- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Задача 1
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Задача 7
- •Задача 1
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Задача 7
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
|
|
|
|
|
|
3 |
−5c + 25c |
|
10c |
|
− 2c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.3. г) |
|
|
, c |
|
, |
2 , |
2 |
c |
, c |
|
R |
|
. |
|||||
c |
2 |
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
9 |
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.4.а) x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 .
5.4.б) {(0,2c1 + c2 , c1, c2 ) | c1, c2 R}.
Занятие 6
Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов
Аудиторная работа
6.1. Определить, для каких векторов a и b выполняются следующие условия:
1)| a +b |=| a | +| b | ,
2)| a + b |=| a | − | b | ,
3)| a +b |=| a −b | ,
4)| a +b |= 0 ,
5) |
|
a |
|
|
b |
|
. |
| |
|
= |
| |
|
|||
|
a | |
|
b |
| |
|
||
6.2. Даны |
|
векторы a = 3i −2 j +6k и b = −2i + j . Определить |
проекции на координатные оси следующих векторов:
|
1 |
|
|
|
1) − |
2 b ; |
2) 2a ; |
3) |
2a +3b . |
6.3. Проверить коллинеарность векторов a(2; −1;3) и b(−6;3; −9) .
Установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну или в противоположные стороны.
22
6.4.Найти направляющие косинусы вектора a(6;− 2;−3) .
6.5.Определить модули суммы и разности векторов a = 3i −5 j +8k
иb = −i + j −4k .
6.6.Даны точки A(−1; 2;1), B(2;1; −3),C(3;0;5) . Подобрать точку D так, чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом.
6.7. |
|
|
|
|
|
Найти (m + 2n , m −n ), если m = 2a |
+ b , n |
= a −3b , |
| a | =| b |=2; |
(a , ^ b) = π3 .
6.8. Даны вершины четырехугольника A(1; − 2; 2), B(1; 4;0),C(−4;1;1)
иD(−5; −5; 3) . Доказать, что его диагонали AC и BD взаимно
перпендикулярны. |
|
|
6.9. Вычислить внутренние |
углы треугольника |
АВС, если |
A(1;2;1), B(3;−1;7), C(7;4;−2) . |
Убедиться, что этот |
треугольник |
равнобедренный. |
|
|
6.10. Вычислить проекцию вектора a = 5i + 2 j −5k на ось вектора b = 2i − j + 2k .
Домашнее задание
6.11. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного
на векторах |
a(3; −5;8) и b(−1;1; − 4) , и косинус угла между его |
||
диагоналями. |
|
|
a(−2;1;1), b(1;5;0) и c(4; 4; − 2) . |
6.12. Даны |
три |
вектора |
|
Вычислить прc (3a −2b) . |
α векторы a = αi −3 j + 2k и |
||
6.13. При |
каком |
значении |
b= i + 2 j −αk взаимно перпендикулярны?
6.14.Векторы a и b образуют угол ϕ= π6 . Зная, что | a | = 3 , | b | = 1,
вычислить угол α между векторами p = a +b и q = a −b .
6.15. Найти координаты вектора b , коллинеарного вектору a = (2;1; −1) , при условии что (a , b) = 3 .
23
Ответы
6.2.1) 1; − 1 ; 0 . 2) (6; − 4; 12). 3) (0; −1; 12).
2
6.3.Векторы противоположно направленные, вектор b длиннее вектора a в 3 раза.
6.4. cosα = 6 ; |
|
|
cosβ = − |
2 |
; |
|
cosβ = − |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6.5. |
|
a +b |
|
= 6; |
|
|
a −b |
|
=14. |
|
|
|
6.6. D(0;1; 9). |
|
6.7.–42. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
2 . |
||||||||||||||
6.9. cos A = − |
; |
|
|
cos B = |
|
122 |
|
; cos C = |
|
122 |
|
6.10. − |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6.11. | a +b |= |
6 , |
| a −b |=14 |
, cosϕ = 21 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
6.12. прc (3a − 2b) = −11. |
|
|
|
|
|
|
|
6.13. α = −6 . |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
6.14. α = arccos |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.15. |
b |
= 1; |
2 |
;− |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Занятие 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Векторное и смешанное произведения векторов |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аудиторная работа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
7.1. Векторы |
a |
|
и |
b |
ортогональны. Зная, |
|
что |
| a |= 3, | b |= 4 , |
||||||||||||||||||||||||
вычислить: 1) |[a , b]| ; 2) |
|[a +b , a −b]| ; 3) |[(3a +b), (a −b)]| . |
|
7.2. Даны векторы a = (3; −1; −2),b = (1; 2; −1) . Найти координаты
векторных произведений: 1) [a , b]; 2) [2a +b , b]; 3) [2a −b , 2a +b] . 7.3. Даны вершины треугольника A(1; −1; 2), B(5; −6; 2), C(1; 3; −1) .
Вычислить площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC .
24
7.4. Найти вектор c , ортогональный векторам a = (2;−3;1) и
b= (1;−2;3) и удовлетворяющий условию (c,i + 2 j −7k ) =10 .
7.5.Установить, компланарны ли векторы a, b, c , если a = (2;3;−1),
b= (1; −1;3),c = (1;9; −11) .
7.6.Доказать, что четыре точки A(1; 2; −1), B(0; 1; 5), C(−1; 2; 1),
D(2;1;3) лежат в одной плоскости.
7.7. Даны |
вершины тетраэдра: A(2; 3; 1), B(4; 1; − 2),C(6; 3; 7), |
||
D(−5; − 4; 8) . Найти объем тетраэдра и длину высоты, опущенной |
|||
из вершины D . |
|
|
|
|
|
Домашнее задание |
|
7.8. Вычислить |
площадь параллелограмма, построенного |
на |
|
векторах a = (0;−1;1) и b = (1;1;1) . |
|
||
7.9. Лежат |
ли |
точки A(5;5; 4), B(3;8; 4),C(3;5;10), D(5;8; 2) |
в |
одной плоскости?
7.10. Выяснить, правой или левой будет тройка векторовa = (3;4;0),
b= (0;−4;1), c(0;2;5) .
7.11.Найти длину высоты параллелепипеда, построенного на
векторах a = i −5 j + k , b = 4i + 2k , c = i − j −k , если за основание взят параллелограмм, построенный на векторах a и b .
7.12.Вычислить синус угла, образованного векторами a =(2; −2;1)
иb = (2; 3; 6) .
Ответы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.1. 1) 12. |
2) 24. |
|
|
|
|
|
3) 48. |
7.2. 1) (5,17). |
|||||||
2) (10, 2, 14). |
3) (20, 4, 28). |
|
|
7.3. {25; 5}. |
7.4. i = (7,5,1). |
||||||||||
7.5. Компланарны. 7.7. {154 / 3,11}. |
7.8. |
|
. |
|
7.9. Не лежат. |
||||||||||
6 |
|||||||||||||||
|
|
|
16 |
|
|
|
sin ϕ = |
5 |
|
|
|
. |
|||
7.10. Левая. |
7.11. |
|
|
. |
7.12. |
17 |
|||||||||
|
|
|
|
|
21 |
|
|||||||||
3 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25