- •ЛЕКЦИЯ № 1
- •§ 1. Области и их границы
- •§ 3. Элементарные ФКП
- •ЛЕКЦИЯ № 2
- •§ 4. Производная ФКП. Условия Коши – Римана
- •§ 5. Аналитические ФКП
- •ЛЕКЦИЯ № 3
- •§ 7. Интеграл от функции комплексного переменного
- •§ 8. Теорема Коши
- •§ 9. Формула Коши
- •ЛЕКЦИЯ № 4
- •§ 10. Числовые и функциональные ряды ФКП
- •§ 12. Ряд Лорана ФКП
- •ЛЕКЦИЯ № 5
- •§ 13. Особые точки ФКП
- •ЛЕКЦИЯ № 6
- •Практические занятия
- •Ответы
- •ТИПОВОЙ РАСЧЕТ
- •Литература
где все контуры, как внутренние, так и внешние, обходятся против часовой стрелки (или все по часовой стрелке). Получаем другую формулировку теоремы Коши для многосвязной области.
Теорема. Если функция f(z) аналитична в замкнутой многосвязной
|
области |
|
|
, то интеграл от этой функции по внешнему |
||||||||||||
|
|
D |
||||||||||||||
|
контуру, ограничивающему область D, равен сумме ин- |
|||||||||||||||
|
тегралов по всем внутренним контурам, ограничиваю- |
|||||||||||||||
|
щим D, при этом все контуры, как внешний, так и внут- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
ренние, обходят либо по часовой стрелке, либо против. |
|||||||||||||||
Следствие. Если функция ƒ(z) аналитична в некоторойТодно- |
||||||||||||||||
связной области D, то для любой дуги L, принадлежащей D, инте- |
||||||||||||||||
грал от ƒ(z) по L зависит только от начальной z |
0 |
и конечной |
z то- |
|||||||||||||
чек дуги L. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
||||
В этом случае пользуются следующим обозначениемБ: |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∫ f (z)dz = ∫ f (ξ)dξ = F(z)− F(z0 ), |
|
||||||||||||||
|
L |
|
|
z0 |
|
|
и |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где F(z) – первообразная для ƒ(z), т. е. ƒ(z)= F / (z) . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Методы интегрирования не пределенных интегралов для функ- |
||||||||||||||||
ции комплексного переменногоотакие же, как и для функции дей- |
||||||||||||||||
ствительной переменной. Таблица основных интегралов в обоих |
||||||||||||||||
случаях одинакова. |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
з |
§ 9. ФОРМУЛА КОШИ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть функция ƒ(z) аналитична в замкнутой области |
D |
и пусть L – |
||||||||||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
граница D. Тогда значения функции ƒ(z) в любой точке z области D |
||||||||||||||||
можнопвычислить, зная только значениеƒ(z) на границе L, по следую- |
||||||||||||||||
щ йформуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
1 |
|
f (ξ)dξ |
|
|
|
|
|
|||
Р |
|
|
|
f (z)= |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
L∫ |
|
, |
|
|
|
|
(19) |
||||
|
|
|
|
2πi |
ξ − z |
|
|
|
|
где L обходится в положительном направлении.
30
Интеграл в правой части (19) называется интегралом Коши для функции ƒ(z), а сама формула (19) – интегральной формулой Коши.
Из нее следует, что аналитическая в замкнутой области функция полностью определяется своими значениями на границе области D.
Выведем формулу Коши.
Т. к. ƒ(ξ) аналитична в D, то ϕ(ξ) = ξ− z аналитична в D всюду,
за исключением точки z D . Ограничим точку z окружностью C |
||||||||||||||||||||||
радиуса r, взяв r настолько малым, чтобы C не пересекала L (рисУ. 7). |
||||||||||||||||||||||
Тогда в замкнутой двусвязной области D* с границей L и C функ- |
||||||||||||||||||||||
ция ϕ(ξ) аналитична. По теореме Коши для многосвязнойТобласти |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
f (ξ)dξ |
= ∫ |
f (ξ)dξ |
. |
Н |
(20) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L |
ξ − z |
C |
|
ξ − z |
Б |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Преобразуем |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
нтеграл, с оящий в правой части (20). Для этого сде- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
лаем замену переменной: ξ − z = reit (уравнение окружностиC). Тогда |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
it |
|
f (ξ)dξ 2π f (z + reit ) |
|
|
it |
|
|
2π |
it |
|
|
||||||||
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dξ = ire |
|
dt; ∫ |
|
= |
∫ |
|
|
|
|
|
ire |
|
dt |
= i ∫ f (z + re |
|
)dt = |
|
||||
|
|
ξ − z |
|
reit |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
C |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
(21) |
||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
2π |
|
|
|||||||
|
п |
2π |
|
|
)dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
= i ∫ |
f (z + reit |
−i ∫ |
f (z)dt + i ∫ |
f (z)dt = |
|
|
|
||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= i2∫π[f (z + reit ) − f (z)]dt + 2πif (z). |
|
|
|
|||||||||||||||||
Р |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из непрерывности функции ƒ(z) в точке z следует, что для ε > 0δ > 0, что для r < δ:
31
f (z + reit ) − f (z) < ε
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2∫π[f (z + reit ) − f (z)]dt |
|
< 2πε |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
2∫π[f (z + reit ) − f (z)]dt = 0. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(22) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r→0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Учитывая (22), из выражения (21) имеем следующее: |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
||
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
f (ξ)dξ |
= i2∫π[f (z + reit ) |
− f (z)]dt + 2πif (z). |
Т |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
ξ − z |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Левая часть этого равенства не зависит от r. Переходя к пределу |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|||
при r → 0 и учитывая (22), получим |
f (ξ)dξ |
= 2πif (z) |
. Формула (19) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L∫ |
ξ − z |
Б |
|
|
||||
доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
С помощью теоремы Коши можно выч слять некоторые контур- |
||||||||||||||||||||||||||
ные интегралы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оf (z)dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
ez |
|
|
|
|
|
= f (4) 2πi = e4 2πi |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
dz = |
|
∫ |
|
|
(рис. 8). |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
з |
тz − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
z−5 |
=2 |
z − |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z−5 |
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 8
32
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Вычислить |
∫ |
|
|
dz |
|
|
|
, где С – окружность радиуса 1 с центром в |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
точке i. |
|
|
C z |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
Решение. Имеем для С уравнение |
|
z −i |
|
|
=1 (рис. 9). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dz |
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2πi |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z +i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= 2πi |
|
|
|
|
= |
|
= π. |
|
|||||||||||||
C∫ z2 +1 |
C∫ |
(z −i)(z +i) |
|
|
C∫ |
|
|
z −i |
|
z +i |
z=i |
|
2i |
Т |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
интеграл |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
з z2 |
|
|
|
Рис. 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
тПример 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, пользуясь формулой Коши: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
е |
о |
|
|
|
L∫ |
e |
dz, L : |
|
z −2 |
|
= 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z2 −6z |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рпш ние. Воспользуемся интегральной формулой Коши: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∫ |
|
f (z)dz |
= f (z0 ), |
|
где z0 D, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2πi L |
z − z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где f (z) – аналитическая функция в области D , ограниченной кусоч- но-гладким замкнутым контуромL (обход против часовой стрелки).
33
Внутри области, ограниченной окружностью z − 2 = 3, находится одна точка z = 0, в которой знаменатель обращается в нуль.
|
|
|
|
|
|
|
ez2 |
|
|
|
|
|
|
ez2 |
|
|
|
|
|
ez2 |
|
|
|
|
πi . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
∫ |
|
dz |
= ∫ |
|
z −6 |
|
dz |
|
= 2πi |
|
|
= − |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
L z |
2 −6z |
|
|
|
L |
|
z |
|
|
|
|
|
z −6 |
|
z=0 |
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Обобщая формулу Коши, можно доказать следующую теорему. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
||
|
Теорема. Если функция ƒ(z) аналитична в замкнутой области |
D |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
то в каждой точке области D |
|
|
|
|
Т |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
она дифференцируема |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
сколько угодно раз, причем n-я производная представ- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ляется формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
f (ξ)dξ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (n) (z) = |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
Б, |
|
(23) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πi |
L (ξ− z)n+1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
где L – граница области |
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
D обходится в положитель- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ном направлении. |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Следовательно, из |
|
|
рсти функции ƒ(z) в некоторой точ- |
||||||||||||||||||||||||||||||
ке z, т.е. из дифференцируем сти |
ƒ(z) |
в окрестности этой точки сле- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
дует, что ƒ(z) д фференцоруема в точке z сколько угодно раз и, сле- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
довательно, все про зводные ƒ(z), ƒ′(z) ,… аналитичны в точке z. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аналитичн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Формула (23) также может служить для вычисления некоторых |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
контурных интегралови. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
Пример 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
оezdz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
, где L – произвольный замкнутый контур с |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
п L∫(z −i)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
нтром в точке i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
це |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Р |
|
ешение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ezdz |
|
2πi |
(ez )// |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∫ |
= |
|
|
z=i |
= πiei = πi(cos1+i sin1) = π(i cos1−sin1). |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
L (z −1)3 |
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
∫=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ez |
|
|
|
dz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
(z −1)(z −3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z − |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz = 2πi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|||||||||||||||||||||
|
|
∫ |
(z −1)(z −3) |
|
|
|
∫ |
z −1 |
|
|
−3 |
|
|
z=1 = 2πi |
|
−2 |
= −πУei. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
Б |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Вычислить |
|
|
z |
|
∫=2 (z −1)3(z −4)dz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
о |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z − 4 |
|
|
|
|
dz = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
= |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
=2 |
|
(z |
−1)3 (z |
− 4) |
|
|
|
z |
=2 |
|
(z −1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
z |
+1 |
|
// |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
// |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
2πi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z =1 = πi 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z =1 = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! z − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
10πi |
|
|
|
|
|
|
10π |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=иπi − |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z − 4) |
|
|
z =1 |
|
(1− 4) |
3 |
|
|
|
|
− 27 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Р |
Вычислитьп |
|
|
∫ |
sin z |
dz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
ешение. |
|
|
z |
|
=1 |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
sin z |
dz = 2πi (sin z)/ z =0 |
= 2πi(cos0) = 2πi. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
=1 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35