Кулик Елементы теории принятия решений 2010

Требуетсяприменить критерийГурвица, длякоторого( поопре-

делению) справедливоследующее выражение ( χ=0.6 ):

т.е. в каждом столбце |aij| выбирают минимальное значение Mi и максимальное значение Ei, затем вычисляют значение

hi = χ Mi +(1−χ) Ei . Оптимальному решению соответствует то решение (т.е. стратегия Ai приi =i* и ai* j* ), которому соответствуетминимум hi . Вданной задаче n=3 иm=4.

2). Вычислимминимум Mi по каждой строке платёжной матрицы. Для1йстроки:

M1= min{19,30, 41, 49}=19 .

Для2йстроки:

M2= min{50,38, 10, 20} =10 .

Для3йстроки:

M3= min{73,18, 81, 11} =11.

3). ВычислиммаксимумыEi покаждойстрокеплатёжнойматрицы. Для1йстроки:

E1= max{19,30, 41, 49} = 49 .

Для2йстроки:

E2= max{50,38,10, 20} = 50 .

Для3йстроки:

E3= max{73,18, 81,11} = 81 .

4). Вычислим( при χ=0.6 ) значения hi для каждой строкиплатёж-

нойматрицы ( hi = 0.6 Mi +(1−0.6) Ei ). Для1йстроки:

h1 = 0.6 19 +(1−0.6) 49 =11.4 +19.6 = 31.

Для2йстроки:

h2 = 0.6 10 +(1−0.6) 50 = 6 +20 = 26 .

Для3йстроки:

81

8). Для критерия Сэвиджа вычислим максимумы Dj по каждому j-мустолбцу платёжной матрицы,т.е.

Dj = max{akj }.

1≤k≤m=3

Для1гостолбца:

D1= max{19, 50, 73} = 73 .

Для2гостолбца:

D2= max{30, 38,18} = 38 .

Для3гостолбца:

D3= max{41,10, 81}= 81.

Для4гостолбца:

D4= max{49, 20,11} = 49 .

9). Для критерия Сэвиджа запишем полученные максимумы Dj по каждому j-му столбцу в дополнительную строку снизу платёжной матрицы (т.е. матрица выигрышей). Получим следующую таблицу:

Матрицавыигрышей 3 ×4

10). Для критерия Сэвиджа перейдём от матрицы выигрышей к матрице рисков. Для этого вычислим все элементы матрицы рисковпо следующей формуле:

rij = Dj −aij

83

иполучим следующую матрицурисков:

Матрицарисков 3 × 4

В этой матрице рисков пока ещё не заполнен последний столбецсо значениями Wi.

W1= max{54, 8, 40, 0} = 54 .

Для2йстроки:

W2= max{23, 0, 71, 29} = 71.

Для3йстроки:

W3= max{ 0, 20, 0, 38} = 38 .

12). Запишем полученный результат Wi в дополнительный столбецсправа матрицы рисков. Получимследующую таблицу:

13). Среди уже найденных максимумов Wi выберем тот из них, которыйминимален.

Получаемчто

Q = min{54,71, 38} = 38.

14). Определим оптимальнуюстратегию,соответствующую Q.

В соответствии с критерием Сэвиджа стратегия A3 является оптимальной. Таким образом, выбрано такое решение (стратегия A3), при котором величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной (т.е. когда максимален риск) ситуации.

15). Запишем полученные результаты по выбору оптимальной стратегии в следующуютаблицу:

Оптимальные стратегиидля 3-хкритериев

Таким образом, оптимальная стратегия согласно критерию Вальда есть A1.

С точки зрения критериев Гурвица и Сэвиджа, оптимальной стратегиейявляется A 3.

Важно отметить, что на практике возможны различные случаи. В частности, возможен случай, когда все три критерия (Вальда, Сэвиджа, Гурвица) указывают на одну и ту же стратегию. При этом не исключён и случай, когда все три эти критерия указывают на три разных стратегии. Конечно, трудно ожидать, что все три критерия укажут только на одну-единственную стратегию, хотя это и не исключено и может иметь место на практике.

16). И темсамым задачарешена▄

85

Пример 1.8

Используя критерии Байеса( Лапласа), принять решение (выбрать стратегию) по этому критериев в случае следующей платёжнойматрицы |aij| (матрицывыигрышей ЛПР):

Матрицавыигрышей 4 ×4

Решение

1). Требуется применитькритерий Байеса( Лапласа), для которого (поопределению) справедливоследующее выражение:

где в каждой строке матрицы |aij| подсчитывается среднее арифметическое значение величин aij. Оптимальному решению соответствует такое решение (т.е. стратегия Ai при i=i*), которому соответ-

ствует максимум этого среднего значения (т.е. ai* j* ). В данной задачеn=4 иm=4.

2). Вычислимсумму Mi по каждой строке матрицы выигрышей.

Для1йстроки:

M1=1+3 +1+1 = 6 .

Для2йстроки:

M2= 3 +1+1+2 = 7 .

Для3йстроки:

M3= 2 +1+1+1 = 5 .

Для4йстроки:

M4=1+3 +0 +4 = 8 .

86

3). Запишем полученный результат Mi в дополнительный столбец справаматрицы выигрышей.Получим следующую таблицу:

Матрицавыигрышей 4 × 4

столбецсправа матрицы выигрышей.Получим следующую таблицу:

Матрица выигрышей 4 ×4

Таким образом, оптимальная стратегия согласно критерию Байеса( Лапласа) есть A4.

6). Итем самым задача решена▄

87

Пример 1.9 (см.и ср. [2, с. 180-181])

Проверить наличие седловой точки и решить игру, т.е. найти оптимальные стратегии для двух игроков A и B. Платёжная матрицаизвестна и представлена в следующемвиде:

Платёжная матрица игры 3 ×4

Решение

1). Найдём нижнююцену игры α (максимин) по формуле

α= max1≤i≤m (1min≤ j≤n {aij }).

В даннойзадаче m=3 и n=4.

2). Вычислимминимум Mi по каждой строке платёжной матрицы. Для1йстроки:

M1= min{2, 4, 7, 5} = 2 .

Для2йстроки:

M2= min{7,6, 8, 7} = 6 .

Для3йстроки:

M3= min{5,3, 4, 1} =1 .

3). Запишем полученный результат Mi в дополнительный столбец справаплатёжной матрицы.Получим следующую таблицу:

Платёжнаяматрица игры 3 ×4

Тогда нижняяцена игры α = max{2, 6,1} = 6 .

88

Пример 1.10 (см.и ср. [2, с. 186-187])

Упростить игру. Платёжная матрица известна и представлена в следующем виде:

Решение

1). Поиск дублирующих стратегий дляигрока A.

Заметим, что стратегия A2 дублирует стратегию A5. Тогда применим Правило 1.2 — отбросим (т.е. удалим) любую из них, например,A 5. Получимследующую таблицу:

2). Поиск доминирующихстратегий для игрока A.

Заметим, что в строке для стратегии A1 все выигрыши игрока A больше или равны соответствующим выигрышам строки со стратегией A4. Получается, что стратегия A1 доминирует над стратегией A4. Тогда применим Правило 1.1 — вычеркнем (т.е. удалим) из платёжной матрицы строку с заведомо невыгодной стратегиейA4 для игрока A.

90