2. Приклади розв’язання задач Приклад 1.1

Обчислити повторний інтеграл Побудувати область інтегрування.

Розв’язання

Крок 1. Побудуємо область інтегрування. Перевіримо виконання достатніх умов існування подвійного інтеграла.

1.Областю інтегрування є прямокутник. Це квадровна область. 2.Підінтегральна функція є неперервною в області інтегрування. Область інтегрування є правильною в напряму обох осей.

Повторний інтеграл

розглядається з урахуванням, що область є правильною в напряму осі ОУ.

Крок 2. Обчислимо внутрішній інтеграл.

Скориставшись властивістю лінійності визначеного інтеграла, розкладемо внутрішній інтеграл на алгебраїчну суму двох визначених інтегралів. При інтегруванні по змінній у змінну х можна винести за знак інтеграла, як сталу незалежну від змінної у:

.

Крок 3. Підставимо знайдену функцію у зовнішній визначений інтеграл і обчислимо його,

.

Приклад 1.2

Обчислити повторний інтеграл Побудувати область інтегрування.

Розв’язання

Крок 1. Побудуємо область інтегрування. Перевіримо виконання достатніх умов існування подвійного інтеграла.

1.Областю інтегрування є трапеція. Це квадровна область. 2.Підінтегральна функція є неперервною в області інтегрування. Область інтегрування є правильною в напряму обох осей, але в напряму осі ОУ нижню межу утворює відрізок прямої , а верхня межа області складається з двох відрізків різних прямих: та,

У напряму осі ОХ нижню межу утворює відрізок прямої , а верхню межу утворює відрізок прямої. Таким чином, заміну подвійного інтеграла на повторний доцільніше виконати у напрямку осіОХ:

Крок 2. Обчислимо внутрішній інтеграл, розклавши його на алгебраїчну суму інтегралів. При інтегруванні по змінній х змінну у можна винести за знак інтеграла, як сталу незалежну від змінної х:

Крок 3. Підставимо знайдену функцію у зовнішній визначений інтеграл і обчислимо його,

.

Приклад 1.3

Для області D, яка обмежена прямими ,, гіперболою, та віссюОХ, , для та, записати подвійний інтеграл від функції

у вигляді повторних, взятих у різних напрямах.

Розв’язання

Зміна порядку інтегрування приводить до зміни меж інтегрування, що

може суттєво впливати на характер обчислень. Тому необхідно намагатися

обирати той із варіантів заміни на повторні інтеграли, при якому можна простіше виконати обчислення.

Крок 1. Побудуємо область інтегрування. Перевіримо виконання умов існування подвійного інтеграла.

1. Припустимо, що підінтегральна функція неперервна в області інтегрування.

2. Область інтегрування є квадровною замкненою обмеженою областю.

З рисунку видно, що ця область є правильною в напряму обох осей. Але в обох напрямах при інтегруванні необхідно її розбивати на дві частини, як показано на рисунку.

Розбиття області інтегрування в напряму осі ОУ.

Розбиття області інтегрування в напряму осі ОХ.

Крок 2. Знайдемо кутові точки області інтегрування. Область має чотири кутові точки.

– Точка О – початок координат .

– Точка С перетину прямої і осі абсцисОХ , її координати .

– Точка А перетину прямої і гіперболи.

Знайдемо координати точки А, розв’язавши систему:

Підставимо значення невідомого у з першого рівняння в друге, одержимо рівняння:

.

Рівняння має два корені: ,. Виходячи з умови задачі, вибираємо додатний корінь. Знайдемо ординату кутової точкиА. Підставимо значення у рівняння, одержимо.

Координати точки .

– Точка В перетину прямої і гіперболи. Знайдемо її координати, підставивши значенняв рівняння гіперболи:, звідси. Координати точки.

Кутові точки області інтегрування мають координати ,,,.

Варіант 1

Крок 1.3. Область інтегрування D є правильною в напрямі осі ОУ. Нижня межа відповідає відрізку осі абсцис Але її верхня межа складається з двох ланцюгів: відрізка ОА і дуги гіперболи АВ. Поділимо область на дві частини,, так, щоб межа кожної частини відповідала одному з ланцюгів. Опишемо кожну частину областіаналітично за допомогою системи нерівностей.

1. Область .

Інтервал зміни значень змінної х встановимо у відповідності до значень абсцис кутових точок іобласті інтегрування.

Значення змінної у в межах області інтегрування обмежені знизу величинами ординат точок осі абсцис,, а зверху відрізком прямої.

Отже,

:

2. Область .

Інтервал зміни значень змінної х встановимо у відповідності до значень

абсцис кутових точок іобласті інтегрування.

В межах області інтегрування значення змінноїу обмежені величинами ординатами знизу точок осі абсцис, , а зверху точок дуги гіперболи.

Отже,

:

Крок 1.4. Складемо подвійний інтеграл:

Крок 1.5. Запишемо його через повторні інтеграли, скориставшись аналітичним описом областей інтегрування і:

Варіант 2

Крок 2.3. Область інтегрування D є правильною в напрямі осі ОХ. Але її верхня межа складається з двох ланцюгів: відрізка ВС і дуги гіперболи АВ. Поділимо область на дві частини,, так, щоб межа кожної частини відповідала одному з ланцюгів. Опишемо кожну частину областіаналітично за допомогою системи нерівностей.

3. Область .

Інтервал зміни значень змінної х встановимо у відповідності до значень абсцис кутових точок іобласті інтегрування.

Значення змінної у в межах області інтегрування обмежені знизу величинами ординат точок осі абсцис,, а зверху відрізком прямої.

Отже,

:

4. Область .

Інтервал зміни значень змінної х встановимо у відповідності до значень

абсцис кутових точок іобласті інтегрування.

Значення змінної у в межах області інтегрування обмежені знизу величинами ординат точок осі абсцис,, а зверху дугою гіперболи.

Отже,

:

Крок 1.7. Підставимо знайдену функцію у зовнішній інтеграл і обчислимо його,

.

Площа області інтегрування дорівнює .