linear_algebra_2

которой вычисляются по формуле

cij = ai1b1j + ai2b2j + ::: + aik bkj :

Таким образом, элемент матрицы C , стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B.

Произведение матриц записывается в виде равенства

C = A B :

m n m k k n

Замечание 1

Произведение матрицы A на матрицу B определено лишь при условии, что число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

Замечание 2

Порядок матриц в произведении существенен.

Если произведение матриц A B существует, то произведение B A

может не существовать.

Если существуют произведения матриц A B и B A, то они могут

быть матрицами разных размеров.

Если квадратные матрицы A и B имеют один размер, то произведения A B и B A определены и имеют одинаковый порядок, но в

общем случае A B 6= B A.

Примечание 1

Если произведение единичной матрицы E и произвольной матрицы A определено, то справедливо равенство A = E A.

Если произведение произвольной матрицы B и единичной матрицы E иопределено, то справедливо равенство B = B E.

Если A произвольная квадратная матрица, и E единичная матрица такого же размера, то A = E A = A E. Таким образом, единичная

матрица играет при умножении матриц такую же роль, что и число 1 при умножении чисел.

Примечание 2

Произведение ненулевых матриц может дать нулевую матрицу, например :

Пример

Теперь найдем произведение BA :

23

23

Заметим, что произведение двух матриц поворота также является матрицей поворота. При этом углы поворота складываются.

5. Возведение квадратной матрицы в целую положительную степень

Возведение квадратной матрицы в целую положительную степень k сводится к произведению k одинаковых матриц :

Ak = A A ::: A :

Свойства операций сложения и умножения матриц

1)A + B = B + A;

2)(A + B) + C = A + (B + C );

3)(A + B) = A + B;

4)A(B + C ) = AB + AC ;

5)(A + B)C = AB + AC ;

6)A(BC ) = (AB)C ;

7)(AB) = ( A)B = A( B).

6. Транспонирование матрицы

Матрица

называется транспонированной по отношению к матрице

23

и обозначается AT .

Как видно, при транспонировании строки и столбцы меняются местами.

Примечание 3

Из определения следует, что если матрица A имеет размер m n, то матрица AT имеет размер n m.

Свойства транспонирования матрицы

1)(AT )T = A;

2)( A)T = AT ;

3)(A + B)T = AT + BT ;

4)(AB)T = BT AT .

Примечание 4

Любая симметричная матрица A удовлетворяет равенству A T = A, а любая антисимметричная равенству A T = A. Верны также и обратные утверждения.

Пример

Доказать, что любую квадратную матрицу можно представить в виде суммы симметричной и антисимметричной матриц.

Пусть A произвольная симметричная матрица. Положим

Это означает, что матрица B симметрична, а матрица C антисим- метрична. Теперь найдем сумму B + C :

B + C = 12(A + AT ) + 12(A AT ) = A: