійні інтеграли
- •Література
- •Кратні та криволінійні інтеграли
- •Подвійний інтеграл Основні поняття та теореми
- •Двовимірний Евклідів простір
- •Область в Евклідовому просторі
- •Інтегральна сума
- •Подвійний інтеграл
- •Властивості подвійних інтегралів
- •Зміна порядку інтегрування
- •Кожен з подвійних інтегралів заміняють на повторний інтеграл:
- •Застосування подвійних інтегралів.
- •Розглянемо деякі приклади застосування подвійного інтеграла.
- •Маса неоднорідної пластини.
- •Приклади розв’язання задач Приклад 1.1
- •Розв’язання
- •Приклад 1.2
- •Розв’язання
- •Приклад 1.3
- •Розв’язання
- •Приклад 1.4
- •Розв’язання
- •Приклад 1.5
- •Розв’язання
- •Область .
- •Область .
- •Приклад 1.6
- •Розв’язання
- •1.3. Тести для перевірки
Область .
Область .
Крок 2.6. Обчислимо значення повторного інтеграла по області .
Обчислимо внутрішній інтеграл:
.
Обчислимо зовнішній інтеграл:
.
Крок 2.7. Обчислимо значення повторного інтеграла по області .
Обчислимо внутрішній інтеграл:
Обчислимо зовнішній інтеграл:
.
.
Крок 2.8. Обчислимо площу області.
Площа області інтегрування дорівнює сумі площ частин розбиття:
.
Приклад 1.6
Обчислити об’єм циліндричного тіла, обмеженого поверхнею ,
площиною та циліндричною поверхнею, напрямна якої складається з дуг двох парабол:,, які розміщені в площиніХОУ.
Розв’язання
Крок 1. Побудуємо область інтегрування. Перевіримо виконання умов існування подвійного інтеграла:
Функція є неперервною в області інтегрування.
Область інтегрування є квадровною замкненою, обмеженою областю.
З малюнку видно, що ця область є правильною в напряму обох осей.
Крок 1. Знайдемо кутові точки області інтегрування (точки перетину парабол), розв’язавши систему рівнянь:
Підставимо у з першого рівняння в друге, одержимо рівняння:
.
Рівняння має два корені: ,. За знайденими абсцисами кутових точок області інтегрування знайдемо ординати цих точок. Підставимо значення
, у рівняння. Одержимо,.
Кутові точки області інтегрування мають координати ,.
Крок 2. Опишемо аналітично область інтегрування за допомогою системи нерівностей.
Інтервал зміни значень х встановимо у відповідності до значень абсцис кутових точок іобласті інтегрування.
Змінна у приймає значення, які відповідають ординатам точок, що лежать на параболах (від нижньої до верхньої межі).
D:
Крок 3. Складемо подвійний інтеграл:
Крок 4. Запишемо його через повторні інтеграли, скориставшись аналітичним описом області інтегрування:
Крок 5. Обчислимо внутрішній інтеграл:
.
Крок 6. Підставимо знайдену функцію у зовнішній інтеграл і обчислимо його,
.
Об’єм циліндричного тіла дорівнює .
1.3. Тести для перевірки
умінь обчислення подвійних інтегралів
Крок 1. Побудуємо область інтегрування. Перевіримо виконання умов існування подвійного інтеграла.
|
З рисункувидно, що ця область є правильною в напряму осі ОУ.
2.Криволінійні інтеграли першого роду.
Основні поняття та теореми