3.3 Расчет переходного процесса методом трапеций
Вещественную частотную характеристику (рисунок 9) заменим мало отличающимися от кривой горизонтальными и наклонными прямолинейными участками, образующими с осью ординат трапеции. Действительная ВЧХ при этом будет представлена как алгебраическая сумма трапецеидальных частотных характеристик
, (3.6)
где
‑ число трапеций.
Горизонтальные
отрезки чертим в точках экстремумов.
Первый отрезок должен начинаться из
точки
,
т.к. эта точка определяет конечное
значение переходной характеристики
.
Более тщательно нужно аппроксимировать
начальный участок ВЧХ. Конечный участок
с ординатами, меньшими по абсолютному
значению, чем
можно не принимать во внимание.
Проиллюстрируем все вышесказанное
(рисунок 10).
Р
исунок
10 – Замена вещественной частотной
характеристики трапециями
Полученные трапеции
вычертим на другом чертеже (рисунок 11)
таким образом, чтобы основание каждой
из них легло на ось
.
Рисунок 11 – Трапеции вещественной частотной характеристики
Определим параметры трапеций.
Из графиков находим
,
.
По значениям
вычислим коэффициенты наклона
(3.7)
и округлим их до ближайшего из значений 0; 0,05; 0,1; 0,15; … 0,95; 1.
Подставив численные значения, получим
.
Рассчитаем переходные процессы отдельно для каждой трапеции.
В таблице h-функций
таблица 4.2 с.222 [3] для каждой i-й трапеции
отыскивается столбец, соответствующий
значению коэффициента наклона
.
Затем для ряда значений условного
времени
выписывают соответствующие им значения
.
По значениям
и
вычисляют значения действительного
времени
и составляющей переходной характеристики
:
;
. (3.8)
Результаты оформим в таблице 5.
Таблица 5 – Расчет графиков составляющих переходной характеристики
|
Трапеция 1 |
Трапеция 2 |
Трапеция 3 | |||||||||
|
|
|
| |||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.0 |
0.000 |
0.000 |
0.000 |
0.0 |
0.000 |
0.000 |
0.000 |
0.0 |
0.000 |
0.000 |
0.000 |
|
0.5 |
0.223 |
0.006 |
0.301 |
0.5 |
0.231 |
0.001 |
-0.035 |
0.5 |
0.255 |
0.003 |
-0.051 |
|
1.0 |
0.432 |
0.012 |
0.583 |
1.0 |
0.447 |
0.003 |
-0.067 |
1.0 |
0.490 |
0.006 |
-0.098 |
|
1.5 |
0.617 |
0.018 |
0.833 |
1.5 |
0.646 |
0.004 |
-0.097 |
1.5 |
0.706 |
0.009 |
-0.141 |
|
2.0 |
0.786 |
0.024 |
1.061 |
2.0 |
0.810 |
0.006 |
-0.122 |
2.0 |
0.878 |
0.012 |
-0.176 |
|
2.5 |
0.938 |
0.029 |
1.266 |
2.5 |
0.943 |
0.007 |
-0.141 |
2.5 |
1.010 |
0.015 |
-0.202 |
|
3.0 |
1.013 |
0.035 |
1.368 |
3.0 |
1.038 |
0.009 |
-0.156 |
3.0 |
1.100 |
0.018 |
-0.220 |
|
3.5 |
1.074 |
0.041 |
1.450 |
3.5 |
1.095 |
0.010 |
-0.164 |
3.5 |
1.145 |
0.021 |
-0.229 |
|
4.0 |
1.107 |
0.047 |
1.494 |
4.0 |
1.124 |
0.011 |
-0.169 |
4.0 |
1.158 |
0.024 |
-0.232 |
|
4.5 |
1.115 |
0.053 |
1.505 |
4.5 |
1.129 |
0.013 |
-0.169 |
4.5 |
1.134 |
0.027 |
-0.227 |
|
5.0 |
1.112 |
0.059 |
1.501 |
5.0 |
1.117 |
0.014 |
-0.168 |
5.0 |
1.107 |
0.030 |
-0.221 |
|
5.5 |
1.095 |
0.065 |
1.478 |
5.5 |
1.197 |
0.016 |
-0.180 |
5.5 |
1.070 |
0.033 |
-0.214 |
|
6.0 |
1.068 |
0.071 |
1.442 |
6.0 |
1.062 |
0.017 |
-0.159 |
6.0 |
1.021 |
0.036 |
-0.204 |
|
6.5 |
1.043 |
0.076 |
1.408 |
6.5 |
1.033 |
0.019 |
-0.155 |
6.5 |
0.982 |
0.039 |
-0.196 |
|
7.0 |
1.023 |
0.082 |
1.381 |
7.0 |
1.009 |
0.020 |
-0.151 |
7.0 |
0.957 |
0.042 |
-0.191 |
|
7.5 |
1.005 |
0.088 |
1.357 |
7.5 |
0.989 |
0.021 |
-0.148 |
7.5 |
0.944 |
0.045 |
-0.189 |
|
8.0 |
0.995 |
0.094 |
1.343 |
8.0 |
0.981 |
0.023 |
-0.147 |
8.0 |
0.941 |
0.048 |
-0.188 |
|
8.5 |
0.992 |
0.100 |
1.339 |
8.5 |
0.977 |
0.024 |
-0.147 |
8.5 |
0.944 |
0.052 |
-0.189 |
|
9.0 |
0.992 |
0.106 |
1.339 |
9.0 |
0.978 |
0.026 |
-0.147 |
9.0 |
0.961 |
0.055 |
-0.192 |
|
9.5 |
0.993 |
0.112 |
1.341 |
9.5 |
0.982 |
0.027 |
-0.147 |
9.5 |
0.980 |
0.058 |
-0.196 |
|
10.0 |
0.993 |
0.118 |
1.341 |
10.0 |
0.987 |
0.029 |
-0.148 |
10.0 |
0.993 |
0.061 |
-0.199 |
|
10.5 |
0.993 |
0.124 |
1.341 |
10.5 |
0.991 |
0.030 |
-0.149 |
10.5 |
1.007 |
0.064 |
-0.201 |
|
11.0 |
0.993 |
0.129 |
1.341 |
11.0 |
0.991 |
0.031 |
-0.149 |
11.0 |
1.014 |
0.067 |
-0.203 |
|
11.5 |
0.991 |
0.135 |
1.338 |
11.5 |
0.989 |
0.033 |
-0.148 |
11.5 |
1.017 |
0.070 |
-0.203 |
|
12.0 |
0.988 |
0.141 |
1.334 |
12.0 |
0.987 |
0.034 |
-0.148 |
12.0 |
1.019 |
0.073 |
-0.204 |
|
12.5 |
0.986 |
0.147 |
1.331 |
12.5 |
0.986 |
0.036 |
-0.148 |
12.5 |
1.018 |
0.076 |
-0.204 |
|
13.0 |
0.985 |
0.153 |
1.330 |
13.0 |
0.987 |
0.037 |
-0.148 |
13.0 |
1.014 |
0.079 |
-0.203 |
|
13.5 |
0.984 |
0.159 |
1.328 |
13.5 |
0.988 |
0.039 |
-0.148 |
13.5 |
1.010 |
0.082 |
-0.202 |
|
14.0 |
0.985 |
0.165 |
1.330 |
14.0 |
0.991 |
0.040 |
-0.149 |
14.0 |
1.008 |
0.085 |
-0.202 |
|
14.5 |
0.988 |
0.171 |
1.334 |
14.5 |
0.996 |
0.041 |
-0.149 |
14.5 |
1.005 |
0.088 |
-0.201 |
|
15.0 |
0.991 |
0.176 |
1.338 |
15.0 |
1.000 |
0.043 |
-0.150 |
15.0 |
1.002 |
0.091 |
-0.200 |
|
15.5 |
0.996 |
0.182 |
1.345 |
15.5 |
1.004 |
0.044 |
-0.151 |
15.5 |
1.001 |
0.094 |
-0.200 |
|
16.0 |
0.998 |
0.188 |
1.347 |
16.0 |
1.007 |
0.046 |
-0.151 |
16.0 |
1.000 |
0.097 |
-0.200 |
|
16.5 |
1.002 |
0.194 |
1.353 |
16.5 |
1.009 |
0.047 |
-0.151 |
16.5 |
1.001 |
0.100 |
-0.200 |
|
17.0 |
1.005 |
0.200 |
1.357 |
17.0 |
1.010 |
0.049 |
-0.152 |
17.0 |
0.999 |
0.103 |
-0.200 |
|
17.5 |
1.006 |
0.206 |
1.358 |
17.5 |
1.010 |
0.050 |
-0.152 |
17.5 |
0.997 |
0.106 |
-0.199 |
|
18.0 |
1.008 |
0.212 |
1.361 |
18.0 |
1.010 |
0.051 |
-0.152 |
18.0 |
0.997 |
0.109 |
-0.199 |
|
18.5 |
1.007 |
0.218 |
1.359 |
18.5 |
1.009 |
0.053 |
-0.151 |
18.5 |
0.995 |
0.112 |
-0.199 |
|
19.0 |
1.006 |
0.224 |
1.358 |
19.0 |
1.006 |
0.054 |
-0.151 |
19.0 |
0.993 |
0.115 |
-0.199 |
|
19.5 |
1.005 |
0.229 |
1.357 |
19.5 |
1.004 |
0.056 |
-0.151 |
19.5 |
0.992 |
0.118 |
-0.198 |
|
20.0 |
1.005 |
0.235 |
1.357 |
20.0 |
1.002 |
0.057 |
-0.150 |
20.0 |
0.992 |
0.121 |
-0.198 |
|
20.5 |
1.004 |
0.241 |
1.355 |
20.5 |
1.001 |
0.059 |
-0.150 |
20.5 |
0.994 |
0.124 |
-0.199 |
|
21.0 |
1.004 |
0.247 |
1.355 |
21.0 |
1.001 |
0.060 |
-0.150 |
21.0 |
0.997 |
0.127 |
-0.199 |
|
21.5 |
1.004 |
0.253 |
1.355 |
21.5 |
1.001 |
0.061 |
-0.150 |
21.5 |
1.000 |
0.130 |
-0.200 |
Далее построим
графики составляющих переходной
характеристики
.
Все составляющие расположим на одном
чертеже (рисунок 12) с учетом знака,
который определяется знаком высоты
соответствующей трапеции.
График переходной характеристики замкнутой системы получим путем суммирования ординат всех составляющих в равные моменты времени
. (3.9)
Р
исунок
12 – График переходного процесса и его
составляющие