- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Задача 1
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Задача 7
- •Задача 1
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Задача 7
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найти производные второго порядка от функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.1. y = cos2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.2. y = arctg x3 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.4. y = e−x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4.3. y = log2 |
3 |
1− x4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
4.5. y = |
arcsin x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.6. y = − |
|
22x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4.7. |
y = |
1 x2 (2 ln x −3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4.8. y = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2 |
|
|
+ x arcsin x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
1− x2 |
1− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4.9. |
y = − |
|
1 x sin 3x − |
|
2 |
|
cos3x . |
4.10. y = sin2 x . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4.11. y = tg x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.12. y = |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
4.13. y = (x2 −3x + 2)3 . |
|
|
4.14. y = x ex2 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.15. y = |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.16. y = (1+ x2 )arctg x . |
||||||||||||||||||||||||||
1+ x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4.17. y = |
|
|
|
|
a |
2 |
− x |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
+ x |
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.18. y = ln x |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
4.19. y = e |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.20. y = |
|
|
1− x2 arcsin x . |
|||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
4.21. y = arcsin(a sin x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4.22. y = x 1+ x2 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||
4.23. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.24. y = ln x |
|
|
+ |
|
1+ x |
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4.25. y = x ln x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.26. y = |
|
11 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78
Задача 5
Найти производные первого и второго порядков от функций, заданных параметрически:
5.1. x = t2 + 2; |
y = 1 t3 |
−1. |
|||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
5.2. x = arcsin t; |
y = 1−t2 . |
||||
5.3. x = at2; |
y = bt3 . |
|
|
||
5.4. x = cost; |
y = sin t . |
|
|
5.5. |
x = a(t −sin t); y = a(1− cos t). |
5.6. |
x = a cos2 t; y = a sin2 t . |
5.7.x = ln t; y = t2 −1.
5.8.x = arcsin t; y =ln(1−t2 ).
5.9. x = at cost; |
y = at sin t . |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
5.10. x = arccos |
|
; y = |
|
t −t2 . |
|||
t |
|||||||
5.11. x = |
1 |
; y = tgt . |
|
|
|
||
cost |
|
|
|
||||
|
|
y = ln(1+ t2 ). |
|||||
5.12. x = arctg t; |
|||||||
5.13. x = a cos3 t; |
|
y = a sin3 t . |
|||||
5.14. x = Rsin t +sin Rt; |
y = R cost + cos Rt . |
||||||
5.15. x = t2 + 2t; |
y = ln(t +1). |
||||||
5.16. x =1+ eαt ; |
y = αt + e−αt . |
79
5.17. |
x = cost +t sin t; y = sin t −t cost . |
5.18. |
x = 2 cost; y = sin t . |
5.19.x = t2; y = t + t3 .
5.20.x = e2t ; y = e3t .
5.21. |
x = 2 cos2 t; |
y = 2sin2 t . |
5.22. |
x =1+ et ; y = t + e−t . |
|
5.23. |
x = 2sin t + sin 2t; y = 2 cos t + cos 2t . |
|
5.24. |
x = et cos t; |
y = et sin t . |
5.25. |
x = e2t + 4; |
y = e3t −5 . |
Задача 6
Пользуясь правилом Лопиталя, найти пределы функций:
6.1.а)
6.2.а)
6.3.а)
6.4.а)
6.5.а)
lim 32x +1 +1 ;
x →−1 x + 2 + x
lim 1− cos αx ; x →0 1− cosβx
lim |
1− cos x |
; |
x →0 |
x2 |
|
lim x −sin x ;
x →∞ x3
eax −e−2ax
lim ( ) ; x →0 ln 1+ x
б)
б)
б)
б)
б)
lim ln x . x →0 ctg x
|
1 |
|
lim x e x |
−1 . |
|
x →∞ |
|
|
|
|
|
lim (π − 2 arctg x)ln x . |
||||
x →∞ |
|
|
|
|
|
|
tg πx |
|
|
lim |
|
2 |
|
. |
|
|
|||
x→−1+0 ln(1+ x) |
|
|||
lim |
ln(x −1). |
|
||
x→1+0 |
ctg πx |
|
80
6.6. а) |
lim |
x3 |
− 2x2 − x + 2 |
; |
|
|
x3 |
− 7x + 6 |
|||
|
x →1 |
|
|
6.7.а) lim ex −e−x − 2x ;
x→0 x −sin x
6.8. а) |
lim |
eαx −e−αx |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||
x →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
π |
− arctg |
|
− |
1 |
|||||||||
|
|
|
|
4 |
1 |
x |
|
||||||||||
6.9. а) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
x →∞ |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
6.10. а) |
lim |
|
ax −bx |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6.11. а) |
lim |
|
ex −1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x →0 sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6.12. а) |
lim |
|
ln x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x →1 |
1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6.13. а) |
lim |
|
|
ln(x2 −3) |
|
|
; |
|
|
||||||||
|
x2 + 3x −10 |
|
|
||||||||||||||
|
x →2 |
|
|
|
|
6.14.а) lim aln x −1 ;
x→1 ln x
6.15.а) lim ex −e5x ;
x→0 sin x
|
sin2 x − |
1 tg x |
|
6.16. а) limπ |
|
2 |
; |
1+ cos 4x |
|||
x→ 4 |
|
|
|
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
lim arcsin x ctg x .
x →0
xlim→∞ lnxαx (α > 0).
x100
xlim ex .
→∞
lim (1 |
− x)tg πx . |
||||
x →1 |
|
|
|
|
2 |
lim (1+ x)tg |
πx . |
||||
x →−1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
lim x2e |
x3 |
. |
|
||
x →0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
lim |
3x |
−1 x . |
|||
x →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim ex .
x →∞ x5
x1000
xlim 2x100 +1 .
→∞
1
lim x1+x .
x →∞
1
lim x1−x .
x→1
81