- •ЛЕКЦИЯ № 1
- •§ 1. Области и их границы
- •§ 3. Элементарные ФКП
- •ЛЕКЦИЯ № 2
- •§ 4. Производная ФКП. Условия Коши – Римана
- •§ 5. Аналитические ФКП
- •ЛЕКЦИЯ № 3
- •§ 7. Интеграл от функции комплексного переменного
- •§ 8. Теорема Коши
- •§ 9. Формула Коши
- •ЛЕКЦИЯ № 4
- •§ 10. Числовые и функциональные ряды ФКП
- •§ 12. Ряд Лорана ФКП
- •ЛЕКЦИЯ № 5
- •§ 13. Особые точки ФКП
- •ЛЕКЦИЯ № 6
- •Практические занятия
- •Ответы
- •ТИПОВОЙ РАСЧЕТ
- •Литература
т.е. получили разложение функции f (z)в ряд Тейлора в круге
z − a < r . Единственность этого разложения есть следствие утвер-
ждения, что любой степенной ряд есть ряд Тейлора своей суммы, ибо отсюда следует, что найденное любым способом разложение аналитической функции f(z) в степенной ряд является рядом Тейло-
ра этой функции, что и требовалось доказать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Можно доказать, что наибольший радиус r круга с центром в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точке z = a , в которой функция f(z) разлагается в ряд |
ейлора, ра- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
вен расстоянию от точки z = a до ближайшей к ней особой точки, в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
которой эта функция не является аналитической. |
|
|
|
|
Т |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Так как ряд Тейлора и формулы дифференцирования для функ- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ции КП имеют тот же вид, что и для функции действительного пе- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ременного, ряды Тейлора для функций комплексногоНпеременного |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
не отличаются по виду от рядов Тейлора для тех же функций дей- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ствительного переменного. Ряды Тейлора для |
Бфункций ez, cos z, sin |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z, ln z, (1+z)m имеют следующий в д: |
йn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
ez |
=1+ |
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
+...+ |
z |
|
|
+...; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
|
|
2! |
|
|
|
и3! n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
3 |
|
|
|
z |
5 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
z |
2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
sin z |
= z − |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
+...+ |
(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+... ; |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
3! |
5! |
7! |
|
|
(2n |
+1)! |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
z |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
z |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
тz z |
|
|
|
|
|
|
|
|
+(−1) |
|
|
|
|
|
+... ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
cos z =1 |
− |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
+... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2! |
|
4! |
|
6! |
|
|
(2n)! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
m |
|
m |
|
m(m −1) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
m(m −1)...(m −n +1) |
|
n |
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||
|
(1+ z) |
|
з |
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
+ |
...+ |
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
z |
|
+... |
||||||||||||||
|
|
=1+ |
1! z + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
о |
(z −1)2 |
|
|
(z −1)3 |
|
|
|
(z −1)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z −1)n |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
ln z = (z −1) − |
+ |
− |
+...+(−1)n−1 |
+... , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гдеа = 1. |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 12. РЯД ЛОРАНА ФКП
Рядами Тейлора представляются аналитические функции в круговых областях. Однако часто приходится рассматривать функции,
41
аналитические всюду в некоторой окрестности точки a, исключая саму точку а, т.е. аналитические в кольце вида 0 < z −a < R .
Такие функции представляются двусторонними рядами, содержащими как целые положительные, так и целые отрицательные
степени z − a вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
∞ |
|
c−n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ cn (z −a)n = ∑cn (z |
−a)n +∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
(31) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=−∞ |
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 (z −a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Слагаемые в правой части (31) называются соответственноТпра- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вильной и главной частью ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Первый ряд справа – обычный степенной ряд, сходящийся в не- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п=1 |
|
|
|
|
|
заменой |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
котором круге |
z −a |
|
< R . Второй ряд |
|
|
|
|
|
|
|
= ξ преобразу- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z −a < r, |
|
|
|
z |
a |
|
|
r. |
|
|
сходится |
Бz − a |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ется в степенной ряд |
∑с−пξп , который сходится в круге |
ξ |
< r. |
От- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
сюда |
1 |
|
|
и |
|
− |
|
> |
|
Ряд (31) |
|
|
|
в кольце r < |
|
z −a |
|
< R. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
рдится абсолютно, равномерно и его |
|||||||||||||||||||||||||
В этой области ряд (31) сх |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сумма есть аналитическая функция: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
(z −a)n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z)= ∑ cn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(32) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О ределим к эффициенты сn ряда (32). Для этого умножим р а- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
е |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
k −n−1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
в нство (32) на |
(z −a)−n−1 , получим |
|
|
|
= |
∑ ck (z −a) |
|
|
|
|
.. |
||||||||||||||||||||||||||||
(z −a) |
n+1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Проинт грируем полученное выражение почленно по окружности |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
L: |
z −a |
=ρ, r < ρ < R . Имеем следующее равенство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
k |
−n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz = ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
ck ∫(z |
−a) |
|
|
dz. |
|
|
|
(33) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L (z −a)n+1 |
k =−∞ L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42
Вычислим теперь интеграл вида
|
|
|
m |
|
|
|
2π |
|
|
m |
e |
imϕ |
iρe |
iϕ |
dϕ = iρ |
m+12π i(m |
+1)ϕ |
dϕ = |
|
||||||||||
|
|
∫(z − a) dz |
= ∫ρ |
|
|
|
|
|
|
∫e |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m+1 |
|
|
(ei(m+1)2π −1)= 0, m ≠ −1; |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
iρ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
m +1 |
|
|
|
m = −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2πi, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Из равенства (33) имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) |
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫L |
|
|
dz = сп2πi , |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z −a)n+1 |
|
|
|||||||||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
сп = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
f (z) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i∫ |
|
dz, |
n = 0, |
±1,... . |
|
|
|
(34) |
||||||||||||||
|
|
|
2π |
(z −a)n+1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
||||
|
Ряд (32), коэффициен ы к т |
|
го определяются формулой (34), |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
называется рядом Лорана функции f(z) в окрестности точки a. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Заметим, что сумма f(zо) двустороннего ряда (32) является анали- |
||||||||||||||||||||||||||||
тической функц ей |
тв кольце его сходимости и этот ряд является |
||||||||||||||||||||||||||||
рядом Лорана, своей суммы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Возникает в проси, всякую ли функцию f(z), аналитическую в не- |
||||||||||||||||||||||||||||
котор м круг в м кольце, |
можно разложить в этом кольце в ряд |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Лорана? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Т ор ма. Всякая функция f(z), аналитическая в круговом кольце |
||||||||||||||||||||||||||||
|
п |
r < |
|
z −a |
|
< R , может быть в этом кольце единственным |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
е |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
образом разложена в ряд Лорана (теорему принимаем без доказательства).
Правильная часть ряда Лорана есть степенной ряд, сходящийся в круге z −a < R , в то время как главная часть ряда Лорана сходится
в области z −a > r .
43
Пусть теперь функция f(z) аналитична не только в кольце 0 < z −a < R , но и в точке z = a (в круге z − a < R ). При всех отри-
цательных n подынтегральная функция в (34) не имеет особых точек внутри L. Следовательно, все с-n = 0, а главная часть ряда Лора-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f n (a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|||||
на исчезает. В этом случае c |
= |
|
. Имеем ряд Тейлора. Значит, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряд Тейлора является частным случаем ряда Лорана, когда f(z) ана- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
литична в «кольце» 0 ≤ |
|
z −a |
|
≤ R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Точки плоскости z , в которых функция |
f (z) не является анали- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тической, называются особыми точками этой функции. |
|
Т |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1 |
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Разложить функцию |
|
f (z) = |
|
|
|
|
1 |
|
|
в ряд Лорана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z(1− z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Решение. Функция |
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(z) имеет две особые точки z = 0 и z =1, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в силу ч его имеются два |
круговых |
«йкольца» с центром в точке |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a = 0 , |
в |
|
которых |
|
f (z) |
аналит чна |
|
– |
это |
|
кольца |
1) 0 < |
|
z |
|
<1 и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
|
z |
|
|
>1. |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
0 |
< |
|
|
<1. Тогда разл жим данную функцию на сумму про- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
стейших дробей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
(z) = |
1 |
+ |
|
1 |
|
= 1 +(1+ z + z |
2 +...+ zn +...) = ∑zn . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
и1− z z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Главная часть п лученного ряда Лорана состоит из одного члена 1 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
||
Зд сь мы рассматривали вторую дробь как сумму геометрической |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
прогрпссии со знаменателем q = z ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
е2) |
|
|
> |
|
|
. Дробь |
|
1 |
|
|
|
аналитична вне круга или для |
1 |
|
|
|
|
|
Тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Р1 |
|
|
|
|
z |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1− z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
<1. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
∞ 1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
1+ |
|
|
+...+ |
|
|
|
+... |
|
= − |
|
− |
|
|
|
−...− |
|
|
|
− |
... = −∑ |
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
2 |
|
|
n+1 |
|
|
n |
||||||||||||||||||||||||||||
1− z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
z |
|
z |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 z |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
f (z)= |
− |
|
− |
|
− − |
|
|
= −∑ |
|
. Здесь |
отсут- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
z |
|
2 |
|
|
n+1 |
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ствует правильная часть. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z)= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
Разложить функцию |
|
|
|
в ряд Лорана, взяв a = 0; |
|
z |
> |
1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
т.к. |
>1, то |
|
|
<1 |
= |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 −1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
Б |
|
Т |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
+... |
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
... |
|
= |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+Н...+ |
+... = |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
z2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
z6 |
|
|
|
|
|
|
z2п |
|
|
|
|
|
|
z2 |
й |
|
|
z8 |
|
|
|
|
|
z2п+2 |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
4 |
|
|
|
|
|
|
z6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
= ∑ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
п=1 z2п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прогрессии с q = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
сумма |
геомет |
|
|
|
ческой |
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
<1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Разл жить функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в кольце 1< |
|
|
< 3. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z −1)(z − 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Ре |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
∑∞ Cn |
(z − a)n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ш ние. Всякую аналитическую функцию можно разложить в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ряд Лорана: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Заданная функция имеет две особые точки |
z =1, z = 3, следова- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тельно, является аналитической в кольце 1< |
|
z |
|
< 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45
Представим f (z) в виде суммы двух функций:
1 |
|
= |
1 |
|
1 |
− |
1 |
|
1 |
|
= |
1 |
(f (z)− f |
|
(z)); |
(z −1)(z −3) |
2 |
z −3 |
2 |
z −1 |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|||
|
f (z)= |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
= −1 |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
z |
n |
|
||||||||||||
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
|
+.... |
= − |
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
Т |
|
||||||||
|
|
z −3 |
|
|
|
|
3 − z |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 3 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
функция аналитична в круге |
|
|
z |
|
< 3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f2 (z)= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
1+ |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+... |
|
= ∑ |
|
|
|
|
|
, |
|
функ- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
z |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
z |
z |
|
z |
2 |
|
z |
3 |
|
z |
n+1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ция аналитична в области |
z |
>1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
Пример4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
f (z)= − |
1 |
|
|
∞ |
|
|
|
z |
|
|
1 |
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Тогда |
∑ |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
; 1 |
< |
z |
< |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
=0 3 |
n+1 |
|
|
|
|
|
n=0 |
z |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
иz |
|
|
|
|
|
|
ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Разложить функц |
тю f (z)= |
|
|
в окрестности точки 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тся дляособойнее |
. |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Решение.зf (z)= |
|
|
|
e |
|
|
|
= ϕ(z) Ψ(z). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
п |
ϕ(z) |
уже разложена по степеням |
|
|
z , |
точка |
|
|
z = 0 |
|
явля- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Функция |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
Ψ(z)= ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
2 |
|
|
|
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
z |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
=1+ z + |
|
|
+ |
|
|
|
|
+... |
= ∑ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
f (z)= |
1 |
|
|
ez = |
|
1 |
|
∞ |
|
zn |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
zn−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
= ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
, 0 < |
z |
< ∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z2 |
|
z2 |
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46