- •Теми практичних занять
- •Теми лабораторних занять
- •7. Самостійна робота
- •Тест «трикутник»
- •Варіант 1
- •20. В прямую призму, основанием которой является прямоугольный треугольник с углом и гипотенузой с, вписана сфера. Найдите объем призмы.
- •25. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Найдите объем пирамиды, если радиус шара, описанного около нее, равенR.
- •Варіант 2
- •23. В шар радиуса r вписана правильная треугольная пирамида, боковые грани которой наклонены под углом к основанию. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
- •24. В конус вписана правильная четырехугольная пирамида, высота которой равна см, а плоский угол при вершине. Найдите объем конуса.
- •Варіант 3
- •Варіант 4
- •24. Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна d. Боковое ребро образует с высотой угол . Найдите объем описанного шара.
- •25. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Найдите объем пирамиды, если радиус вписанного в нее шара равенr.
- •Варіант 5.
- •25. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Найдите объем пирамиды, если радиус вписанного шара равенr.
- •22. В шар радиуса r вписана правильная четырехугольная пирамида, боковые грани которой образуют угол, равный с основанием. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
- •Варіант 7.
- •22. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна b. Угол наклона бокового ребра к основанию равен . Найдите объем вписанного шара.
- •25. В основании конуса проведена хорда длиной а, которую видно из центра основания под углом . Образующая конуса наклонена к основанию под углом. Найдите объем описанного шара.
- •Варіант 9
- •24. Угол между образующей конуса и его высотой равен . Расстояние от центра описанного около конуса шара до основания высоты равноl. Вычислите полную поверхность конуса.
- •26. Треугольник со сторонами 12 см, 17 см и 15 см вращается вокруг меньшей стороны. Найдите площадь поверхности тела вращения. Варіант 10
- •25. В шар, площадь поверхности которого s, вписан конус. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен . Определите площадь полной поверхности конуса.
- •Варіант 11
- •22. В основании конуса проведена хорда длиной b, которую видно из центра основания под углом . Угол при вершине осевого сечения конуса равен. Найдите объем описанного шара.
- •24. Основание пирамиды прямоугольная трапеция с основаниями а и b; двугранные углы при основании . Найдите объем вписанного шара.
- •25. Полная поверхность конуса равна s. Образующая его наклонена к плоскости основания под углом . Вычислите объем правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в этот конус.
- •Варіант 12
- •20. В правильной треугольной пирамиде боковая грань наклонена к плоскости основания под углом . Найдите полную поверхность пирамиды, если радиус шара, вписанного в нее, равенr.
- •21. Апофема правильной треугольной пирамиды равна h. Боковое ребро образует с высотой угол . Найдите объем описанного шара.
- •24. В конус вписан шар радиуса r. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под утлом . Найдите объем конуса.
- •Варіант 13
- •21. В основании конуса проведена хорда длиной b, которую видно из вершины под углом . Угол при вершине осевого сечения равен. Найдите площадь поверхности вписанной в конус сферы.
- •23. В шар радиуса 6 см вписана правильная четырехугольная пирамида. Какова должна быть величина высоты пирамиды, чтобы ее объем был наибольшим?
- •24. В правильную треугольную пирамиду вписан конус. Найдите объем конуса, если ребро пирамиды равно l и плоский угол при вершине пирамиды равен .
- •Варіант 14
- •22. В конус, объем которого равен V, вписана правильная пятиугольная пирамида. Найти объем пирамиды.
- •23. В цилиндр, вписанный в шар, вписан шар. Найдите отношение площадей поверхностей и объемов этих шаров.
- •Варіант 15
- •Варіант 16
- •21. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен . Найдите полную поверхность пирамиды, если радиус шара, вписанного в нее, равенR.
- •20. В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна l, а плоский угол при вершине . Найдите объем конуса, описанного около пирамиды.
- •22. Около шара описан усеченный конус, площадь осевого сечения которого s, острый угол сечения . Найдите объем шара.
- •26. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а. Боковое ребро наклонено к основанию под углом . Найдите объем вписанного шара. Варіант 18
- •22. Вокруг шара радиуса 6 см описан усеченный конус, радиусы оснований которого относятся как 4:9. Найдите боковую поверхность усеченного конуса.
- •23. В шар радиуса r вписана правильная четырехугольная пирамида, с плоским углом при вершине, равным . Найдите объем пирамиды.
- •Варіант 19
- •21. В шар вписана правильная треугольная пирамида. Какова должна быть длина высоты пирамиды, чтобы объем пирамиды был наибольшим, если радиус шара равен 3 см?
- •23. В конус вписан шар. Отношение объемов конуса и шара равно 2. Найдите отношение площадей полных поверхностей конуса и шара.
- •Варіант 20.
- •22. В прямой круговой конус вписан шар, радиус которого равен 1 м. Найдите угол между образующей конуса и его основанием, при котором объем этого конуса наименьший.
- •23. Найдите объем правильной четырехугольной призмы, если радиус описанного около нее шара равен r. Этот радиус, проведенный в вершину призмы, образует угол с боковой гранью, содержащей эту вершину.
22. В основании конуса проведена хорда длиной b, которую видно из центра основания под углом . Угол при вершине осевого сечения конуса равен. Найдите объем описанного шара.
23. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом при основании. Все боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом. Боковое ребро, содержащее вершину данного равнобедренного треугольника, наклонено к плоскости основания пирамиды под углом. Найдите боковую поверхность конуса, вписанного в эту пирамиду, высота которой равна h.
24. Основание пирамиды прямоугольная трапеция с основаниями а и b; двугранные углы при основании . Найдите объем вписанного шара.
25. Полная поверхность конуса равна s. Образующая его наклонена к плоскости основания под углом . Вычислите объем правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в этот конус.
26. Равнобедренная трапеция, у которой меньшее основание и боковая сторона равны а, а угол при большем основании , вращается вокруг меньшего основания. Найдите объем тела вращения.
Варіант 12
Описати методику розв’язання задачі. Для виділених задач побудувати зображення комбінацій тіл.
1. Из некоторой точки пространства к плоскости правильного треугольника, площадь которого равна см2, проведен перпендикуляр, основание которого принадлежит одной из сторон треугольника, а две другие стороны одинаково удалены от данной точки. Вычислите эти расстояния, если расстояние от точки до плоскости треугольника равно 12 см.
2. В равнобедренном треугольнике боковая сторона относится к основанию, как 7:6. Дана плоскость, которая не пересекает этот треугольник. Через вершины треугольника и центр вписанной в него окружности проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость. Вычислите длину отрезка от третьей вершины до плоскости, если длины отрезков от вершин основания треугольника до плоскости равны 40 см и 24 см, а от центра вписанной окружности равно 38 см.
3. Из точки D, лежащей на гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС, проведен отрезок DM длиной 9 см перпендикулярно плоскости треугольника. Перпендикуляры, проведенные из точки М на катеты треугольника ABC, наклонены к плоскости треугольника под углом 45°. Найдите расстояние от точки М до вершины прямого угла треугольника ABC.
4. Основания трапеции 36 см и 24 см. Через большее основание трапеции проведена плоскость на расстоянии 12 см от точки пересечения ее диагоналей. Найдите расстояние от меньшего основания трапеции до этой плоскости.
5. В круг радиуса 8 см вписан прямоугольный треугольник, острый угол которого 30°. Из центра круга О проведен перпендикуляр ОК длиной 3 см к плоскости круга. Найдите расстояние от точки К до катетов треугольника.
6. Если точка равноудалена от двух вершин треугольника и перпендикуляр, проведенный через эту точку к плоскости треугольника, проходит через третью вершину, то данный треугольник равнобедренный. Докажите это.
7. Постройте сечение правильной треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через центр основания, параллельно боковой грани пирамиды.
8. Вычислите длину диагонали BD параллелограмма ABCD, если А (1; -3; 0), В (- 2; 4; 1), С (- 3; 1; 1).
9. Дан треугольник ABC. Найдите:
внешний угол при вершине В, если В (2; - 1; - 1), А (2; 2; - 4) и С (3; - 1; - 2).
10. Даны четыре точки А (0; 1; 1), В (1; 1; 2), С (2; - 2; 2) и D (2; - 3; 1). Найдите угол между векторами и.
11. При параллельном переносе точка А (2; 1; - 1) переходит в точку А(1; - 1; 0). В какую точку переходит точка М, симметричная точке А относительно начала координат?
12. Основанием наклонной призмы служит правильный треугольник АВС со стороной а. ВершинаA проектируется в центр нижнего основания, а ребро AА, наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найти боковую поверхность призмы.
13. Основанием призмы служит параллелограмм с острым углом, равным . Боковое ребро, проходящее через вершину данного угла, равноb и составляет с прилежащими сторонами равные углы, каждый из которых равен . Найти высоту призмы.
14. Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 24см и 12 см, а высота 36 см. Через точку пересечения диагоналей проведена плоскость параллельно основаниям пирамиды. Найдите объем усеченной пирамиды, ограниченной этим сечением и нижним основанием.
15. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине. Две равные боковые грани перпендикулярны к плоскости основания, а третья - наклонена к ней под углом. Определить полную поверхность пирамиды, если меньшее боковое ребро равно d.
16. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник. Две боковые грани, содержащие стороны острого угла этого треугольника, перпендикулярны к плоскости основания. Наименьшее боковое ребро равно l, а два других боковых ребра наклонены к плоскости основания под углами и(<) Вычислите объем пирамиды.
17. Площади оснований усеченной пирамиды равны 18 ми 128 м. Определить площадь параллельного сечения, делящего высоту в отношении 2:3, начиная от меньшего основания.
18. Определить полную поверхность усеченного конуса, диагонали осевого сечения которого взаимно перпендикулярны, образующая наклонена к плоскости основания под углом в 60°, а высота равна 6 см.
19. Через вершину конуса проведена плоскость, которая образует с плоскостью основания угол . Эта плоскость пересекает основание конуса по хорде, которую видно из его вершины под углом. Найдите боковую поверхность конуса, если его высота равна h.