3.5. Интегрирующие звенья

Различают два вида интегрирующих звеньев: идеальные и реальные. Общей особенностью интегрирующих звеньев является пропорциональность производной выходной величины мгновенному значению входной величины. Причём у идеального интегрирующего звена пропорциональность существует в любой момент времени после подачи ступенчатого воздействия, а у реального – только после завершения переходного процесса в звене.

Дифференциальное уравнение и д е а л ь н о г о и н т е г р и р у ю щ е г о

з в е н а

(3.60)

Коэффициент пропорциональности kзависит от конструктивных параметров звена и имеет размерность

(3.61)

Уравнению (3.60) равносильно интегральное соотношение

(3.62)

которое в явной форме выражает зависимость выходной величины от входной и объясняет название звена: звено интегрирует входной сигнал.

Подставляя в соотношение (3.62) можно получить переходную функцию

(3.63)

График функции h(t) показан на рис. 3.11,а(линия 1).

Импульсная переходная функция звена (рис. 3.11,б)

(3.64)

ПФ идеального интегрирующего звена

(3.65)

АФХ звена

(3.66)

н

а

в

д

б

г

е

а комплексной плоскости изображается в виде прямой, совпадающей с мнимой осью (рис. 3.11,е– линия 1).

Рис. 3.11. Характеристики идеального (1) и реального (2) интегрирующих звеньев

Амплитудно-частотная характеристика

(3.67)

представляет собой гиперболу (рис. 3.11,в– линия 1), которая при=0 стремится к бесконечности. Эту особенность можно условно (по аналогии со статическими звеньями) объяснить наличием ПК, равного бесконечности.

При увеличении частоты значения A() стремятся к нулю. Это свойство сближает интегрирующие звенья с инерционными.

ФЧХ идеального интегрирующего звена

(3.68)

показывает, что сдвиг фаз, создаваемый звеном, на всех частотах одинаков и равен –90^о(рис. 3.11,г– линия 1).

ЛАЧХ

(3.69)

представляет собой прямую с наклоном -20 дБ/декаду, проходящую через точку с координатами (рис. 3.11,д).

Рассмотрим теперь характеристики реального интегрирующего звена. Его дифференциальное уравнение

(3.70)

а передаточная функция

(3.71)

Нетрудно заметить, что звено с передаточной функцией (3.71) может рассматриваться как последовательное соединение двух элементарных звеньев (рис. 3.12,а): идеального интегрирующего с передаточной функцией 1/ри статического инерционного звена первого порядка с постоянной времениТи передаточным коэффициентомk. Поэтому все частотные характеристики реального интегрирующего звена могут быть получены по характеристикам этих простых звеньев, по соответствующим правилам перемножения комплексных величин.

Аналоговая модель реального интегрирующего звена представлена на рис. 3.12,б. Коэффициенты модели

(3.72)

Интегрирующие свойства присущи всем объектам управления, в которых происходит накопление вещества или энергии без её одновременной отдачи в окружающую среду. Классическим примером объекта с интегрирующими свойствами служит резервуар с жидкостью (рис. 3.13,а), где в качестве входной переменной рассматривать подачу жидкостиQ(м³/с), а выходной – уровень жидкостиh(м). Действительно, уравнение баланса жидкости

(3.73)

где S– площадь поверхности жидкости, м², легко приводится к уравнению вида (3.74) или (3.76). При этом коэффициент

(3.74)

Рис. 3.12. Модели реального интегрирующего звена

Рис. 3.13. Интегрирующие звенья

Интегрирующими звеньями являются также различные исполнительные двигатели и механизмы – устройства, которые перемещают регулирующие органы (шиберы, заслонки, вентили и т. п.). Входной величиной этих устройств служит обычно количество энергии или вещества, поступающих в устройство, а выходной – линейное или угловое перемещение какого-либо элемента. Степень идеальности (безынерционности) таких интегрирующих звеньев зависит от величины масс перемещающихся (вращающихся) частей исполнительного устройства и приводимого им в движение регулирующего органа.

Идеальным интегрирующим звеном можно считать (с некоторыми допущениями) гидравлический исполнительный механизм (рис. 3.13,б), у которого входной величиной является количество жидкостиQ(м³/с), поступающей в единицу времени в полость цилиндра, а выходной – перемещениеl(м), поршня со штоком. Действительно, если масса перемещающихся частей пренебрежимо мала и если усилие, создаваемое давлением гидронасоса, существенно больше сил сопротивления, то перемещение поршня определяется уравнением баланса жидкости вида (3.73), а коэффициентk– выражением (3.74).

Свойствами идеального интегрирующего звена обладает, при некоторых условиях, инерционное звено первого порядка. Например, апериодическая rC-цепь (см. рис. 3.5,а) при частотах входного воздействия>>_с=1/Тможет приближенно рассматриваться как интегрирующее звено.

Реальными интегрирующими звеньями являются электрические исполнительные двигатели постоянного и переменного токов. На рис. 3.13,визображён двухфазный асинхронный двигатель. Его входная величина – напряжение переменного токаu_у(В), приложенное к обмотке управления, выходная – угол поворота вала(град). Действующее значение напряженияu_сна обмотке возбуждения считается неизменным. При некоторых допущениях (инерционность обмотки управления пренебрежимо мала, статические механические характеристики двигателя предварительно линеаризованы, диапазон изменения напряженийu_уограничен) двигатель может быть описан передаточной функцией (3.71). Передаточный коэффициент двигателя (^о/Вс) приближённо может быть рассчитан через номинальные значения частоты вращенияn_н, (об/с), и управляющего напряженияu_у.н

(3.75)

Постоянная времени Т(с) зависит от приведённого на вал двигателя момента инерции вращающихся частейJ(кгм²⁾

(3.76)

где М_n– номинальное значение пускового объекта, Нм.

В случаях, когда исполнительный двигатель используется для управления объектом с большой инерционностью, можно постоянную времени Тне учитывать и считать двигатель идеальным интегрирующим звеном.

О б щ и е с в о й с т в а и о с о б е н н о с т и и н т е г р и р у ю щ и х з в е н ь е в.

1. После подачи ступенчатого входного воздействия x(t)=x₀1(t) выходная переменнаяy(t) неограниченно возрастает и по окончании переходного процесса изменяется по линейному закону

(3.77)

При снятии входного воздействия выходная переменная сохраняет достигнутое значение, поэтому интегрирующие звенья можно использовать в качестве запоминающих элементов (элементов с памятью).

2. В передаточную функцию обязательно входит сомножитель 1/p, поэтому

(3.78)

3. Интегрирующие звенья, как и инерционные статические, являются фильтрами низкой частоты; в режиме гармонических колебания они вносят отрицательные фазовые сдвиги.