linear_algebra_2

Поиск ранга матрицы большого порядка перебором всех миноров является трудоемкой задачей. Существуют более эффективные методы поиска ранга матрицы.

Теорема 1.4 (о ранге матрицы при элементарных преобразованиях)

Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.

Доказательство.

Элементарные преобразования 1-го типа переставляют строки матрицы. В этом случае определитель меняет знак, но не может обратиться в нуль.

Элементарные преобразования 2-го типа умножают строку на не равное нулю число. Тогда определитель умножается на это число, что не может привести к его обнулению.

Элементарные преобразования 3-го типа прибавляют i-ю строку к j-й, что не меняет величины определителя.

Теорема дает возможность посредством элементарных преобразований привести матрицу к определенному виду, где ее ранг вычисляется без труда.

Определение 1.21

Матрица A имеет ступенчатую форму, если выполнены следующие условия:

1)все нулевые строки находятся внизу матрицы;

2)первые слева ненулевые элементы a1j1 ; a2j2 ; :::; arjr , стоящие в нену-

левых строках, имеют возрастающие номера столбцов, т.е.

j1 < j2 < ::: jr 1 < jr ;

Первый слева ненулевой элемент в строке матрицы ступенчатой формы также называется ведущим.

Матрица A в ступенчатой форме, если она имеет следующий вид :

ãäå aiji 6= 0; i = 1; :::; r.

Ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк, так как существует минор порядка r отличный от нуля :

Алгоритм приведения матрицы к ступенчатой форме

1)Найти ведущие ненулевые элементы в каждой ненулевой строке.

2)С помощью перестановки строк переместить все нулевые строки вниз матрицы.

3)Среди всех ведущих элементов найти тот, который имеет наименьший номер столбца. Переставить местами строку, содержащую данный ведущий элемент, и первую строку матрицы. Мы нашли первую строку ступенчатой формы матрицы. Эта строка в процессе преобразований больше меняться не будет.

4)С помощью вычитания первой строки, умноженной на соответствующие числа, из нижестоящих строк добиваемся того, чтобы все элементы, стоящие в столбце ниже выбранного ведущего элемента, стали равны нулю.

5)С помощью перестановки строк переместить все нулевые строки вниз матрицы.

Предположим теперь, что мы нашли k первых строк ступенчатой формы матрицы. При этом все элементы, стоящие в столбцах ведущих элементов и находящиеся ниже их, равны íóëþ.

Теперь нужно совершить следующую последовательность действий :

1)найти ведущие элементы в строках, стоящих ниже k-îé.

2)Среди них найти тот, который имеет наименьший номер столбца. Переставить местами строку, содержащую данный ведущий элемент,

è k + 1-ю строку матрицы. Мы k + 1-ю строку ступенчатой формы

матрицы. в процессе преобразований она больше меняться не будет. 3) С помощью вычитания k + 1-й строки, умноженной на

соответствующие числа, из нижестоящих строк добиваемся того, чтобы все элементы, стоящие в столбце ниже ведущего элемента k + 1-й строки , стали равны нулю.

4) С помощью перестановки строк переместить все нулевые строки вниз матрицы.

Теперь заменяем k на k + 1 и повторяем шаги 1) 4).

Пример

Найти ранг матрицы

23

Линейные комбинации строк и столбцов

Введем понятие линейной зависимости строк или столбцов. В матрице

23

введем обозначения строк :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

em = [am1 am2 ::: amn]:

Эти строки e1; e2; :::; em представляют собой матрицы размерностью 1 n. В новых обозначениях исходная матрица записывается в виде

2e1 3

6e2 7 A = 6 7:

4: : 5

em

Определение 1.22

Строка e = [b1 b2 ::: bn], определяемая равенством

e = 1e1 + 2e2 + ::: + mem;

ãäå 1; 2; :::; m любые действительные числа, называется линейной комбинацией строк e1; e2; :::; em.

В развернутом матричном виде последнее равенство выглядит так

:

[b1 b2 ::: bn] = 1 [a11 a12 ::: a1n] + 2 [a21 a22 ::: a2n] + :::+

+ m [am1 am2 ::: amn]:

Это равенство эквивалентно системе уравнений

8

b1 = 1a11 + 2a21 + ::: + mam1;

>

>

<b2 = 1a12 + 2a22 + ::: + mam2;

>: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

>

:bn = 1a1n + 2a2n + ::: + mamn:

Определение 1.23

Строки e1; e2; :::; em называются линейно зависимыми, если существуют такие числа 1; 2; :::; m, не равные нулю одновременно, что линейная комбинация этих строк равна нулевой строке

1e1 + 2e2 + ::: + mem = o:

Строки e1; e2; :::; em называются линейно независимыми, если ли-

нейная комбинация этих строк равна нулевой строке только при условии 1 = 2 = ::: = m = 0.

Теорема 1.5

Если строки e1; e2; :::; em линейно зависимы, то одна из них является линейной комбинацией остальных.

Доказательство.

Пусть строки e1; e2; :::; em линейно зависимы. Тогда найдутся числа 1; 2; :::; m, не все равные нулю одновременно, что выполняется

равенство

1e1 + 2e2 + ::: + mem = o:

Пусть, например, m 6= 0. Перенесем первые m 1 слагаемых в правую часть и поделим равенство на m :