- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Задача 1
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Задача 7
- •Задача 1
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Задача 7
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
|
|
|
tg |
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 ln |
|
− 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ln |
|
|
2 tg x −1 |
|
|||||||
д) − |
2 |
|
+C . |
|
е) |
|
+ C . |
||||||||||||||||
tg x / 2 +3 |
2 tg x |
||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ж) 2 |
|
|
+ |
|
|
ln |
|
x + 2 |
2 |
|
+ C . |
|
|
||||||||||
x + 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
x + 2 + 2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з) 33x +1 − 32 3(x +1)2 +66x +1 −3ln1+3x +1 −6arctg 6x +1 +C .
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
и) |
|
x2 |
+6arctg 6 |
|
+C . |
|
|
||||||
|
x |
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 / 3 |
1/ 6 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
к) |
|
|
x |
|
|
+ 6x |
−6arctg |
|
x + C . |
||||
|
2 |
|
|
|
Занятие 6
Вычисление определенных интегралов
Аудиторная работа
6.1. Вычислить определенные интегралы:
а) |
9 |
3 |
|
|
|
dx . |
|||
∫ |
x −1 |
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
2 |
1 |
|
1/ x2 |
dx . |
||||
∫ |
|
|
|
e |
|||||
|
x3 |
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
д) |
e |
|
cos ln x |
dx . |
|||||
∫ |
|
|
|
x |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
π/ 4 |
|
|
|
|
|
|||
ж) |
|
cos x −cos3 x dx . |
|||||||
|
|
∫ |
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
б)
г)
е)
з)
3 |
|
|
x2dx |
|||||
0∫ |
|
|
|
. |
|
|
||
4 + x3 |
||||||||
e |
|
dx |
||||||
|
|
|
|
|||||
1∫ |
|
|
|
|
|
. |
||
|
x(1+ ln2 x) |
|||||||
2 |
|
|
2x −1 |
|||||
0∫ |
|
|
|
dx . |
||||
|
2x +1 |
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 − x2 dx . |
|||||
∫ |
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
100
и) |
5 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|
к) |
9 |
|
y −1 |
dy . |
||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2x |
+ 3x +1 |
|
|
|
y + 2 |
||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||
|
9 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|||
л) |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
м) |
|
|
|
|
|
|||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
∫ln x dx . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1+ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
н) |
1 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
о) |
π |
|
|
|
|
|
|||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
∫(2x +1)cos x dx . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 x2 |
+ 4x |
+ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
π/ 2 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
π/ 2 |
|
||||||||||
п) |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
р) |
∫cos5 xsin 2x dx . |
|||||||
|
1+ cos x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
−π/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||||
|
π/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
с) |
∫e2x cos x dx . |
|
т) |
∫arctg x dx . |
|||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
у) |
3 |
|
|
7x −15 |
|
|
|
|
|
dx . |
ф) |
1 |
|
t5 +1 |
dt . |
||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 −t4 |
|||||||||
|
2 x3 − 2x2 + 5x |
|
|
0 |
|
Домашнее задание
6.2. Вычислить определенные интегралы:
|
π/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) |
|
∫xcos x dx . |
|||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
8 |
x dx |
. |
|
|
|
|
|
|||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
+ x |
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
д) |
5 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2x |
+ |
|
3x |
+1 |
|||||||||
|
0 |
|
|
||||||||||
ж) |
π/ 3 |
x dx |
. |
|
|
|
|
||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
π/ 4 sin2 |
x |
|
|
|
|
|
||||||
и) |
π/ 2 |
dx |
|
|
|
|
. |
||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0 3 + 2cos x |
|
б)
г)
е)
з)
к)
e
∫ x ln2 x dx .
1
e3 |
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
1∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1+ ln x |
|
|
||||||||
e |
|
3 x dx . |
|
|
||||||
∫ln |
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3x7 − |
2x5 + x3 − x |
dx . |
||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x4 |
+ 3x2 |
+1 |
|||||
−2 |
|
|
|
|
||||||
π/ 4 |
|
|
dx |
. |
|
|||||
0∫ |
|
|
|
|
||||||
|
1+ 2sin2 x |
|
101
Ответы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6.1. а) |
45 . |
|
|
|
|
|
б) 1 ln |
31. |
в) |
1 |
(e − 4 |
|
|
). |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
e |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
π. |
4 |
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
г) |
д) |
sin1. |
е) 2 −ln 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) 0. |
з) |
π. |
2. |
6.2. а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 (e2 −1) . |
|
|
|
в) 32 . |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) |
|
|
|
|
г) 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
д) |
1 ln112 . |
|
|
|
е) 6 − 2e . |
ж) |
π(9 −4 |
|
3 |
) + |
1 ln |
2 |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
36 |
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||
|
5 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
з) 0. |
и) |
|
|
arctg |
|
. |
|
к) |
|
π |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Занятие 7
Приложения определенных интегралов
Аудиторная работа
7.1. Найти площади криволинейных фигур, ограниченных линиями:
а) |
y = ln x, |
x = e; x = e3; y = 0. |
|
|||
б) |
y = x2 + 2x, y = x + 2. |
|
|
|||
в) y2 = 2 px; |
y2 = |
4 |
(x − p)3 |
, p > |
0. |
|
|
||||||
|
|
|
p |
|
|
г) x2 + y2 = a2; x2 + y2 −2ay = a2 , y = a.
д) |
x2 − y2 = a2; y2 = |
3 |
ax; . |
|
2 |
||||
|
|
|
102
е) |
x = a cos3 t; |
y = a sin3 t. |
|
||||||
ж) |
x = 2(t −sin t); |
y = 2(1− cost), |
осью Ox. |
||||||
з) |
r = a(1+sin ϕ). |
|
|
|
|
||||
и) |
r = |
|
sin ϕ; |
r =1− cos ϕ (ввнкардиоиды). |
|||||
3 |
|||||||||
к) |
r = a cos3ϕ. |
|
|
|
|
|
|||
7.2. Найти длину дуги кривой: |
|
||||||||
а) y2 = 4x, 2 ≤ x ≤ 3. |
|
||||||||
б) y = ln x; |
|
≤ x ≤ |
|
|
|
||||
3 |
8. |
|
|||||||
в) |
y = ln cos x; |
0 ≤ x ≤ π/ 4. |
|
||||||
г) |
x = a(t −sin t); |
y = a(1−cost), |
0 ≤ t ≤ 2π. |
||||||
д) |
x = R cost ; |
y = Rsin t. |
|
||||||
е) |
x = a cos3 t, |
y = a sin3 t. |
|
||||||
ж) |
r = a(1+cosϕ). |
|
|
|
|
з) r = aϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 2π.
7.3. Найти объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривыми, около указанной оси:
а) |
y2 = 4x, x =1, Ox. |
б) |
y = x ex , x =1, y = 0; Ox. |
в) y = x2 , y2 = x; |
Oy. |
г) y = 2x − x2; y = 0, Oy. |
|
д) x = a(t −sin t), |
y = a(1−cost), Ox . |
103