- •Теми практичних занять
- •Теми лабораторних занять
- •7. Самостійна робота
- •Тест «трикутник»
- •Варіант 1
- •20. В прямую призму, основанием которой является прямоугольный треугольник с углом и гипотенузой с, вписана сфера. Найдите объем призмы.
- •25. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Найдите объем пирамиды, если радиус шара, описанного около нее, равенR.
- •Варіант 2
- •23. В шар радиуса r вписана правильная треугольная пирамида, боковые грани которой наклонены под углом к основанию. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
- •24. В конус вписана правильная четырехугольная пирамида, высота которой равна см, а плоский угол при вершине. Найдите объем конуса.
- •Варіант 3
- •Варіант 4
- •24. Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна d. Боковое ребро образует с высотой угол . Найдите объем описанного шара.
- •25. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Найдите объем пирамиды, если радиус вписанного в нее шара равенr.
- •Варіант 5.
- •25. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Найдите объем пирамиды, если радиус вписанного шара равенr.
- •22. В шар радиуса r вписана правильная четырехугольная пирамида, боковые грани которой образуют угол, равный с основанием. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
- •Варіант 7.
- •22. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна b. Угол наклона бокового ребра к основанию равен . Найдите объем вписанного шара.
- •25. В основании конуса проведена хорда длиной а, которую видно из центра основания под углом . Образующая конуса наклонена к основанию под углом. Найдите объем описанного шара.
- •Варіант 9
- •24. Угол между образующей конуса и его высотой равен . Расстояние от центра описанного около конуса шара до основания высоты равноl. Вычислите полную поверхность конуса.
- •26. Треугольник со сторонами 12 см, 17 см и 15 см вращается вокруг меньшей стороны. Найдите площадь поверхности тела вращения. Варіант 10
- •25. В шар, площадь поверхности которого s, вписан конус. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен . Определите площадь полной поверхности конуса.
- •Варіант 11
- •22. В основании конуса проведена хорда длиной b, которую видно из центра основания под углом . Угол при вершине осевого сечения конуса равен. Найдите объем описанного шара.
- •24. Основание пирамиды прямоугольная трапеция с основаниями а и b; двугранные углы при основании . Найдите объем вписанного шара.
- •25. Полная поверхность конуса равна s. Образующая его наклонена к плоскости основания под углом . Вычислите объем правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в этот конус.
- •Варіант 12
- •20. В правильной треугольной пирамиде боковая грань наклонена к плоскости основания под углом . Найдите полную поверхность пирамиды, если радиус шара, вписанного в нее, равенr.
- •21. Апофема правильной треугольной пирамиды равна h. Боковое ребро образует с высотой угол . Найдите объем описанного шара.
- •24. В конус вписан шар радиуса r. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под утлом . Найдите объем конуса.
- •Варіант 13
- •21. В основании конуса проведена хорда длиной b, которую видно из вершины под углом . Угол при вершине осевого сечения равен. Найдите площадь поверхности вписанной в конус сферы.
- •23. В шар радиуса 6 см вписана правильная четырехугольная пирамида. Какова должна быть величина высоты пирамиды, чтобы ее объем был наибольшим?
- •24. В правильную треугольную пирамиду вписан конус. Найдите объем конуса, если ребро пирамиды равно l и плоский угол при вершине пирамиды равен .
- •Варіант 14
- •22. В конус, объем которого равен V, вписана правильная пятиугольная пирамида. Найти объем пирамиды.
- •23. В цилиндр, вписанный в шар, вписан шар. Найдите отношение площадей поверхностей и объемов этих шаров.
- •Варіант 15
- •Варіант 16
- •21. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен . Найдите полную поверхность пирамиды, если радиус шара, вписанного в нее, равенR.
- •20. В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна l, а плоский угол при вершине . Найдите объем конуса, описанного около пирамиды.
- •22. Около шара описан усеченный конус, площадь осевого сечения которого s, острый угол сечения . Найдите объем шара.
- •26. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а. Боковое ребро наклонено к основанию под углом . Найдите объем вписанного шара. Варіант 18
- •22. Вокруг шара радиуса 6 см описан усеченный конус, радиусы оснований которого относятся как 4:9. Найдите боковую поверхность усеченного конуса.
- •23. В шар радиуса r вписана правильная четырехугольная пирамида, с плоским углом при вершине, равным . Найдите объем пирамиды.
- •Варіант 19
- •21. В шар вписана правильная треугольная пирамида. Какова должна быть длина высоты пирамиды, чтобы объем пирамиды был наибольшим, если радиус шара равен 3 см?
- •23. В конус вписан шар. Отношение объемов конуса и шара равно 2. Найдите отношение площадей полных поверхностей конуса и шара.
- •Варіант 20.
- •22. В прямой круговой конус вписан шар, радиус которого равен 1 м. Найдите угол между образующей конуса и его основанием, при котором объем этого конуса наименьший.
- •23. Найдите объем правильной четырехугольной призмы, если радиус описанного около нее шара равен r. Этот радиус, проведенный в вершину призмы, образует угол с боковой гранью, содержащей эту вершину.
Варіант 16
Описати методику розв’язання задачі. Для виділених задач побудувати зображення комбінацій тіл.
1. Из точки D, лежащей на гипотенузе АВ прямоугольного треугольника ABC и удаленной от вершины прямого угла на см, восставлен перпендикуляр DK к плоскости треугольника. Перпендикуляры, проведенные из точки К на катеты треугольника ABC, наклонены к плоскости треугольника под углом 45°. Найдите расстояние от вершины прямого угла треугольника ABC до точки К.
2. В параллелограмме ABCD диагональ АС равна см. Через вершину В проведена плоскость на расстоянии 5 см от диагонали АС. Проекции сторон ВС и АВ на эту плоскость равны соответственно 12 см и 9 см. Найдите длину диагонали BD.
3. Три плоскости параллельны. Одна прямая пересекает их в точках ,В2, В3, другая - в точках ,C2,C. Известно, что В1В2=4 см, С2С3=16 см, В2В3=С1С2. Найдите длины отрезков В1В3 и C1C3.
4. В треугольнике MNK МК=34 см, MN=50 см, NK=52 см. Через вершину М к плоскости треугольника проведена наклонная, проекция которой пересекает KN в точке В. Наклонная образует со сторонами MN и МК равные углы. Найдите длину MB.
5. В равнобедренном треугольнике основание и высота, проведенная к основанию, соответственно равны 48 см и 32 см. Данная точка пространства лежит на расстоянии 60 см от плоскости треугольника и на равном расстоянии от его вершин. Вычислите это расстояние.
6. Отрезки двух прямых лежат между двумя параллельными плоскостями и соответственно равны 30 см и 26 см, а их проекции на одну из этих плоскостей относятся как 9:5. Вычислите расстояние между этими плоскостями.
7. Постройте и определите вид сечения прямой четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через точки CВи точку К, которая лежит на ребре DC.
8. Точка М (2; 6; 3) - середина отрезка, концы которого находятся на оси Ох и в плоскости уz. Найдите координаты концов и длину отрезка.
9. Вычислите площадь параллелограмма ABCD, если известны координаты трех его вершин: А (9; 0; 2), В (6; 0; - 2); С (0; 3; 0).
10. Дан треугольник ABC. Найдите: внешний угол при вершине А, если А (2; - 2; - 3), В (4; - 2; - 1) и С (2; 2; 1).
11. Пусть О - центр правильного шестиугольника ABCDEF. Доказать: ;
12. В основании прямой призмы прямоугольник. Диагональ призмы равна d и образует с плоскостью основания угол , а диагональ одной из боковых граней наклонена к плоскости основания под углом. Вычислите объем призмы.
13. Основанием призмы . служит правильный треугольник ABC. Вершина Aпроектируется в центр нижнего основания. Доказать, что боковое ребро ААсоставляет со сторонами основания АВ и АС равные углы.
14. Определить боковую поверхность правильной шестиугольной пирамиды ecли сторона основания равна а, а боковая грань равновелика диагональному сечению, проведенному через диаметр основания.
15. В основании пирамиды лежит правильный треугольник. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом . Определите объем пирамиды, если наибольшее боковое ребро равноl.
16. Площади оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды 72 cми 392 см; площадь наименьшего осевого сечения 60 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.
17. Найдите полную поверхность правильной треугольной пирамиды по данному ее объему V и углу между боковой гранью и плоскостью основания.
18. Осевое сечение конуса - равносторонний треугольник. Площадь полной поверхности конуса равна 18 см. Найти площадь основания.
19. В усеченном конусе определите площадь осевого сечения, если площади оснований равны Q и q, а боковая поверхность S.
20. В основании прямой призмы лежит прямоугольник с углом между диагональю и большей стороной. Диагональ меньшей боковой грани образует с плоскостью основания угол. Площадь диагонального сечения равна Q. Найдите объем цилиндра, описанного около данной призмы.