ЛЕКЦИЯ № 4

§ 10. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ ФКП

Пусть {zn}={xn +iyn} – последовательность комплексных чисел.

Сумма членов этой последовательности является рядом

У

∞

Т

∑zn = z1 + z2 +...+ zn +... ,

(24)

n=1

Н

тогда

n

Б

Sn = ∑zi

=z1 + z2

+... + zn – n-я частичная сумма ряда (24).

i=1

й

Ряд (24) называется сходящимся, если последовательность {Sn}

его частичных сумм имеет конечный предел

lim Sn = S , в против-

n→∞

ном случае ряд (24) называется расходящ мся.

р

S называется суммой ряда (24).

Остатком

то

, т.е. S = S

+ R ,

называется ряд

R = z + z

n+2

+...

n

n

иn+1

n

отсюда, если ряд (24) сх дится,

lim Rn = 0.

т

n→∞

На основании § 2 лекции № 1 м жем сформулировать теоремы.

Теорема 1.

и

Для сход мос и ряда (24) необходимо и достаточно,

з

чтобы сход лись два ряда с действительными члена-

о

∞

∞

п

ми ∑xn , ∑yn .

n=1

n=1

Доказательство теоремы предоставляем читателю.

Т ор ма 2. Если сходится ряд

е

∞

∑

zn

=

z1

+

z2

+

z3

+

...+

zn

+... ,

(25)

Р

n=1

то сходится и ряд (24), называемый в этом случае аб-

солютно сходящимся.

Пусть теперь дана последовательность функций {fn (z)}, опре-

деленных в области D.

Выражение

Т

∞

f

(z) = f (z)

+ f

(z) +...

+ f

(z)

n

2

n

+....

(26)

∑

1

У

n=1

Б

называется функциональным рядом, а Sn (z) = f1

(z) +...+ fn (z) –

частичной суммой.

z0 D ряд (26) обращаетсяНв сходящийся

Если в каждой точке

числовой ряд, то говорят, что ряд (26) сходится в области D.

Так же, как и для действительных рядов, вводится определение

равномерно сходящихся рядов.

и

Ряд (26), сходящийся в D, называетсяйравномерно сходящимся

в этой области, если для

ε > 0

N = N(ε)

, зависящее от ε, такое,

же возможность

н егр

рованияи дифференцирования суммы ряда

что для

n ≥ N

будет

Rn

(z)

< ε

днов еменно для всех

z

D .

т

Условие равномерной сх димрсти ряда функции комплексного пе-

ременного в области D гаран ирует непрерывность суммы ряда, а так-

и

з

путем почленного

нтегр рования и дифференцирования этого ряда.

Для рядов с комплексными членами справедлив признак Вейер-

о

штрасса равномерной сходимости рядов.

Функци нальные ряды вида

п

∞

= c0 +c1z +c2z2 +...+cn zn +...

е

∑cn zn

(27)

n=0

Р

называются степенными.

Сформулируем теорему Абеля.

Теорема Абеля. Если степенной ряд (27) сходится в некоторой

точке z0

≠ 0 , то он абсолютно сходится в круге

z

<

z0

.

Во всяком круге меньшего радиуса

z

≤ q <

z0

ряд (27)

сходится равномерно.

Радиус сходимости r определяется так: в круге

z

< r ряд сходит-

ся,

z

> r

– расходится;

z

< r – круг сходимости.

r можно опреде-

У

лять по признаку Даламбера.

Ряды вида

∑∞ cn (z − z0 )n = c0 +c1(z − z0 ) +c2 (z − z0 )2 +... с помо-

n=0

щью замены t = z − a

сводятся к рядам вида (27).

Н

∞

§ 11. РЯД ТЕЙЛОРА ФУНКЦИИ КОМПЛЕКС ОГОТ

ПЕРЕМЕННОГО

Б

й

Во всяком

замкнутом

круге

z −a

≤ r

′

< r

степенной

ряд

∑cn (z −a)n = c0 +c1(z −a) +c2 (z

и

−a)2

+... в силу теоремы Абеля схо-

n=0

р

дится равномерно и имеет своей суммой некоторую функцию f (z) :

еоремы

(z −a)n +...,

f (z)

= c +c

(z −a)

+c

2

(z −a)2 +...+c

n

(28)

0

1

плоскости

Вейерштрасса функция f (z) анали-

причем на основан

з

т< r сходимости ряда. Т.к. члены ряда (2 8) ана-

тична в круге

z

− a

во

z, то в силу той же теоремы этот ряд

литичны

всей

можно п членно дифференцировать, причем ряд

п

тоже

+ 2c

(z −a) +3c (z −a)

2 +...+

nc

(

z −a)n−1 +...

(29)

f '(z) = c

2

n

Р

1

3

равномерно сходится во всяком круге

z −a

≤ r′< r . Рассуждая

f ''(z) = 2c2 +3 2c3 (z − a) +... + n(n −1) cn (z − a)n−2

+...

……………………………………………………

f (n) (z) = n!cn + (n +1)!cn+1 (z − a) +...

Полагая в этих равенствах z = a , получим:

У

f (a) = c ; f '(a) = c

; f ''(a) = 2c

2

; … ;

f (n) (a) = n!c

n

; … .

0

1

Или

Н

c0 = f (a) ; c1 = f '(a) ; c2 =

f ''(a)

; … ; cn =

f (n) (a)

Т

; … ,

2!

n!

в силу чего ряд (28) записывается в виде

Б

∞

(n)

(a)

f

f (z) = ∑

f

(z − a)n

= f (a) +

'(a)

(z

− a) +

n!

1!

n=0

f ''(a)

f

(n)

й

.

(30)

+

(z − a)2 +... +

(a)

(z − a)n +...

2!

о

иn!

Степенной ряд (30) называетсяррядом Тейлора функции f (z) в

и

окрестности точки

z

= a .

Следовательно, сумма f(z) степенного ряда (28) является анали-

тической функц ей вткруге сходимости ряда, причем этот ряд явля-

ется рядом Тейлора своей суммы f(z).

жно

Возникает в прос: всякую ли аналитическую функцию в некото-

п

ром круге мзразложить в этом круге в ряд Тейлора? Ответ на

этот в р с дает следующая теорема.

е

Р

Т ор ма. Всякая функция f(z), аналитическая в круге

z −a

< r ,

z

L

r1

a

У

r

Т

Рис. 10

Б

Через L обозначим окружность

z

−a

= r1 . Т.к. f(z) аналитична в

Н

замкнутом круге

z −a

≤ r1 , то по формуле Коши:

й

f (z) =

1

∫

f (ξ)dξ

=

1

∫

f

(ξ)dξ

=

2πi L

ξ− z

2πi

L

(ξ−a) +(a − z)

1

р

1

f

(ξ)

=

2πi

L∫

ξ−a

иz −a

dξ,

о

1− ξ−a

∞

положи

ельн м направлении.

где L обходится в

з

z −a

z −a

z −a

Т.к.

ξ L

,

тот

=

ξ−a

=

r1

<1, в силу чего

о

ξ−a

n

1

z −a

=

∑

равномерно сходится по ξ на окружности L.

п