Свойства Сочетаний (биномиальных коэффициентов)
Сочетания
-
при
,
т.е. числа
…,
используются
в формуле бинома
Ньютона.
Их
достаточно часто называют
биномиальными коэффициентами, поскольку
они являются коэффициентами в разложении
бинома Ньютона.
1.
«Правило
симметрии»:
для всех m
= 0, 1, …, n
(записывается:
)
«Правило
симметрии» удобно использовать в
расчетах количества сочетаний
,
еслиm
превышает половину объема исходного
множества, т.е. m
>
2. Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2n, т.е.
.
3.
Правило
Паскаля:
Как вычислять факториал? Формула Стирлинга
Если абсолютная
точность не требуется, для вычисления
факториала при
можно использовать приближённую формулу
Стирлинга:
Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре 3. Тема 3.
Элементы комбинаторики: Перестановки, Размещения, Сочетания
Задача 1-Т3. Составить различные перестановки из элементов множества Е = {2, 7, 8}. Подсчитайте их число.
Задача 2-Т3. Сколькими способами можно распределить пять должностей между пятью лицами, избранными в президиум спортивного общества.
Задача 3-Т3. Сколькими способами можно расставить на полке 5 различных книг?
Задача 4-Т3. Сколько различных чисел можно составить из четырех цифр 0, 1, 2, 3, если ни одна из цифр не будет повторяться?
Задача 5-Т3. Сколькими способами можно разложить m = 2 пронумерованных шара в n = 4 пронумерованные корзины так, чтобы в каждой корзине оказалось не более одного шара?
Пример.
Упростить форму записи следующих
выражений (k
– натуральное число,
):
1) 7!·8 = 8!;
2) 16·15! = 16!;
3) 12!·13·14 = 14!;
4)
5)
6)
7)
8)
.
Задача
6-Т3.
Решить уравнение относительно n:
Задача 7-Т3. Сколько различных двузначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 при условии, что в каждой записи нет одинаковых цифр?
Задача 8-Т3. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из нечетных цифр 1, 3, 5, 7, 9, если каждую цифру использовать только один раз?
Задача 9-Т3. Составить различные размещения по 2 из элементов множества D = {а, b, c} и подсчитать их число.
Задача 10-Т3. Найти число размещений из четырех элементов a, b, c, d по два.
Задача
11-Т3.
Решить относительно n
уравнение
.
Задача 12–Т3. В Президиум собрания избраны 8 человек. Сколькими способами они могут распределить между собой обязанности Председателя, секретаря и счетчика?
Пример.
Вычислить
Задача 10-Т3. Сколькими способами можно выбрать из четырех корзин – две?
Задача 11–Т3. Сколькими различными способами можно избрать из 10 человек комиссию в составе трех человек?
Задача 12-Т3 (для самостоятельного решения). Из восьми намеченных кандидатов следует избрать трех счетчиков, которые будут участвовать в переписи населения. Сколькими способами это можно сделать?
Задача 13-Т3. Сколькими способами можно выбрать из четырех корзин – две?
Задача 14–Т3. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 2 карты?
Задача 15–Т3. Сколькими различными способами можно избрать из 10 человек комиссию в составе трех человек?
Задача 16-Т3 (для самостоятельного решения). Из восьми намеченных кандидатов следует избрать трех счетчиков, которые будут участвовать в переписи населения. Сколькими способами это можно сделать?
Задача 17-Т3. Составить различные сочетания по 2 из элементов множества D = {a, b, c}. Подсчитайте их число.
Задача 18-Т3. В лотерее нужно зачеркнуть любые 8 чисел из 40. Сколькими способами это можно сделать?
Задача 19-Т3. В партии из 23 деталей 10 бракованных. Вынимают наугад две детали из партии. Определить вероятность того, что обе детали окажутся бракованными.
Задача 20-Т3. «Проказница Мартышка, Осел, Козел и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Мишке поручили выбрать 4 любых инструмента из имеющихся 11.
а). Найти число всевозможных выборов инструментов;
б). Найти число всевозможных рассаживаний участников квартета с выбранными четырьмя инструментами (инструменты, как в басне Ивана Андреевича Крылова, занимают четко отведенные позиции);
в). Сколько всего инструментальных составов квартета может получиться?