- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Случайные события
- •Действия над событиями
- •Свойства операций над событиями
- •Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре. Тема 1. События. Основные операции над событиями Лекция 1
- •Семинар 1
- •Домашнее задание 1 – Тема 1.
- •Свойства относительной частоты
- •Свойства статистической вероятности
- •Классическое определение вероятности
- •Свойства «классической» вероятности
- •Полезный алгоритм
- •Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре. Тема 2 Лекция 2
- •Семинар 2
- •Домашнее задание 2 – Тема 2.
- •Классическое определение вероятности
- •Домашнее задание 2 – Тема 2.
- •Классическое определение вероятности
- •Тема 2.1. Элементы комбинаторики. Правило суммы и правило произведения. – 4 часа 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие Элементы комбинаторики
- •Правило произведения
- •Правило сложения (суммы)
- •Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре 2.1.
- •Домашнее задание 2.1 – Тема 2.1 Элементы комбинаторики: Правило Суммы, Правило Произведения
- •Тема 3. Элементы комбинаторики. Понятие о «схеме выбора». Схема выбора без возвращения: Перестановки, Размещения, Сочетания. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Соединения. Виды соединений
- •Перестановки
- •Размещения
- •Сочетания
- •Свойства Сочетаний (биномиальных коэффициентов)
- •Семинар 3
- •Домашнее задание 3 – Тема 3. Элементы комбинаторики: Перестановки, Размещения, Сочетания
- •Тема 4. Элементы комбинаторики. Схема выбора с возвращением: Размещения, Сочетания, Перестановки с повторением – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Размещения с повторениями
- •Сочетания с повторениями
- •Перестановки с повторениями
- •Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре. Тема 4.
- •Лекция 4
- •Семинар 4
- •Домашнее задание 4 - Тема 4.
- •Тема 5. Геометрическое определение вероятности. Субъективная вероятность. Примеры вычисления вероятностей. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие Субъективная вероятность
- •Геометрическое определение вероятности
- •Свойства геометрической вероятности
- •Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре 5. Тема 5. Геометрическая вероятность
- •Домашнее задание 5 - Тема 5. Геометрическая вероятность
- •Тема 6. Независимость событий. Вероятность произведения событий. Вероятность суммы событий. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Независимость событий
- •Тема 6. Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре 6 Лекция 6
- •Семинар 6 Дополнительное задание
- •Домашнее задание 6 – Тема 6. Формулы вероятности суммы и произведения событий
- •Тема 7. Независимость событий. Условные вероятности. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие Условные вероятности
- •Полезный алгоритм
- •Тема 7. Независимость событий. Условная вероятность Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре 7 Лекция 7
- •Семинар 7
- •Тема 8. Формула полной вероятности. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Тема 8. Задачи, рассмотренные на Лекции 8
- •Тема 8. - Домашнее задание 8. Формула полной вероятности
- •Тема 9. Формула Байеса (формула гипотез, формула апостериорной вероятности). – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре 9
- •Домашнее задание 9. – Тема 9 – Теорема Байеса
- •Тема 10. Схема повторных независимых испытаний с двумя исходами. Схема Бернулли. Теорема и Формула Бернулли. - 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Формула Бернулли
- •Случай нескольких исходов
- •Вероятность появления рассматриваемого события не менее m раз
- •Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре 10. Тема 10. Формула Бернулли Лекция 10
- •Семинар 10
- •Домашнее задание 10 – Тема 10. Схема Бернулли
- •Тема 11. Приближенные вычисления в схеме Бернулли. Формулы Пуассона, Муавра – Лапласа. Алгоритмы вычислений. Гауссиана. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Формула Пуассона
- •Алгоритм использования функции Гаусса в приближенных вычислениях
- •Алгоритм использования функции ф(х) в приближенных вычислениях
- •Задачи, рассмотренные на Лекции.
- •Тема 11. - Формулы Пуассона и Муавра – Лапласа
- •Домашнее задание 11. -Тема 11. Формулы Пуассона и Муавра – Лапласа. Кривая вероятностей (Гауссиана). Закон больших чисел
- •Тема 12. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Свойства биномиальных коэффициентов. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие Свойства Сочетаний (биномиальных коэффициентов)
- •Треугольник Паскаля
- •Задачи, рассмотренные на Лекции 12. Бином Ньютона
- •Домашнее задание 12 – Тема 12. Бином Ньютона
- •Дискретная случайная величина
- •Закон распределения дискретной случайной величины
- •Математические операции над дискретными случайными величинами
- •Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре. Тема 13
- •Домашнее задание 13 – Тема 13. Случайная величина (св).
- •Тема 14. Числовые характеристики случайной величины. «Меры положения»: среднее арифметическое, среднее геометрическое, мода, медиана. «Меры рассеяния»: дисперсия, эксцесс, асимметрия.
- •«Меры положения»
- •1. Средняя арифметическая величина. Понятие средней арифметической
- •Свойства средней величины
- •2. Мода
- •3. Медиана
- •Вариация массовых явлений. «Меры рассеяния»
- •4. Размах (интервал изменения)
- •5. Математическое ожидание
- •Свойства математического ожидания
- •6. Дисперсия и среднеквадратическое (стандартное) отклонение
- •Алгоритм вычисления дисперсии
- •Свойства дисперсии
- •7. Коэффициент вариации
- •Моменты распределения и показатели его формы. Центральные моменты распределения
- •9. Коэффициент асимметрии
- •10. Коэффициент эксцесса
- •Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре 14
- •Домашнее задание 14. Тема 14 – Числовые характеристики случайной величины. Закон распределения св
- •Плотность распределения
- •Сходство и различия между законом распределения и плотностью распределения
- •Свойства плотности вероятности
- •Нормальный закон распределения
- •Свойства кривой вероятностей
- •Тема 16 – Понятие о биномиальной случайной величине. Основные характеристики биномиального распределения – 2 часа лекции Понятие о биномиальной случайной величине
- •Вопросы для контроля
- •Вопросы к зачету по теории вероятностей и математической статистике
- •Рекомендуемая литература
Свойства кривой вероятностей
1). Функция - четная, т.е.и, следовательно, график функции симметричен относительно оси ординатОу.
2). Наличие симметрии относительно оси Оу позволяет для функции рассматривать только её значения.
3). В точке х = 0 функция имеет максимум, значение которого равно
.
4). С увеличением аргумента х функция убывает, причем это убывание происходит достаточно быстро и уже прих 4 значения функции= 0.
5). При , т.е. осьОх является горизонтальной асимптотой.
Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре 15 – Нормальное распределение.
Примеры. С помощью стандартных таблиц найти следующие вероятности:
а); б) в)г)
Задача 1–Т15. Найти вероятность попадания в интервал (-2; 3) для нормально распределенной случайной величины с параметрами МХ = 2; .
Задача 2–Т15 (самостоятельно). Вычислить , еслиХ.
Задача 3–Т15. Предполагая, что случайная величина Х, определяемая как масса таблетки, наугад выбранной из некоторой партии таблеток, подчиняется нормальному распределению с математическим ожиданием = 0,5 г, и средним квадратичным отклонением σ = 0,1 г, найти вероятность того, что масса наугад выбранной таблетки окажется в пределах от 0,45 до 0,55 г.
Задача 4–Т15. Вес пачек с рисом, расфасованных фирмой «Новый рис», является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 1 кг и стандартным отклонением 10 г. Какой процент пачек имеет вес:
а) от 990 г до 1020 г? б) более 1020 г? в) менее 990 г (самостоятельно)?
Задача 5–Т15. Игральная кость, используемая мошенниками, подверглась испытаниям, в результате которых были установлены вероятности выпадения граней (т.е. построен закон распределения СВ Х - количество выпавших очков):
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Р |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
Вычислить вероятность того, что при 50 бросках среднее количество очков будет заключено между 3 и 4.
Задача 6–Т15. Найти такое число С, что .
Задача 7-Т15. Вес пачек с рисом, расфасованных фирмой «Новый рис», является нормально распределенной СВ с математическим ожиданием 1 кг и стандартным отклонением 10 г. Проверка показала, что 2,5% выпускаемых пачек имеют вес меньше минимального допустимого стандартом. Каков этот минимальный вес?
Задача 8-Т15. Случайная величинаХ, распределенная по нормальному закону, представляет собой ошибку измерения некоторого расстояния. При измерении допускается систематическая ошибка в сторону завышения на 1,2 м; стандартное отклонение ошибки измерения равно 0,8 м. Найти вероятность того, что отклонение измеренного значения от истинного не превзойдет по абсолютной величине 1,6 м.
Домашнее задание 15. Тема 15 – Нормальное распределение.
Задача 1Д-Т15. Для нормально распределенной случайной величины определить:
а) Р(12 < X < 14);
б) Р(8 < X < 12), если МХ = 10, σ = 4.
Задача 2Д-Т15. При взвешивании получается ошибка, подчиненная нормальному закону с σ = 20. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей 10.
Задача 3Д-Т15. Диаметр детали, изготовленной в цехе, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Дисперсия равна 0,0001 и математическое ожидание равно 2,5. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключен диаметр наудачу взятой детали.
Задача 4Д-Т15. Полагая, что рост мужчин определенной возрастной группы есть нормально распределенная случайная величина Х с параметрами МХ = 73, σ2 = 36, определить:
а) выражение плотности вероятности и функции распределения случайной величины Х;
в) квантиль х0,7 и 10%-ю точку случайной величины Х;
c) сформулировать «правило трех сигм» для случайной величины Х.
Задача 5–Т15. Найти математическое ожидание и дисперсию нормально распределенной случайной величины, принимающей значения от 3,5 до 10,1.
Задача 6Д-Т15. Пусть вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону распределения с МХ = 375 г и σ = 25 г. Найти вероятность того, что вес пойманной рыбы будет от 300 до 425 г.
Задача 7Д–Т15. Среди 20 книг, стоящих на полке, 8 книг - по математической статистике. Случайная величина X - число книг по математической статистике из четырёх случайно взятых с этой полки книг. Составить ряд распределения, найти функцию распределения, построить её график и найти все числовые характеристики.
Задача 8Д–Т15. В таблице приведен закон распределения случайной дискретной величины X, которая может принимать 5 значений. Найти:
а) её числовые характеристики (среднее, математическое ожидание, дисперсию и СКО, коэффициенты вариации, асимметрии и эксцесса);
б) функцию распределения;
в) вероятность того, что X примет значение меньше M(X);
г) вероятность того, что X примет значение больше 0,5 M(X).
Х |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
Р |
0,1 |
0,2 |
0,5 |
0,1 |
0,1 |
Задача 9Д-Т15. Найти число С такое, что .
Задача 10Д-Т15. Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0,2: а) составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом, из четырех посаженных кустов;
б) определить математическое ожидание;
в) определить дисперсию и стандартное отклонение.