Кулик Елементы теории принятия решений 2010

Пример 0.Б (вероятныегипотезы) [2] Радиоперехват сигнала с торпедоносца показал, что произошло

событие A={торпедирован корабль}, но неизвестно какой. Выясняется тип корабля, подвергнувшегося торпедной атаке торпедоносца противника. Выдвинуты (попарно несовместные и образующиеполнуюгруппу событий) четырегипотезы:

H1={подводнаялодка}, H3={тральщик}, H2={авианосец}, H4={пассажирскийлайнер}.

Согласно данным разведки, для данного района и времени бое-

выхдействий P(H1)=0.15; P( H2)=0.25; P( H3)=0.2; P(H4)=0.4.

Согласно военной статистике, условные вероятности события

A при гипотезах H1, H2, H3, H4 равны: P(A|H1)=1/4, P(A|H2)=7/12, P( A|H3)=7/10, P( A|H4)=1.

Найти апостериорные вероятности гипотез. Какова вероятность того, что торпедирована именно подводная лодка (т.е. чему равна вероятность P( H1|A))? Какая гипотеза наиболее вероятна послеизвестия о событии A? ▄

На практике подобные задачи на определение условной вероятности P( H1|A) или на выбор (поиск) наиболее вероятной гипотезы Hk могут быть выполнены (как и в предыдущем примере) с помо-

щьюформулы Байеса (см. [4] идр.).

Пример 0.В (см. и ср. [15,с . 100]) (статистическиегипотезы) Владелец автозаправки был замечен в недоливе водителям дорогих марок бензина. В ёмкости (например, канистре) должно находиться 50 литров бензина. Были проверены 100 ёмкостей у случайных водителей (заказавших по 50литров дорогих марок бензина), и было обнаружено, что в среднем в ёмкости водителя

находится 49.8 литровбензина.

Предполагая, что стандартное отклонение (с.к.о. ) для емкости в 50литров есть 0.5 литра, определить, является ли выявленное отклонение значимым, т.е. противоречит ли полученный результат гипотезе H0 при уровне значимости α=0.05, что в среднем вуказанную ёмкость разливается 50 литровбензина ▄

статистическихгипотез.

11

Пример 0.Г (детерминированныегипотезы) [18, с. 202-203] Используя критерий Вальда, принять решение (выбрать страте-

гию) в случае следующей платёжной матрицы |aij| (матрицы выигрышей ЛПР):

Матрицавыигрышей 4 ×3

Высказанаследующая гипотеза:

H(0)={оптимальная стратегияесть A2}.

Требуется проверить гипотезу H(0), т .е. установить, имеет ли место эта гипотеза или нет (или иначе —справедлива гипотеза H(0) или нет) ▄

Пример0.Д(см. иср. [17, с.38]) (детерминированныегипотезы) Ищется наименьшее значение функции f (x, y) в области её оп-

ределения( x>0, y>0):

Высказанаследующая гипотеза:

H0={минимум f(x,y) есть 2946−4 }.

Требуется проверить гипотезу H0, т.е. установить , имеет ли место эта гипотеза или нет (или иначе — справедлива гипотеза H0 или нет) ▄

На практике проверка детерминированной гипотезы H0 выполняется путём поиска минимума функции, применяя, например, метод геометрического программирования( см. [17] и др.) и сравнения найденного истинного минимума с тем, что указан в гипотезе H0.

12

Списокспользуемой литературы (источники)

1.Хелстром К. Квантовая теория проверки гипотез и оценивания.—М.: Мир, 1979.—344с.

2.Кулик С.Д. Теория принятия решений (элементы теории проверки вероятных гипотез): учебное пособие.—М .:МИФИ , 2007.—152с.

3.Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники.—Кн .2.—М.: Советское радио.—1968.—504 с.

4.Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и её инженерные приложе-

ния.–М.:Наука , 1988.—с480 .

5.Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия.—М.: Большая Российская Энциклопедия, 1999.—910с.

6.Абчук В.А. Теория риска в морской практике.–Л.: Судостроение, 1983.–с152 .

7.Яковлев В.П., Кондрашин М.П. Элементы квантовой информатики.—М.:

МИФИ, 2004.—80с.

8.Кулик С.Д. Схемотехнические решения для реализации квантового компьютера //Научная сессия МИФИ-2006. Сборник научных трудов в 16т . Т.12: Информатика и процессыуправления . Компьютерные системы и технологии . —М.:

МИФИ, 2006.—С.52—53.

9.Квантовый компьютер и квантовые вычисления.—Т 2.—Ижевск: Ред. жу. рн Регулярная и хаотическая динамика, 1999.—с287 .

10.Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация.—М.:

Мир, 2006.—824с.

13.Кулик С.Д. Квантовая программа, квантовая база данных и квантовый компьютер //Научная сессия МИФИ-2007. Сборник научных трудов в 17т . Т.12: Информатика и процессы управления. Компьютерные системы и технологии.—М.:

МИФИ, 2007.—С.101-103.

14.Кулик С.Д. Подход к обучению теории вероятности в рамках исследований

квантовых вычислений //Научная сессия МИФИ-2009. XIIIвыставка -конференция “Телекоммуникации и новые информационные технологии в образовании”. Сборник научных трудов. —М.: МИФИ, 2009. — С.58-59.

15. Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов.—М.: Изд. дом ГУ ВШЭ, 2005.—254с.

16.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.—М.: Высш. школа, 1979.—400с.

17.Бекишев Г.А., Кратко М. И. Элементарное введение в геометрическое про- граммирование.—М .:Наука , 1980.—144с.

18.Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология.—М.: Высшая школа, 2001.—208с.

13

«И тайнучтоб узнать, догадки надомного»

А.С. Грибоедов [43, с.88]

ЗАДАЧИВЫБОРА РЕШЕНИЙ

Гл а в а 1

ЗАДАЧИВЫБОРА РЕШЕНИЙ

______________________________________________________

Содержание

Информационные ситуации: детерминированная, статистически определённая, статистически неопределённая( игровая). Критерии принятия решений в различных информационных ситуациях. Однокритериальные и многокритериальные задачи принятия решений. Сведение многокритериальных задач к скалярным задачам. Парето-оптимальность. Элементытеории игр. Примерырешённыхзадач.

1.1. Общиеположения

На практикезадачи принятия решений (ЗПР) можно классифицировать потрём признакам:

1) по числу целей и соответствующих им критериев оптимальности (ЗПР делят на одноцелевые или однокритериальные (т.е. скалярные) и многоцелевые или многокритериальные (т.е.

векторные));

2)по наличию или отсутствию зависимости критерия оптимальности и ограничений от времени (ЗПРделят настатические (т.е. не зависящие от времени) и динамические( т.е. зависящие от време-

ни));

3)по наличию СЛУЧАЙНЫХ и НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ факторов ЗПРделят на три больших группы (класса):

•принятие решения в условиях определённости, или детерминированные ЗПР (есть однозначная детерминированная связью между принятым решением лицом, принимающимрешение (ЛПР) и егорезультатом);

•принятие решений при риске, или стохастические ЗПР (каждое принятое решение может привести к одному из множества возможных исходов (каждый исход имеет вероятность появления; предполагается, что эти вероятности заранееизвестны ЛПР));

•принятие решений в условиях НЕопределённости (каждое

15

принятое решение ЛПР может привести к одному из множества возможных исходов, вероятности появления которыхдля ЛПР неизвестны).

На практике учёт случайных факторов, заданных распределениемвыполняют двумя способами:

1)замена случайных параметров их математическими ожидания-

ми (т.е. сведением стохастической задачи к детерминированной) [2,с.32-33, 38];

2)"взвешиванием" показателя качества по вероятности (этот прием иногданазывают "оптимизацияв среднем" [2, с.31-37]).

Информационныеситуации ,неопределённость и выбор критерия

На практике приходится принимать решение при наличии неопределённости. Эта неопределённость возникает достаточно часто, ис нейприходится считаться.

Орган принятия решения (ОПР) обычно вынужден действовать в условиях неопределённости (ОПР обладает меньшим количеством информации для принятия решения, чем это необходимо для целесообразной организации егодействий) [1,с.8].

Первая причина неопределённости [5, с.26] — это неполнота,

недостаточность наших знаний об окружающем мире (т.е. неосведомлённость). Чем меньше мы обладаем знанием в той области, где следует принять решение, тем больше имеется неопределённости при выборе решений, и наоборот, чем больше мы знаем, тем меньше неопределённость и нам легче (проще) сделать выбор в пользу того илииного решения.

Вторая причина неопределённости [5, с.27] — это случай-

ность( случайностью называют то, что в сходных (похожих) условиях происходит неодинаково, причём заранее нельзя предсказать, что и как будет на этот раз). Как бы мы ни старались больше знать в той области, где следует принять решение, всё равно может иметь место случай и может произойти всё не так, как это виделось при выработке решения.

16

Специалисты используют четыре различных подхода кпонятию случайности, опирающиеся нахарактерные свойства случайных последовательностей:

1)частотоустойчивость;

2)хаотичность;

3)типичность;

4)непредсказуемость.

Для рассмотрения случайности учёными применяются важнейшие втеории алгоритмов понятия, такие как вычислимость, перечислимость, энтропия и колмогоровская сложность. В настоящее время классическая теория вероятностей не может объяснить, что такое случайность. Опираясь на эти четыре различных подхода кпонятию случайности, исследователи попытаются выяснить и [39]: “определить, можно ли, например, индивидуальную последовательность нулей и единиц считать случайной илинет”. Подробнеео случайности см.работы [39, 40, 41, 50] и др.

Третья причина неопределённости [5, с.28] — это противодей-

ствие. Специалисты полагают, что неопределённость, неясность обстановки появляется не сама по себе (т.е. естественным путём), а насаждается искусственно (во вред нам). Имеется некто, кто намеренно мешает нашим планам. Такое противодействие есть причина

неопределённости.

Примерами возникновения этой неопределённости могут быть следующие: дезинформирование противника на войне; действие болезнетворных бактерий и вредителей в сельском хозяйстве; нарушители закона и правопорядка; противники в спортивных играх и т.п. Противодействие приводит к необходимости принимать решение в конфликтной ситуации (конфликты между заказчиком и исполнителем, грузоотправителем и грузополучателем, т.е. в случаях, когда интересыразличных сторон не совпадают) [5,с.28].

Неопределённость в принятии решений обусловлена недоста-

точной надежностью и количеством информации, необходимой ОПРдля выбора решения [1,с.8].

17

Известны следующие семь видов неопределённости [1, с.8] (часто встречающиеся):

1)принципиальная неопределённость (например, в известныхситуациях квантовой механики);

2)неопределённость, генерируемая общим числом объек-

тов или элементов, включённых в ситуацию (например, причисле элементов порядка большего, чем10 9);

3)неопределённость из-за недостатка информации и её достоверности в силу технических, социальных или иных причин;

4)неопределённость, порождённая слишком высокой или

НЕдоступной платойза определённость;

5)неопределённость, порождённая ОПР в силу НЕдостатка его опыта и знаний факторов, влияющих на принятие решений;

6)неопределённость, связанная с ограничениями в ситуации принятия решений (ограничения по времени и элементам пространства параметров, характеризующих факторыпринятия решения);

7)неопределённость, вызванная поведением среды или противника, влияющего на процесспринятия решения.

Специалисты выявили[ 1, с.9], что в процессе принятия решения имеют место ситуации, обладающие той или иной степенью неопределённости, для описания которых нужен соответствующий математический аппарат, чтобы получить необходимое решение.

Так сложилось [1, с.9], что исторически первым аппаратом была теория вероятностей (в ней неопределённость описывалась некоторой нормированной мерой, характеризующей возможность появ-

ления случайныхсобытий (исходов)).

18

Следующим аппаратом стали [1, с.9] теория игр( в которой неопределённость порождалась конфликтом и антогонистическими интересами игроков, связанными между собой правилами игры) и

теория статистических решений (в которой в качестве одного из игроков выбиралась пассивная среда или "ПРИРОДА", поведение которойхарактеризовалось заданными законами распределения вероятностей). Эти две теории можно считать крайними случаями неопределённости.

Ещё [1, с.9] один класс неопределённости охватывают методы

аппарата расплывчатых (размытых) множеств Л.Заде (этот ап-

парат позволяет описывать ситуации, которые не имеют строго определённыхграниц).

Проблема выбора решения в условиях неопределённости (см.

работу [2, с.29-42]). На практике в реальных задачах показатель эффективности W обычно зависит от трех групп факторов (см. ра-

боту [2,с.29-30]) U, d,ξ, или:

W=W(U, d,ξ),

гдеξ —неизвестные факторы.

Понятно, что поскольку показатель W зависит от ξ, то он не может быть вычислен (т.е. остается неопределённым), а сама задача поиска оптимального решениятеряет определённость.

Однако постановка задачи может быть всё-таки сделана следующимобразом [2,с.30]:

При заданных условиях U, с учётом неизвестных факторов ξ, найти такое решение d D, которое, по возможности, обеспечивает максимальное( минимальное) значение показателя эффективности W.

Присутствие этих самых неопределённых факторов ξ придает задаче новое качество: она стала задачей о выборе решения в условиях неопределённости [2,с.30].

19

Неопределённость 1 стохастическая( или хорошая)

На практике выделяют случай (см. работу [2, с.31-32]), когда неизвестные факторы ξ являются обычными объектами изучения в

теории вероятностей — случайными величинами (случайными функциями), статистические характеристики которых известны или в принципе могут быть получены. В ИО такая неопределённость называетсястохастической.

Способ 1 (" оптимизация в среднем"). Полагают, что так как ξ —

это случайные величины, то и значения показателя эффективности W также случайные величины. Тогда идея состоит в том, чтобы в качестве показателя эффективности выбрать среднее значение (т.е. математическое ожидание) показателя эффективности W:

W = M [W ] — и выбрать такое решение d D, при котором этот

усредненный по условиям показатель обращается в максимум (или минимум):

W = M W (U, d,ξ) →max.

ВАЖНО ПОМНИТЬ [2, с.34-35]. Для оптимизации в среднем необходимо, чтобы операция обладала свойством повторяемости, и недостача показателя в одном случае компенсировалась его "избытком" в другом случае. Есть случаи, когда это не так, например, время ожидания врача отдельным больным не суммируется: слишком долгое ожидание одного из них не компенсируется почти мгновеннымобслуживанием другого.

Способ 2 ( стохастические ограничения). В основе лежит способ

1, но вводятся дополнительно стохастические ограничения, например, следующего вида: P( W≤Wздн)≥β, где вероятность β назначается близкой к 1 (т.е. практически достоверное событие), а Wздн — это заданное значение показателя эффективности. Тогда это стохастическое ограничение означает следующее: вероятность P( W≤Wздн) того, что значение показателя эффективности W будет

20