4.2.6 Интервальная оценка

Поскольку среднее арифметическое не совпадает полностью с истинным значением, при измерениях необходимо оценить его точность и надежность, необходимо знать, к каким ошибкам может привести замена истинного значения на его точечную оценку. Чтобы дать представление о точности и надежности оценки mв математической статистике используются так называемаяинтервальная оценка,основанная на понятиях доверительного интервала и доверительной вероятности.

Для построения доверительного интервала необходимо задаться доверительной вероятностью β – вероятностью, с которой диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене истинного значения на среднее арифметическое, будет ± ε, то есть с вероятностью β неизвестное значение параметра апопадет в интервал

I_β = (m-ε; m+ε) (4.11)

Здесь ε является абсолютной случайной погрешностью:

Δ_Сл = ε

В зависимости от вида функции распределения случайной ошибки можно построить точный или приближенный доверительный интервал. В том случае, когда случайная величина xраспределена по закону, отличному от нормального, строят приближенный доверительный интервал.

Половину длины интервала εопределяют по формуле:

(4.12)

где D- оценка дисперсии величиныx;

параметр ;

где Ф^-1(β)– обратная функция Лапласа,t_βопределяются по таблице Д9 Приложения Д в зависимости от доверительной вероятности β. Сам доверительный интервал выглядит следующим образом:

(4.13)

В том случае, когда величина xраспределена по нормальному закону строят точный доверительный интервал, определяют точное значение ε по формуле (4.12) с той разницей, что параметрt_βв данном случае – коэффициент Стьюдента и определяется он по таблице Д в зависимости от доверительной вероятности β и числа степеней свободыn– 1, гдеn- количество измерений.

4.3 Проверка однородности дисперсий

Экспериментаторы часто планируют получение выборок одинакового объема, однако, если в опытах обнаруживаются промахи, то после их исключения объемы выборок оказываются различными. В этом случае проверка однородности нескольких дисперсий, найденных по выборкам различного объема используют критерий Бартлетта. Для того чтобы при заданном уровне значимости qпроверить гипотезу об однородности дисперсии нормальных совокупностей, надо вычислить наблюдаемое значение критерия Бартлетта В =V/Cи по таблице критических точек распределенияχ²найти критическую точкуχ²_табл(q,k). Гипотеза об однородности дисперсий принимается, если

(4.14)

где В - расчетная величина;

χ²_табл- значение при уровне значимости q и числе степеней свободыk.

(4.15)

4.4 Регрессионный анализ полиномиальной модели

Зависимость Δ_М(T_t) вычисляется методом наименьших квадратов по рассчитанным значениям Δ_М и средним значениямT_tдля всех пяти заданных совокупностей данных. Зависимость Δ_М(T_t) взять квадратичной.

4.4.1 Метод наименьших квадратов для моделей с одной переменной

Метод наименьших квадратов(МНК) – основной метод статистической обработки результатов с целью получения математического описания объекта. Цель метода – получение регрессионной зависимости y=f(X₁), которая с достаточной точностью описывала бы результат эксперимента. График зависимостиy=f(X₁) – это искомая кривая. Значениям фактора Х₁, равным Х₁₁, Х₁₂, …, Х_1N, соответствуют точки на кривой. Эти точки являются значениями выходной величины, рассчитанными по уравнению регрессииf=(X1).

(4.16)

Затем находим величину _n , которая равна, приn=1,2,…., которая характеризует отклонение результата в заданной точке.

Согласно методу наименьших квадратов (МНК), оценки для коэффициентов регрессии отыскиваются из условия минимума суммы квадратов отклонения Ф:

, (4.17)

Исходя из сформированного требования, найдем формулы для вычисления коэффициента регрессии в простейшем случае квадратичной модели с единственным фактором Х₁. Это модель вида:

y=C₀+C₁Х₁+С₂Х₁² (4.18)

Для отыскания трёх неизвестных коэффициентов регрессии С₀, С₁ и С₂ надо решить следующую систему из трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:

(4.19)

Для окончательного определения характера зависимости методической погрешности от температуры рекомендуется оценить значимость коэффициентов регрессионной модели.