Зміна порядку інтегрування

Якщо область інтегрування є правильною в напряму обох осей і область можна описати системами нерівностей, формули (1.7) або (1.8), то в повторному інтегралі можна міняти порядок інтегрування,

Щоб змінити порядок інтегрування необхідно перейти від формули (1.16) до формули (1.17) або навпаки.

Значення подвійного інтеграла не змінюється при зміні порядку інтегрування.

Зауваження. Якщо область інтегрування є правильною, але межі області складаються з декількох ділянок (більше чим дві криві, які описуються різними рівняннями), область інтегрування поділяють на декілька частин так, щоб кожну область можна було описати системами нерівностей, формули (1.7) або (1.8).

Рис. 11	Приклад 1.1. Розбиття області інтегрування на правильні у напряму осі ОУ області А, В, С (рис. 11), які описуються нерівностями:
Рис. 12	Приклад 1.2. Розбиття області інтегрування на правильні у напряму осі ОХ області (рис. 12), які описуються нерівностями:

Подвійні інтеграли обчислюють окремо для кожної з правильних областей. Для одержання відповіді всі обчисленні значення подвійних інтегралів сумують.

При розбитті області інтегрування, як показано у прикладі 1.1, подвійний інтеграл обчислюється як сума трьох інтегралів:

Кожен з подвійних інтегралів заміняють на повторний інтеграл:

При розбитті області інтегрування, як показано у прикладі 1.2, подвійний інтеграл обчислюється як сума чотирьох інтегралів:

Кожен з подвійних інтегралів заміняють на повторний інтеграл:

5. Застосування подвійних інтегралів.

Подвійні інтеграли мають важливе геометричне, механічне, фізичне та інше застосування. Ідею обчислення подвійних інтегралів, як границі інтегральної суми нескінченно малих, використовують при створенні математичних моделей для обчислення значень геометричних, фізичних та інших величин.

Розглянемо деякі приклади застосування подвійного інтеграла.

1. Геометричний зміст подвійного інтеграла.

1.1. За допомогою подвійних інтегралів обчислюють об’єм циліндричних тіл, при умові, що підінтегральна функція невід’ємна в областіD. При складанні інтегральної суми вважають, що значення функції (висота тіла ) в межах елементарної частини розбиття області інтегруванняD є сталою (рис. 12), тому об’єм елементарного тіла можна обчислити за формулою об’єму паралелепіпеда, .

Об’єм всього циліндричного тіла, обмеженого зверху деякою поверхнею, дорівнює границі інтегральної суми:

.

Рис.13

Приклад 1.3. Об’єм циліндричного тіла (рис.13), обмеженого зверху поверхнею , знизу площиною, з боку циліндричною поверхнею, де – рівняння межі області інтегрування D в площині ХОУ, дорівнює подвійному інтегралу . Межа області інтегрування є напрямною циліндричної поверхні, твірна якої паралельна до осі OZ.

1.2.Якщо підінтегральна функція є сталою і дорівнює одиниці,

, то значення подвійного інтеграла чисельно дорівнює площі області інтегрування D:

.

2. Маса неоднорідної пластини.

Якщо для пластини розподіл густини в межах області D визначається

функцією , то її маса її дорівнює

.

При складанні інтегральної суми вважають, що густина в межах елементарної частини розбиттяобластіD є сталою, тому маса частини розбиття обчислюється за формулою маси однорідної пластини . Маса всієї неоднорідної пластини дорівнює границі інтегральної суми:

.

Подвійні інтеграли застосовуються у фізиці також для обчислення центра маси пластини, статистичних моментів відносно координатних осей, моменту інерції пластини.

1. Тести для перевірки

базових знань на рівні понять, означень, формулювань

по темі "Подвійний інтеграл"

1. Інтегральну суму функції по області D обчислюють за формулою:

а) ; б);

в) ; г);

д) .

Вказати всі вірні відповіді (підкреслити).

2. Подвійні інтеграли розглядають по області, для якої визначена площа. Така область називається …. .

У речення вставити потрібне слово.

3. Значення подвійного інтеграла від функції по областіD

залежить від способу розбиття області інтегрування на частини.

а) Так; б) Ні.

Вказати вірну відповідь (підкреслити).

4. Значення подвійного інтеграла від функції по областіD залежить від вибору проміжних точок у частинах розбиття області.

а) Так; б) Ні.

Вказати вірну відповідь (підкреслити).

5. Метрика на евклідовій площині визначається за формулою:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) інша відповідь.

Вказати вірну відповідь.

6. Метрика на евклідовій площині – це функція, множина значень якої:

а) співпадає з множиною дійсних чисел R;

б) відповідає проміжку ( 0; +);

в) відповідає проміжку [ 0; +);

г) відповідає проміжку ( – ; 0 );

д) інша відповідь.

Вказати вірну відповідь.

7. Метрика дорівнює нулю, якщо точки евклідової площини ….. , тобто .

У речення вставити потрібне слово.

8. Достатньою умовою інтегровності функції в замкненій квадровній областіD є умова ……. функції в цій області .

У речення вставити потрібне слово.

9. Якщо область D евклідової площини можна розмістити у колі скінченного радіуса, то така область називається ….. .

У речення вставити потрібне слово.

10. Якщо будь-які дві точки області D евклідової площини можна сполучити ламаною, яка цілком складається з точок цієї області, то область називають ….. областю.

У речення вставити потрібне слово.

11. Точку області D евклідової площини, у будь-якому відкритому колі якої, що містить її, є як точки, що належать цій області, так і точки, які їй не належать називають …… точкою області.

У речення вставити потрібне слово.

12. Областьевклідової площини, яка включає як внутрішні, так і всі точки своєї межі, називають …. областю.

У речення вставити потрібне слово.

13. Якщо існує границя інтегральної суми функції , то функція називається …… в області D.

У речення вставити потрібне слово.

14. Якщо область інтегрування є правильною в напряму осі ОХ, то її можна описати системою нерівностей:

а) ; б) ;

в) ; г).

Вказати всі вірні відповіді (підкреслити).

15. Якщо область інтегрування є правильною в напряму осі ОУ, то її можна описати системою нерівностей:

а) ; б) ;

в) ; г).

Вказати всі вірні відповіді (підкреслити).

16. При інтегруванні складних неправильних областей їх:

а) розбивають на частини;

б) поділяють на правильні області;

в) область описують аналітично;

г) інша відповідь (дати свою відповідь).

Вказати вірну відповідь (підкреслити).

17. Якщо підінтегральна функція є лінійною комбінацією скінченної кількості інтегрованих функцій, то подвійний інтеграл дорівнює аналогічній лінійній комбінації подвійних інтегралів від кожної функції окремо.

а) Так; б) Ні.

Вказати вірну відповідь (підкреслити).

18. В якій з областей підінтегральна функція є інтегровною,

.

а) ; б); в);

г)

Вказати всі вірні відповіді (підкреслити).

19. Які з вказаних областей обмежених кривими іє правильними у напряму осіОУ:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Вказати всі вірні відповіді (підкреслити).

20. Які з вказаних областей обмежених кривими іє правильними у напряму осіОХ:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Вказати всі вірні відповіді (підкреслити).

21. Які з областей є правильними в напряму осі ОУ:

а)

б)

в)

Вказати всі вірні відповіді (підкреслити).

22. Для області інтегрування D вказати вірний запис переходу від подвійного інтеграла до повторного.

Дуга описується функцією. Дуга описується функцією. Дуга описується функцією. Дуга описується функцією.

а) ; б) ;

в) ;г)

Вказати вірну відповідь (підкреслити).

Для області інтегрування D вказати вірний запис переходу від подвійного інтеграла до повторного.

а) ; б) ;

с); d) .

Вказати вірну відповідь (підкреслити).